1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 11
Текст из файла (страница 11)
334. Определить область распространения волны, найденной в задаче ЗЗЗ, и доказать ее единственность. 335. Указать, какому условию должны удовлетворять постоянные а, Ь, с, чтобы плоскость П: ахг+Ьха+с(=0 служила носителем данных задачи Коши с условиями (11) для уравне- ния (4), и построить решение задачи Коши с данными на этой плоскости: а Ь ди с и= — хз — — х с с з' дДГ угаз+Ь'+с' где У вЂ” нормаль к П. 336. Найти решение задачи Гурса для уравнения (3) с дан- ными на характеристиках х — 1=0, х+1=0: и(х, х)=гр(х), 0(х(а, и(х, — х)=ар(х), 0' х(Ь, гр(0) =ар(0). 337.
Определить область распространения найденной в задаче 336 волны и доказать ее единственность. 338. Доказать единственность решения и(х, 1) характеристической задачи Коши для уравнения (4), когда носителем данных является нижняя часть характеристического конуса х', +х,'— (1 — 1)' — О. 339. Обозначим через 5 нижнюю часть характеристического конуса х'+у' — (з=О до плоскости 1= — )т ()т ) 0). Найти решение и (х, у, () характеристической задачи Коши и„„+ 脄— и„= ху(, и )э = О. 340. Определить область распространения волны из задачи 339 и доказать ее единственность. 341.
Будет ли корректно поставлена задача Дирихле для уравнения (3) в характеристическом прямоугольнике, когда носителями данных и(х, г) являются все стороны этого прямоугольника? Задача отыскания решения уравнения (1) по данным значениям и(х,т) корректно поставлена не только тогда, когда носителями данных являются характеристики этого уравнения. Для иллюстрации этого факта ограничимся рассмотрением уравнення (3).
Пусть  — область, лежащая в характеристическом 'угле между прямыми х — хе=1 — 1э, х — хе=ге — О х)хь, ограниченная кривыми Зг' 1 вз(х) оэ' г вэ (х) х) хь вх (хг) =за(хэ) которые имеют непрерывную кривизну н удовлетворяют условиям — 1~ — < — ~1. дгг двз дх дх Доказывается, что корректно поставлена следующая Зада ч а Дар бу: тргбуюпся определить регулярное в области Р рг. шгниг и(х, Г) уравнения (3), удовлетворяющее условиям и)э =ю(х), и(э — ф(х), хэх„ где ~р и ф — эаданныг дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлеаворяап(ве условию 'р (хв) = ф (хв). 342. Корректно ли поставлена задача об отыскании регулярного в первом координатном угле плоскости х, г решения и(х, () уравнения (3), если и (х, 0) = »р (х), 0 < х < оо, и(0, 1)=ф((), 0<г < оо, гр (0) = ф (0), ~р" (0) = ф" (0)? 343.
Область )) представляет собой угол между прямыми х=О, (=х!2, 1) О, х) О. Корректно ли поставлена задача об определении в области»г) решения уравнения (3) с данными и (О, 1) = ср (1), и (х, х/2) = ф (х), ()~ О, х) О, р (О) = Р (О), р" (О) = Р" (0)? Задачи 344, 345, 347, 350, 353, 354, 355, 374 редуцнруются к функцнональному уравнению вида Р (х) + РР [Л (хЦ = ) (х), (14) решение которого прн соблюдении, например, условия 1 Р [ [Л (х)1 1 < М , может быть построено методом итерации »» Р (х) = ~ч», '( — 1)м)»м([Лм (х)]. в»=е (15) Здесь М вЂ” постоянная, О < М < 1, под )»м понимается обычная степень с показателем и, а Лв» (х) =Л"-' [Л (х)1, Лв (х) =х.
344. Область В представляет собой угол между прямыми [=й,х, (=й,х; х>0, где — 1<)с, < ив<1. Найти регулярное в области,0 решение уравнения (3), удовлетворяющее условиям и (х, й,х) = ~р (х), и (х, й,х) = ф (х), й; = О, й, = й > О, где»р и ф — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем»р (0) =ар(0). 345. В задаче 344 принять й,= — 1/4, Аа=[!4, 0<х<а, гр (х) =х, ф(х) =х и доказать существование и единственность решения и(х, 1). 346, Определить область распространения волны, соответствующей решению и(х, 1) из задачи 345. 347.
Область В представляет собой угол между прямыми 1= х!4, 1 = О, х- О. Найти регулярное в 1) решение и (х, 1) уравнения (3), если задано и(х, х/4)=х, и(х, 0)=зшх. 348. Определить область распространения волны в задаче 347, считая 0 ( х ( 1. Найти решения уравнения (3) и области их распространения по указанным ниже данным: 349. и(х, 0)=~р(х), и(х,х)=ф(х), 0(х(а, ц (0) = $ (0). 350.
и(х, 0)=ср(х), и(х, х/2)=ф(х), 0(х(2/3, ~р (0) = ф (0). 351. и(0, Г)=Р, и(г,г)=!з, 0(1(2. 352. и(0, Г)=з!пг, 0(1<1, и(1,1)=0, 0(1(2. 353. и(х, 0)=ср(х), и[х, т(х))=$(х), 0<х(1, р (о) = р (о), где т — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям 0 < „— ~ «< 1. 354. Носителями данных для искомого решения и(х, Г) урав- нения (3) являются дуги кривых: 1=8!пх, 0(х(п/4, 1= — з!пх, 0(х(п!4, причем и(х, з!пх)=х, и(х, — з!пх)=-х.
Определить волну и(х, !) и область ее распространения. 355. Носителем данных решения и(х, 1) уравнения (3) являются дуга параболы г=х'!4, 0<х(1, и отрезок 0(х<2 прямой Г = О. Определить решение и (х, 1) уравнения (3) и область его распространения, если и(х, х'!4)=х', и(х, 0)=0. 358.
Найти решение и(х, !) уравнения (3) по данным и(х, х)=~р(х), ( —" — ") ~ =ф(х), 0(х<оо, и доказать его единственность. 357. Определить решение и(х, !) уравнения (3), если — =ср(х), 0(х(а, и(х, х) =ф(х), 0(х(Ь, и найти область его распространения. 358. Корректно ли поставлена задача для уравнения (3) с данными и (х, х) = ~р (х), 0 ( х < оо, ( — "" + ~~", ~ ~ =ф(х), 0(х < 7 58 $ 3. Некоторые другие классы гиперболических уравнений, Задача Коши для уравнения Лапласа Рассмотренные в предыдущем параграфе задачи ставятсятакжедляобщего уравнения гиперболического типа (16) Многообразие ф(х, 1) =О, удовлетворяющее условию л А;)~р„. эр,.
— фз < О, г, 1=! может служить носителем данных Коши (11) для уравнения (16). Как и в предыдущем параграфе, в характеристичесной задаче Коши для уравнения (!6) носителем данных является характеристическая поверхность <р(х, Г) =О, иа которой по определению л ~ЧР Аг)р„,. р„,— р,=о. г, 1=! В случае одного пространственного переменного х= к, удобнее всего записать уравнение (16) в виде дти ди дц Си= — д+а(й, Ч) — +Ь($, Ч) — +с($, Ч) ц=г($, Ч). (17) д$дЧ ' <4 ' дЧ В теории уравнения (17) важную роль играет функция Римана И($, Ч; Вт, Ч,) двух точек (а, т)), ($м т),), обладающая следующими свойствами: а) относительно переменных С, Ч она является решением уравнения дз)г д д 1Л7 = — — — (а)г) — — (Ь)7) + с)7 = О, д$ дт) дт дЧ сопряженного с (17), а относительно сг, Ч,— уравнения Е)7=0, в котором вместо $, Ч подРазУмеваютсЯ пеРеменные 5т, Ч,; б) ' 1' ' 1' — а(йм т() )7(я» т); гм т)„)=О, дт) "" ""' Чг)-Ьа, Ч,) ЛД .,; ~„Ч,)=О. г($1, Ч1' $1 Чт)=11 в) Ч' ' Ч' +а (а, т),) )7 (с, т); а, т),) = О, д)7($.
Ч: $ Чт) 1 "" " ' Ч)+ЬД„Ч) ЛД, Ч; ~м Ч)=О д$, )г(с Ч: $ Ч)=1. Этими Услпвиами фУнкциЯ Й($, Ч; $м Ч,) опРеделЯетсЯ однозначно, если коэффициенты а, Ь являются функциями класса С', а коэффициент с — класса Се. Наличие функции Римана позволяет выписать в квадратурах решение как задачи Коши, так и задачи Гурса для уравнения (17). Решение задачи Гурса и(й, Че)=р(1), и(ае, Ч)=ф(Ч), ф(яз)=Ф(Че), где ор н ф-заданные непрерывно дифференцируемые функции, для уравне. ния (17) дается формулой и($. Ч)=Л($, Чо, $ Ч) ф($)+У(ао, Ч; а Ч) ф(Ч) — Уй Чо' $ Ч) р(ао)+ +~ ~Ь(1 Чо)Л(1 ЧЫ В~ Ч) — дг )7(1 Чо' ь Ч)1 ф(О "1+ д ов +) ~ибо т))т($о, т1 $ Ч) — д Й(йо, т; $, Ч)~ ф(т)дт+ д чв - +~а)$)7(й т1 3, ч)Р(й г)дт. (1а) Фо Пусть а — разомкнутая дуга )Кордана, которая имеет непрерывную кривизну и ни в одной своей точке не касается характеристик уравнения (17).
Решение задачи Коши для уравнения (17) по заданным значениям и н ди д$ ди дч ди — = — — + — —, где т — внешняя нормаль к а в точке ($, Ч), имеет вид дУ дч дт) дт дс ' и(Р)= — и(а У(0, Р) + — и(0'))7(1)", Р)+~ Р(Р'))7(Р", Р) $а дЧ— а 1 У ( Р Р ) ( Р ) 1 дар 1 Р Гди(Р'),, д)7(Р", Р)т 2,) ~ дУ ' дУ ее — ~и (Р') — т+Ь (Р') — '1 )7 (Р", Р) и (Р') дар,', (19) дУ дУ1 ее' здесь О" и Π— точки пеРесечениЯ с дУгой а хаРактеРистик Ст=$, Ч,=т), выходящих из точки Р($, Ч), а о — конечная область плоскости переменных $, Ч, ограниченная участком ЯЯ" дуги а н отрезками характеристик РЦ и РО'.
Выр шкение ~ Р(Р ) )с (Р ° Р) д3~ "Чт (20) представляет собой частное решение неоднородного уравнения.(17). 359. Показать, что функция Римана )т ($, т); $„'Ч,) для уравнения (3), записайного в характеристических переменных, тождественно равна единице.
360. Пользуясь функцией Римана из задачи 359, выписать решения задачи Коши и Гурса для уравнения (3), 361. Непосредственной проверкой убедиться'в том, что функ- ция Римана для уравнения 脄— ин+) и=0 в переменных $ = х+1, Ч = х — 1 имеет вид Яа, Ч; ~„Ч,)=7.(РР'К вЂ” ~,)(Ч вЂ” Ч,)), где )то = — )о. Пользуясь функцией Римана из задачи 361, выписать в квад- ратурах решения уравнения (20), удовлетворяющие приведенным ниже условиям: 362. и(х, О) =ср(х), и,(х, О) =ф(х).
363. и(х, х)='ср(х), и(х, — х)=ф(х), 0(х<со, ср (0) = ф (0). 364. Построить решение уравнения 脄— ии+ Хи = 1, удовлетворяющее условиям и(х, х) =и(х, — х) =О. Найти решения задачи Коши и(0, 1)=1р(1), и„(0, 1)=ф(1) и задачи Гурса и(х, х)=ср(х), и(х, — х)=ф(х), х)0, ф(0)=ф(0) для приведенных ниже уравнений: а~ 365.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
