1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Известно, что число отрицательных и нулевых коэффициентов формы»с в (4) не зависит от способа приведения этой формы к каноническому виду. Йа этом факте основана классификация линейных уравнений (3). Говорят, что линейное уравнение (3) вллилтическое, гияерболическов или параболическое в области Р, если в каждой точке хЕР, коэффициенты иС формы (4) соответственно: все отличны от нуля и одного знака, все отличны от нуля и не все одного знака или хотя бы один из ннх равен нулю (но не все). Эллиптическое в области Р уравнение (3) называется равномерно вллилтическим в втой области, если существуют действительные числа йо ~ 0 и й! ~ 0 одного знака такие, что в л й, ч„" )!~с)(й„..., л„)~й! ч; я с=! »=1 длн всех хЕР. Для линейного уравнения с частными производнымн порядка т о Ч»» Сс=т, 1= ! Е дои ас „,с (х) . +1.
=1(х) '" о дх"...дх'и с " со н (5) где й! — линейный дифференциальный оператор порядка ниже т, характеристическая форма (2) имеет внд л К().с, ..., )»в)= ~ а, „(х)ф...к'о, ~Ч»', Су=т. (6) '"н ! и Если при фиксированном значении х~Р можно найти такое аффинное преобразование кс= кс(рс, ..., р„), с= 1, ..., л, в результате которого полученная из (6) форма содержит лишь 1(0 ( 1 < л) переменных рб то гово. рят, что уравнение (5) лараболичсски вырождается.
При отсутствии параболического вырождения, если уравнение к (л„ ..., д„)=о не имеет действительных решений, кроме )»з=О...;, )э= О, уравнение (5) в точке х~Р называется вллиатическим. Говорят, что уравнение (5) в точке х~Р гиперболическое, если в пространстве переменных Хс, ..., )»в существует такая прямая, что если принять ее за координатную ось в новых переменных рс, ..., Ет полученных аффннным преобразованием Хс, ..., Ат то относительно координаты, меняющейся вдоль втой оси, преобразованное уравнение (7) имеет ровно т действительных корней (простых илн кратных) прн любом выборе остальных переменных.
Аналогично по характеру формы (2) классифицируются и нелинейные уравнения порядка т. Однако поскольку коэффициенты формы (2) в этом случае зависят не только от точки х~Р, но также от искомого решения и его производных, в этом случае классификация по типам производится лишь для данного решения. Когда равенство (1) представляет собой систему оС уравнений относительно с»С неизвестных функций, т. е. когда М=й( и порядок каждого уравнения втой системы равен т, с помощью квадратных матриц ар! составим форму порядка )ул! л К(Хм ...,Х„)= бе! ~~, ~ !1!),г'...Х„", ~ (а=а, (8) относительно действительных скалярных параметров Хь ..., Х„. Деление по типам системы (!) происходит по характеру формы (8) точно так же, нак это было сделано выше при рассмотрении одного уравнения порядна ль Определить тип следующих уравнений: 25.
и„„+4и„„+и„„+и„+и„+2и — х'у=О. 26. 2и„„+2и„„+и„„+2и„+2и„— и=О. 27. и„„+2и +и „+и„+и„+Зи — ху'=О. 28. 4и„„+2脄— Би„+Би„+10и„,+4и„,+2и=О. 29. 2脄— 2и„,+2и„,+Зи„— и=О. 30. и„„+2и„в+2иа„+4иа,+би„— хи„+уи,=О. 32. и„,+и,+и„,— Зх'иа+уа(охи+хе У=О. 33. 5и„„+ и„+ 5и„+ 4脄— 8и„,— 4и„,— и +уха ейп х = О. 36. у'"+'и„„+ива — и„=О, т — целое неотрицательное число. 37. хи„„+ уиан — и = О. Вдоль соответствующих решений и (х, у) определить тип следующих уравнений: 38.
и',„+(脄— 2)脄— и'„',=О, и=-х'+у'. 40. и'„„— 4и„„+ и'„= О, и = (х+ у)', и = х, и = х'+ — + — ху. 41. и„„+и„„и„„+и'„— 4и„„=О, и=-2у', и=-5ху, и=х. 42, Зи'„„— би„„+ иаа — 4 = О, и =- — (х'+у'), и = 2у'. ! 43. и'„„脄— 5и„+и„— 2(х+у) — 8=-0, и=х'+2ху. 44. и'„„+2и' — Зи„+и„— 2х=-О, и=2ху — 8у. 45. 2и„'„+2и„'„+З脄— 2и„+2х=О, и=ху — — ха. 46. 5и' — 7и„„+25脄— 150у= О, и = — +у'+ — ху. 47. и„'„+ би'„„+би„*„= 12, и =- — (х+у)', и = юг 3 х'. 48.
и„'„— 4и„'' +7и,— 4а„+и +Зх+4у+3=0, и= — к'+ху. 1 49. и',„— 2и'„, + и,',„+ 2и„— 2 (к+ у) = О, и = — (х+ у)*. ! 50. и„'„+и „и„„+и'„„+2и„„+2и„,=О„и=х' — у', и=х. 51. Написать условия эллиптичности, параболичности и гиперболичности уравнения если известно, что функция Р непрерывно дифференцируема относительно последних трех переменных, причем по крайней мере одна из производных по этим переменным отлична от нуля. Определить тип следующих систем уравнений: 52. 2и„+ Зи, — Зо„+ и =- О, — и„+ и„+ о„+ ху =- О.
53. 2и„+ Зо„+ Зи, — би = О, и„+и„+о,+х-'и = О. 54. 2и„+Зо„+Зи,— 2и=-О, и„+ о„— и + ху' = О. 55. 2и, — 4о„+ Зи„+ 8о, — и = О, Зи, — 2о„+ би, + Зое+ 2и = О. 56. 2и +о +12ие — 2и =О, о, + 4ие + о„+ ху = О. 57. 2и„+ о„+ 7и — 2и = О, Зи„+ Зо„+ 31 и„+ о„— еУ з(п х = О. 58. 5и„+22,5о„+2и +ое — би=-О, 5о„+ 2ие + Зо„— 2хи =- О. 59. о„+12и„+оо+Зи — 32хе"=О, — 5и,+ — о„+и +о — е и=О.
з 60. 15и„+9о„+12и,+17ое — Зхсозу=-О, Зи„+2о„+о, — би= О. 61. Зи + Зо,+Зи,+ 4о„= О, 2и, + Зо„— о,— Зи = О. 62. и„— о,+2и,— Зо,— и =-О, и,+2о„.— 2и,+о„+2и =О. 63. и,— ие+2о„— Зо,+2и =О, и„+ 2и,— о„+ о,— и'= О. 64. и„+ и„+ о, + о, — хуи == О, о„— и — ое+и,+2и=О. 1О Определить тнп следующих систем уравнений в зависимости от значения параметра й: 65. и„— йо =О, и„+ о„== О. 66. и„— йо„+о =О, и„+до„— и=О. 67. и„— йо„+до„=О, и„+о,+2о=О.
$ 3. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными Общее линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными можно записать в виде аи „+2Ьи и+сизы+бах+еии+]и+у=о, (9) где а, Ь, с, и, е, г, д — заданные функции независимых переменных х, у. Обозначим через а дискриминант Ь' — ас соответствующей (9) квадратичной формы (] (Лл, Лл) =аЛлз-1-2ЬЛлЛ +сЛал (10) Кривые, определяемые уравнением И(х, у)=сопл(, где Π— решение нелинейного уравнения с частными производными первого порядка а(гх+2ЬОхй +спи — О, называются харакшерисжиками уравнения (9).
Компоненты касательного вектора (Лу, Их) характеристической кривой в каждой ее точке (х, у) удовлетворяют равенству а Нуз — 2Ь е(у бы+сухэ=0. По введенной выше классификации уравнение (9) является эллиптическим, гиперболическим или параболическим в зависимости от того, будет ли форма (10) [или форма (11)] определена (дефинитна), знакопеременна или полуопределена (вырождена), т. е. дискриминант Ь' — ась д этой формы будет ыеньше нуля, больше нуля или равен нулю соответственно, В эллиптическом случае уравнение (9) можно привести к каноническому виду ой[+о ч+Ао[+сон+И +2~=0 (12) в результате замены независимых переменных $=ф(х, у), т)=ф(х, у), где ф(х, у) и ф(х, у) — решения системы линейных уравнений с частнымн производными первого порядка афк+Ьфи+ г' — й фи=О, аф„+Ьф„— у' — а фи=О а(ф, ф) с отличным от нуля якобианом д(х, у) 11 Замена (13), когда р (х, у) и ф (х, у) являются решениями дифференциаль.
ных уравнений а~>х+(Ь+ уа) ~ри — — О, аф„+(Ь вЂ” уатг фи — — О, приводит уравнение (9) в гиперболическом случае к виду оьч+дгоь+е оч+1го+Уг=о (! 4) Новая замена а=се+(), Ч=и — р позволяет привести уравнение (14) к каноническому виду ш„„— ш р+д~ш„+~ешь+(,~+у~=О. (15) Наконец, в случае, когда уравнение (9) параболично, в результате замены (!3), где ~р(х, у) †отличн от постоянной решение уравнения аф» + Ьрэ — 0 а ф(х, у) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию а Рз+2Ьф фи+сфу Ф О, получаем ~„„+0~А!+~~~ +6~+9,=0. (16) В уравнениях (12), (14), (!6) о (С, з))=а [х (4, з)), у (4, т))), где х = х (4, т)), у=у(ь, т)) — решения системы (13).
Разрешимость этой системы по крайней мере «в малом» гарантирована выполнением условия д(р' Ф) ФО д(х, у) Как известно из теории линейных уравнений с частными производными первого порядка, в качестве функций ф(х, у), ф(х, у) в преобразовании (13) при А > 0 можно брать левые части общих интегралов ~р(х, у)=сонэ!, ф(х, у)=сопз1 обыкновенных дифференциальных уравнений, соответственно дх ду дх . Ду а=Ь+уЛ' а Ь уЛ ' а в качестве функции ~р(х, у) при Д=Π— левую часть общего интеграла ~р(х, у)=сонэ! уравнения дх ду а Ь Что касается случая а < О, то, поскольку в записи ~р (х, у) + гф (х, у) = 42 (х, у) функция Я является решением уравнения а()х+ (Ь+(У вЂ” Л) Ин — — О, преобразование (!3) аналогично находим и на этот раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
