Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 6

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 6 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 62021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

При сделанных предположениях: а) показать, что прогиб и(х, у) мембраны является решением уравнения Лапласа и„„+и „=О, (х, у) ЕО; б) выяснить физический смысл условий задач Дирихле и(х, у)=1(х, у), (х, у) Е~, и Неймана — у' " =1(х, у), (х, у) Е 5, где Я вЂ” граница области б, т — нормаль к 5, а 1(х, у) — задан- ная на 5 функция. Глава П Уравнении эллиптического типа и 1.

Основные свойства гармонических функций Простейшим примером уравиеиий эллиптического типа является уравие. иие Лапласа Ли=о, %з де где й= г — — оператор Лапласа. ! дх!з Регулярные решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями. 132. Найти выражение оператора Лапласа: а) в криволинейных координатах х=грй т!) у=фью т!). б) в полярных координатах х=гсоз!р, у=гз!пгр, в) в цилиндрических координатах х = Г соз гр, у = Г 5(п !р, г чг г; г) в сферических координатах х=Г5!пйсозгр, у=Г5!п35!и!р, г=Гсо5о, д) в сплюснутых сфероидальных координатах х =- $т! з!п <р, у= рг(йт — 1) (! — т!'), г = йт) соз <р. 133.

Пусть функция и=и(х„..., х„) гармоническая. Выяснить, какие из выписанных ниже функций являются гармоническими и какие нет: а) и (х+ и), гт = (Г!„..., Ь„) — постоянный вектор; б) и(лх), Х вЂ” скалярная постоянная; в) и (Сх), С вЂ” постоянная ортогональная матрица; ди ди г) — —, я=2; дх! дхз ' "ху д) — —, п)2; ди ди дхх дхэ ' ди ди ди е) х,— +х — +х,—, п=З; 1дхх э дхэ вдхэ ' ди ди ж) х — — х — и=2. 1 дхх э дхэ ' ди ди з) х — — хт —, п=2; э дхх дхэ ' ди дхт ( — '.",)'+( —:.",)" л)( — ) +( — ), 134. Найти значение постоянной К для которой выписанные ниже функции являются гармоническими: а) Х,'+АХ1Хэ; б) х,'+х,'+йх,'; в) еэх сЫгхэ; Г) 51п Зхх сЬ нхэ; а д) — „, ~х~э=~' х,', )Х~ ~О.

1х 1а В теории гармонических функций важную роль играет следующий и р и нц и н э к с тр е м у м а; гармоническая в области 0 функция и (х), отличная от настоянной, ни в одной точке х этой области не моэсет достигать своего экстремума. 133. Показать, что наряду с и(х) гармонической является 1 Р х и функция о(х) = — „,и( —,) всюду, где она определена. 136. Пользуясь принципом экстремума, ответить, могут ли пересекаться линии уровня гармонической функции в области ее гармоничности. 137. Построить график монотонно возрастающей линии уровня функции и(х, у) =х' — у', проходящей через точку (О, 0). 138. Начертить линию уровня гармонической функции и=51пхс)1у, проходящую через точку ( — и/2, 0) и обладающую тем свойством, что при удалении точки (х, у) вдоль этой линии в бесконечность функция опахалу стремится к отрицательной бесконечности.

Найти точки экстремума гармонической функции и в замкнутой области У, если: 139. и =ху, У вЂ” круг хе+уэ(1. 28 ха ра 140. и=х' — уа, йт — множество 4+ — <1. 141. Пусть функция гп(х) непрерывна в области Р вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет условию Лги < О (Лги) 0). Показать, что ги(х) не может иметь отрицательный относительный минимум (положительный относительный максимум) в Р.

ди 142. Вычислить производную — по внешней нормали т к граде нице Я области Р в точках экстремума функции и, определенной в задачах 139 и 140. 143. Пусть функция и гармонична в области Р с достаточно гладкой границей Я и непрерывна вплоть до Я вместе со своими частными производными первого порядка. Показать, что в точке х,ЕЯ, в которой и достигает своего экстремума в Р()5, норда мальная производная — МО, причем, если и — внешняя нормаль, ди ди то — <О в точке минимума и — ) 0 в точке максимума (приндч дч цип Заремба).

действительная и мнимая части аналитической функции Г(г) =и(х, р)+ + 1о (х, у) комплексного переменного г =х+ (у являются гармоническими функциями (сопряжекными гармоническими функцнямн). На этом факте основывается глубокая связь между теорией гармонических функций двух независимых переменных и теорией аналитических функций одного комплексного переменного. 144. Показать аналитичность функции ~р(г) = — — ( — в предди .ди дх др положении, что функция и(х, у) гармонична. С помощью криволинейного интегрирования восстановить аналитическую в односвязной области Р функцию ((г) по заданной ее действительной части и(х, у) =Гсе((г), если: 145. и = х' — Зху'. 146. иг ахз)пу. 147. и=з1пхс)ту, Найти гармоническую функцию и, если: 148. — = Зх'у — у'.

' дх 149. — г ех(хсозу — уз!пх)+2г. ди ' дг 150. Показать справедливость формулы Гурса (г) 2и Ь' й,.) — и(0, О)+(С, г=х+гу, (О, О) ЕР, (1) позволяющей восстановить аналитическую в односвязной области Р функцию 1 (г) по заданной ее действительной части и (х, у) о точностью до произвольного мнимого постоянного (С без интегрирования. 151. Решить задачи 145 †1, пользуясь формулой 1 урса(1), и выводы сравнить с ранее полученными результатами.

152. Показать гармоничность функции и(х) = Г „аа Фы = «,( — 1)а~ — ") Лат(х,, ..., х„;)+( " ) Лая(хг, ...,х„з)~ (2) а=о в предположениях, что т и и †произвольн бесконечно дифференцируемые функции и ряд в правой части формулы (2) можно почленно дифференцировать нужное число раз. 153. Показать, что все регулярные решения уравнения эллиптического типа- ~~' а„—,=О дха с действительными постоянными коэффициентами аа, й=1,..., и, одинакового знака могут быть представлены в виде и (х„..., х„) = о ( р(а,! р(а„(у где о(х;, ..., х„) — произвольная гармоническая функция.

154. Показать, что формула и(х, у) =еде+нар(х, у), где о(х, у) — произвольная гармоническая функция, дает общее решение уравнения эллиптического типа и„„+ и,„— 2Хи„— 2)еи„+ ().з+ )ее) и = О с постоянными коэффициентами Х, )е. !55. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функ- ция двух точек Е (х, у), х = (х„..., х„), у = (у„..., у„), вида 1 з-» Е(х у) и — 2 — (х — у!, п>2, (3) — !оя(х — у(, п = 2, где ! х — у ! — расстояние между точками х, у, удовлетворяет уравнению Лапласа как по х, так и по у при х~у.

Определенная формулой (3) функция Е(х, у) называется элементарным или фундаээентальным решением уравнения Лапласа. 156. Показать, что все отличные от постоянной решения уравнения Лапласа, зависящие только от расстояния (х — у!, имеют вид СЕ (х, у), где С вЂ” произвольная постоянная, а Е (х, у) — элементарное решение этого уравнения. ЗО Элементарное решение Е(М.

Мо)— (х — х,)о+(у — уо)'+(з — з,)' уравнения Лапласа имеет простой физический смысл. А именно, сосредоточенный в точке Мо(хо, уо, во) электрический заряд р создает полег потенциал которого и(х, у, е)=и (М) в каждой, отличной от Мо точке М(х, у, е) определяется формулой и(М)=рЕ(М Мо) !57. Пусть в точках М'(х', у', г'), М" (х", у", г"), расположенных на прямой с направляющим вектором ч симметрично относительно третьей точки М,(х„у„г,) на этой прямой, сосредоточены заряды — )оо н р, соответственно, такие, что прн (М' — М" ~- О р,!М' — М")=р(М,). Потенциал поля, созданного этими зарядами в точке М (х, у, г), отличной от М„М', М", имеет внд мо (М" — М( (М" — М) ' Предельное расположение зарядов — 1о„)о, прн ~М' — М" ~ О называется диполем, а величины )о н ч — его моментом н осою соответственно.

Вычислить потенциал днполя в точке М (х, у, г). 158. В точке М(х, у, г), отличной от М»(х», у», г»), й= 1, ... ..., т, выписать потенциал зарядов р», сосредоточенных в точках М,(х„у„г»). 159. Плотность зарядов, расположенных на сфере (й — )о+ (Ч вЂ” р)о+(1 — )'=)(о постоянна н равна С. Вычислить потенциал поля, созданного этими зарядами в центре М(х, у, г) сферы. 160. Написать формулу для потенциала зарядов, расположенных на пространственной кривой Ь с непрерывной плотностью р ($, т), ь), где э=5(1) т)=.т)(() ь=ь(1) (о« ~(г — параметрические уравнения кривой Ь. $ 2. Краевые задачи Днрнхле н Неймана для гармонических функций Под функцией класса См(с)()5), где )л — область пространства Е„с границей Е, понимается однозначная функция, непрерывная в (г()Я вместе с ее частными производными порядка и.

При ш=е получается класс непрерывных в 0()5 функций. В теории гармонических фуикпий центральное место занимают краевые задачи Дирихле и Неймана или, как еще принято говорить, первая и вторая краевые задачи соответственно. 31 3 а да ч а Д и р и х л е; найти гармоническую в области 0 функцию и(х) класса С'(0()5), удовлетворяюи(ую краевому условию и(х)=~р(х), х~5, (4) где ю(х) — заданная на 5 непрерывная функция. В предположении гладкости границы 5 области 0 ставится Задача Неймана: определить гармоническую в области 0 фунхцшо класса Ст(0Ц5) по краевому условию ди — =ю(х), дч хЕ5, где ч — внешняя нормаль к 5, а ц(х) — заданная на 5 непрерывная функция.

Наряду с задачами Дирихле и Неймана в приложениях важное значение имеют смешанные краевьм задачи, в которых на одной части границы 5 задаются значения искомой в области 0 гармонической функции, а иа другой— значения ее нормальной производной. В теории краевых задач важную роль играет функция Грина. Функцией Грина задачи Дирихле для гармонических функций называется функция С (х, у) двух точек х, у, обладающая свойствами: 1) она имеет вид С (х, у)=Е (х, у)+у(х, у), 161. Для гармонических в области 0 функций и(х) и о(х) класса С'(0()5) вывести тождество (6) где тз — внешняя к 5 нормаль в точке у~5, а г(5о — элемент площади 5 по переменной у. 162.

Для гармонической в области 0 функции и(х) класса О (О ()5) показать справедливость. интегрального представления и (х) = — ) ~ Е (х, у) — У вЂ” и (у) †„' У 1 с(5н, (7) где ю„— площадь единичной сферы в Е„, '® а à — гамма-функция Эйлера. где Е(х, у) — определенное по формуле (3) злементарное решенне уравнения Лапласа, а у(х, у) — гармоническая функция как по х~0, так и по у~Р; 2) С(х, у)=О, когда по крайней мере одна из точек х, у лежит иа 5. Будем предполагать вначале, что 0 †ограниченн область с гладкой границей 5. 163.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее