1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При сделанных предположениях: а) показать, что прогиб и(х, у) мембраны является решением уравнения Лапласа и„„+и „=О, (х, у) ЕО; б) выяснить физический смысл условий задач Дирихле и(х, у)=1(х, у), (х, у) Е~, и Неймана — у' " =1(х, у), (х, у) Е 5, где Я вЂ” граница области б, т — нормаль к 5, а 1(х, у) — задан- ная на 5 функция. Глава П Уравнении эллиптического типа и 1.
Основные свойства гармонических функций Простейшим примером уравиеиий эллиптического типа является уравие. иие Лапласа Ли=о, %з де где й= г — — оператор Лапласа. ! дх!з Регулярные решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями. 132. Найти выражение оператора Лапласа: а) в криволинейных координатах х=грй т!) у=фью т!). б) в полярных координатах х=гсоз!р, у=гз!пгр, в) в цилиндрических координатах х = Г соз гр, у = Г 5(п !р, г чг г; г) в сферических координатах х=Г5!пйсозгр, у=Г5!п35!и!р, г=Гсо5о, д) в сплюснутых сфероидальных координатах х =- $т! з!п <р, у= рг(йт — 1) (! — т!'), г = йт) соз <р. 133.
Пусть функция и=и(х„..., х„) гармоническая. Выяснить, какие из выписанных ниже функций являются гармоническими и какие нет: а) и (х+ и), гт = (Г!„..., Ь„) — постоянный вектор; б) и(лх), Х вЂ” скалярная постоянная; в) и (Сх), С вЂ” постоянная ортогональная матрица; ди ди г) — —, я=2; дх! дхз ' "ху д) — —, п)2; ди ди дхх дхэ ' ди ди ди е) х,— +х — +х,—, п=З; 1дхх э дхэ вдхэ ' ди ди ж) х — — х — и=2. 1 дхх э дхэ ' ди ди з) х — — хт —, п=2; э дхх дхэ ' ди дхт ( — '.",)'+( —:.",)" л)( — ) +( — ), 134. Найти значение постоянной К для которой выписанные ниже функции являются гармоническими: а) Х,'+АХ1Хэ; б) х,'+х,'+йх,'; в) еэх сЫгхэ; Г) 51п Зхх сЬ нхэ; а д) — „, ~х~э=~' х,', )Х~ ~О.
1х 1а В теории гармонических функций важную роль играет следующий и р и нц и н э к с тр е м у м а; гармоническая в области 0 функция и (х), отличная от настоянной, ни в одной точке х этой области не моэсет достигать своего экстремума. 133. Показать, что наряду с и(х) гармонической является 1 Р х и функция о(х) = — „,и( —,) всюду, где она определена. 136. Пользуясь принципом экстремума, ответить, могут ли пересекаться линии уровня гармонической функции в области ее гармоничности. 137. Построить график монотонно возрастающей линии уровня функции и(х, у) =х' — у', проходящей через точку (О, 0). 138. Начертить линию уровня гармонической функции и=51пхс)1у, проходящую через точку ( — и/2, 0) и обладающую тем свойством, что при удалении точки (х, у) вдоль этой линии в бесконечность функция опахалу стремится к отрицательной бесконечности.
Найти точки экстремума гармонической функции и в замкнутой области У, если: 139. и =ху, У вЂ” круг хе+уэ(1. 28 ха ра 140. и=х' — уа, йт — множество 4+ — <1. 141. Пусть функция гп(х) непрерывна в области Р вместе со своими производными до второго порядка и удовлетворяет условию Лги < О (Лги) 0). Показать, что ги(х) не может иметь отрицательный относительный минимум (положительный относительный максимум) в Р.
ди 142. Вычислить производную — по внешней нормали т к граде нице Я области Р в точках экстремума функции и, определенной в задачах 139 и 140. 143. Пусть функция и гармонична в области Р с достаточно гладкой границей Я и непрерывна вплоть до Я вместе со своими частными производными первого порядка. Показать, что в точке х,ЕЯ, в которой и достигает своего экстремума в Р()5, норда мальная производная — МО, причем, если и — внешняя нормаль, ди ди то — <О в точке минимума и — ) 0 в точке максимума (приндч дч цип Заремба).
действительная и мнимая части аналитической функции Г(г) =и(х, р)+ + 1о (х, у) комплексного переменного г =х+ (у являются гармоническими функциями (сопряжекными гармоническими функцнямн). На этом факте основывается глубокая связь между теорией гармонических функций двух независимых переменных и теорией аналитических функций одного комплексного переменного. 144. Показать аналитичность функции ~р(г) = — — ( — в предди .ди дх др положении, что функция и(х, у) гармонична. С помощью криволинейного интегрирования восстановить аналитическую в односвязной области Р функцию ((г) по заданной ее действительной части и(х, у) =Гсе((г), если: 145. и = х' — Зху'. 146. иг ахз)пу. 147. и=з1пхс)ту, Найти гармоническую функцию и, если: 148. — = Зх'у — у'.
' дх 149. — г ех(хсозу — уз!пх)+2г. ди ' дг 150. Показать справедливость формулы Гурса (г) 2и Ь' й,.) — и(0, О)+(С, г=х+гу, (О, О) ЕР, (1) позволяющей восстановить аналитическую в односвязной области Р функцию 1 (г) по заданной ее действительной части и (х, у) о точностью до произвольного мнимого постоянного (С без интегрирования. 151. Решить задачи 145 †1, пользуясь формулой 1 урса(1), и выводы сравнить с ранее полученными результатами.
152. Показать гармоничность функции и(х) = Г „аа Фы = «,( — 1)а~ — ") Лат(х,, ..., х„;)+( " ) Лая(хг, ...,х„з)~ (2) а=о в предположениях, что т и и †произвольн бесконечно дифференцируемые функции и ряд в правой части формулы (2) можно почленно дифференцировать нужное число раз. 153. Показать, что все регулярные решения уравнения эллиптического типа- ~~' а„—,=О дха с действительными постоянными коэффициентами аа, й=1,..., и, одинакового знака могут быть представлены в виде и (х„..., х„) = о ( р(а,! р(а„(у где о(х;, ..., х„) — произвольная гармоническая функция.
154. Показать, что формула и(х, у) =еде+нар(х, у), где о(х, у) — произвольная гармоническая функция, дает общее решение уравнения эллиптического типа и„„+ и,„— 2Хи„— 2)еи„+ ().з+ )ее) и = О с постоянными коэффициентами Х, )е. !55. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функ- ция двух точек Е (х, у), х = (х„..., х„), у = (у„..., у„), вида 1 з-» Е(х у) и — 2 — (х — у!, п>2, (3) — !оя(х — у(, п = 2, где ! х — у ! — расстояние между точками х, у, удовлетворяет уравнению Лапласа как по х, так и по у при х~у.
Определенная формулой (3) функция Е(х, у) называется элементарным или фундаээентальным решением уравнения Лапласа. 156. Показать, что все отличные от постоянной решения уравнения Лапласа, зависящие только от расстояния (х — у!, имеют вид СЕ (х, у), где С вЂ” произвольная постоянная, а Е (х, у) — элементарное решение этого уравнения. ЗО Элементарное решение Е(М.
Мо)— (х — х,)о+(у — уо)'+(з — з,)' уравнения Лапласа имеет простой физический смысл. А именно, сосредоточенный в точке Мо(хо, уо, во) электрический заряд р создает полег потенциал которого и(х, у, е)=и (М) в каждой, отличной от Мо точке М(х, у, е) определяется формулой и(М)=рЕ(М Мо) !57. Пусть в точках М'(х', у', г'), М" (х", у", г"), расположенных на прямой с направляющим вектором ч симметрично относительно третьей точки М,(х„у„г,) на этой прямой, сосредоточены заряды — )оо н р, соответственно, такие, что прн (М' — М" ~- О р,!М' — М")=р(М,). Потенциал поля, созданного этими зарядами в точке М (х, у, г), отличной от М„М', М", имеет внд мо (М" — М( (М" — М) ' Предельное расположение зарядов — 1о„)о, прн ~М' — М" ~ О называется диполем, а величины )о н ч — его моментом н осою соответственно.
Вычислить потенциал днполя в точке М (х, у, г). 158. В точке М(х, у, г), отличной от М»(х», у», г»), й= 1, ... ..., т, выписать потенциал зарядов р», сосредоточенных в точках М,(х„у„г»). 159. Плотность зарядов, расположенных на сфере (й — )о+ (Ч вЂ” р)о+(1 — )'=)(о постоянна н равна С. Вычислить потенциал поля, созданного этими зарядами в центре М(х, у, г) сферы. 160. Написать формулу для потенциала зарядов, расположенных на пространственной кривой Ь с непрерывной плотностью р ($, т), ь), где э=5(1) т)=.т)(() ь=ь(1) (о« ~(г — параметрические уравнения кривой Ь. $ 2. Краевые задачи Днрнхле н Неймана для гармонических функций Под функцией класса См(с)()5), где )л — область пространства Е„с границей Е, понимается однозначная функция, непрерывная в (г()Я вместе с ее частными производными порядка и.
При ш=е получается класс непрерывных в 0()5 функций. В теории гармонических фуикпий центральное место занимают краевые задачи Дирихле и Неймана или, как еще принято говорить, первая и вторая краевые задачи соответственно. 31 3 а да ч а Д и р и х л е; найти гармоническую в области 0 функцию и(х) класса С'(0()5), удовлетворяюи(ую краевому условию и(х)=~р(х), х~5, (4) где ю(х) — заданная на 5 непрерывная функция. В предположении гладкости границы 5 области 0 ставится Задача Неймана: определить гармоническую в области 0 фунхцшо класса Ст(0Ц5) по краевому условию ди — =ю(х), дч хЕ5, где ч — внешняя нормаль к 5, а ц(х) — заданная на 5 непрерывная функция.
Наряду с задачами Дирихле и Неймана в приложениях важное значение имеют смешанные краевьм задачи, в которых на одной части границы 5 задаются значения искомой в области 0 гармонической функции, а иа другой— значения ее нормальной производной. В теории краевых задач важную роль играет функция Грина. Функцией Грина задачи Дирихле для гармонических функций называется функция С (х, у) двух точек х, у, обладающая свойствами: 1) она имеет вид С (х, у)=Е (х, у)+у(х, у), 161. Для гармонических в области 0 функций и(х) и о(х) класса С'(0()5) вывести тождество (6) где тз — внешняя к 5 нормаль в точке у~5, а г(5о — элемент площади 5 по переменной у. 162.
Для гармонической в области 0 функции и(х) класса О (О ()5) показать справедливость. интегрального представления и (х) = — ) ~ Е (х, у) — У вЂ” и (у) †„' У 1 с(5н, (7) где ю„— площадь единичной сферы в Е„, '® а à — гамма-функция Эйлера. где Е(х, у) — определенное по формуле (3) злементарное решенне уравнения Лапласа, а у(х, у) — гармоническая функция как по х~0, так и по у~Р; 2) С(х, у)=О, когда по крайней мере одна из точек х, у лежит иа 5. Будем предполагать вначале, что 0 †ограниченн область с гладкой границей 5. 163.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
