Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 8

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 8 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 82021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

209. Показать, что функция 4п/Зг, г) 1, 2п(1 — з г'), г (1! 38 где г'=хе+уз+ля, является потенциалом объемных масс, распределенных по шару гз (1 с плотностью р=1. 210. Потенциал и(х, у) масс, распределенных по кругу г'= = х'+у' ( 1, внутри этого круга дается формулой и (х, у) = — (3 — г').

4 Найти плотность масс р и значение потенциала и(х, у) вне замкнутого круга гз(1. 211. Потенциал и(х, у) масс, распределенных по кругу г'= =х'+у' (1, внутри круга дается формулой и (х. у) = — ", (1 — "). Найти массу М в круговом кольце — (х'+у'( —. 1 1 4 2' 212. Вычислить интеграл 1= ') — с(а„, где и (х) — поди (х) дтх к!чу*<! тенциал масс, распределенных по квадрату — 1 -.х(1,— 1(у(1, с плотностью р=-ху. Пусть 5 — гладкая или кусочно гладкая поверхность (и —.1-мерное гладкое многообразие) в пространстве Е„, а р — заданная на ней непрерывная функция. Выражения и(х)= — ) р(у) ' д5я 1 Г дЕ(х, у) (13) ын дти 5 и(х)= — ~ р(у) Е(х, у) д5гн 1 Г озн (14) 39 где Е(х, у) — элементарное решение урввнения Лапласа, ти — внешняя нормаль к 5 в точке у, а ы„— площадь единичной сферы в Е„, называются соответственно потенциалом двойного слоя и потенциалом простого слоя масс, распределенных на 5 с плотностью р.

В каждой точке х пространства Е„, не лежащей на 5, потенциалы двойного и простого слон представляют собой гармонические функции. Выражения (13) и (14) имеют смысл, когда точка х лежит на поверхвости 5, и представляют собой непрерывные функции. Пусть 5 — замкнутая достаточно гладкая и — 1-мерная поверхность (кривая с непрерывной кривизной при и= 2), а 1)+ и 0- — соответственно конечная и бесконечная области, ограниченные ею. Потенциал двойного слоя (13) обладает следующими двумя.важнымисвойствами: 1) при переходе точки х из области Рч.

в область 0- он претерпевает разрыв так, что в обозначениях 1 Г дЕ(хо р) и(хо)= — ) )е(р) д ' "ля ык дта и+ (хо) = (нп и (х), и (хо) = 1пп и (х), хо й с, х -о х, х-о хо кеО+ хЕО имеют место равенства 1 и+ (х,) = — — (е (хо) + и (хо) 2 1 (хо) = — р (х,)+ и (хо)' 2 (1б) 2) при х — ехоМо существуют пределы 1'пп — и )йп ди (х), ди (х) к х дтк х хо док к со+ кеО обозначаемые соответственно (ди (хо) )+ (ди (хо)) причем в каждой точке хоби.

Что же касается потенциала простого слоя(!4), то: 1) он остается непрерывным при переходе точки х из области !Уе в область ез- и 2) существуют пределы хеОР «ео- так, что ( ..)- ди(хо)1 1 ди(хо) ) = И(хо)+ дтх, (15') (1бо) 213. Выяснить поведение потенциалов двойного и простого слоя при ~ х ! оо. 214. Указать достаточное условие для того, чтобы при а=2 потенциал простого слоя стремился к нулю, когда !х~ — оо. 215.

Составить интегральные уравнения Фредгольма второго рода, к которым сводятся задачи Дирихле и Неймана (как внутренние, так и внешние) для гармонических функций. 40 Эдесь через — обозначена нормальная производная потенциала простого ди (хо) дтк, 'слоя (14) при х=хоЕЯ. Это выражение имеет вполне определенный смысл. 216. Для гармонических в полуплоскости у)0 функций и(х, у) найти решение задачи Неймана с краевым условием ди~ ду ~а=о — =гр(х), — оо ~х ( оо, редуцируя ее к задаче Дирихле в этой же полуплоскости для сопряженных к и(х, у) гармонических функций. 217.

Вычислить потенциал простого слоя и (х, у) масс, распре- деленных по окружности х'+у'= Яз с плотностью (а=1. 218. Найти потенциал простого слоя и(х, у, г) масс, распре- деленных по сфере хе+уз+аз=1 с плотностью (а=1. 219. Найти потенциал двойного слоя и(х, у) масс, распреде- ленных по окружности х'+у'=1 с плотностью (д=х. 220. Найти гармоническую вне замкнутого круга хе+уз(1 ' функцию и (х, у) по краевому условию и(х,у)=сон'гр — з!и'<р — 1, 0(<р(2и.

221. Найти решение задачи Дирихле для гармонических функ- ций вне шара хе+уз+ге т1 по краевому условию и (х, у, г) = х' — у' — 1, х'+ у'+ гз = 1. 222. Найти решение задачи Дирихле для гармонических функций в области ха+уз+аз) 1 по краевому условию и(х, у, г)=г, ха+уз+аз=1. 223, Функция и(х, у)= — —,, г'=х'+у', у 2гз ' является внешним потенциалом простого слоя масс, распределенных по окружности г*=1. Найти значение этого потенциала в круге г*(1. 224. Найти потенциал двойного слоя масс, распределенных по окружности х'+у'=1 с плотностью (а=1. 225.

Потенциал простого слоя масс, распределенных по окружности х'+и'=1, вне замкнутого круга хе+уз(1 дается формулой и(х, у)= —, ~1+ — з) г'=х'+у'. Найти плотность масс р. 8 4. Некоторые другие классы эллиптических уравнений Среди классов эллиптических уравнений в приложениях важное значение имеет уравнение Гельмгольца Ли+Хи =О, (17) где Ь вЂ операт Лапласа, а 1 †действительн постоянная, и бигармоническве уравнение Ьйи=о, (18) 41 226. Непосредственной проверкой убедиться, что относительно переменных х, у выражение и (х, у) = Уо (р $' (г — г) г), Ф где Уо(г) =~ — „,, ( — ) — функция Бесселя нулевого порядка, о=о ро= Х, г= х+ (у, 1 = $+ Й), удовлетворяет уравнению (17).

227. Пользуясь результатом задачи 226, показать, что фор- мула 2 и (х, у) = Ке )г у, (р )Г (г — 1) г) ) (1) й, о где 7" — произвольная аналитическая функция комплексного переменного г, а до=а, дает регулярные решения уравнения (17). 228. Для уравнения (17) доказать справедливость принципа экстремума: при Х < О регулярное в области )? решение уравнения (17) ни в одной внутренней точке области 0 не может достигать ни положительного максимума, ни отрицательного минимума. 229. Обладает ли свойством единственйости решение задачи Дирихле (17), (4) в ограниченной области при?.

( О? 230. Показать, что функция — 1 Е(г) =- ~ ф где р'= — Х, г'=(х — 5)о+(д — т1)', является решением уравнения (17) при и =2, г~О. 231. Пользуясь записью оператора Лапласа в сферических координатах, доказать, что при и =3 одно из зависящих только от расстояния г = ~х — д ~ решений уравнения (17), когда Х = — р*, имеет вид Е(г)= — ' 232. Полагая в уравнении (17) ? = — р', для регулярными в области 0~: Е, решений и ЕС'(Р 0 Я) этого уравнения дока- зать справедливость тождества и(х) = — ~~~Е(х, у) ~ — и(у) ' « 1оБо, где Е(х, у)=Е(г) дается формулой (19).

233. Записывая уравнение (18) при и=2 в виде д4и ==О, дггдго показать, что все решения этого уравнения в односвязной области 42 могут быть представлены в виде и = Ке [г~р (г) + ф (г)1, где ~р и ф — произвольные аналитические функции комплексного переменного г=х,+(х,. 234. Показать, что функция Е(г)=г'!ояг, «=~х — у~, при гчьО удовлетворяет уравнению (18) при а=2. 235. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция и (х) = о, (х) + ~ х 1о о, (х), л где о„и о,— гармонические функции, а ~ х 1' = ~ х';, удовлетвоС=1 ряет уравнению (18).

236. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функ- ции вида т и (х) = ~ ии(х), и=! где и„(х) †решен уравнения Аи„ вЂ” Х и =-О, А = 1, ...,и, а т Մ— нули полинома ~о аоХ" ", являются решениями эллиптичео=о ского уравнения порядка 2т с постоянными коэффициентами ~ а„й ои=О. о=о 237. Показать, что функции вида и(х, у) = Ке<~ (г,)+ф(г,)1, где Ч~ и ф — аналитические функции комплексных переменных г,=х — — (1+1)у, г,=х+ — (1+1)у, являются решениями 12 .

г2 эллиптического уравнения д4и дфи — + — =О. дх~ ди4 238. Показать, что при Ь' — ас(О все регулярные решения уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами аи„„+ 2Ьи„„+ сидо — — О могут быть получены из формулы и(х, у) = Ке1 ~х —,(Ь+17 ас — Ь') у~, ! где )'(1) †произвольн аналитическая функция комплексного переменного 1 = х — (Ь + ЦГ ос в Ь') у.

1 с 239. Пользуясь формулой Пуассона для круга, написать рехз уа шение и(х, у) задачи Дирихле внутри эллипса —,+ —, < 1 для уравнения эллиптического типа а'и„„+ Ь'и„„= О, а = сопз1, Ь =- сопз1, с краевым условием (4). 240.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее