1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 8
Текст из файла (страница 8)
209. Показать, что функция 4п/Зг, г) 1, 2п(1 — з г'), г (1! 38 где г'=хе+уз+ля, является потенциалом объемных масс, распределенных по шару гз (1 с плотностью р=1. 210. Потенциал и(х, у) масс, распределенных по кругу г'= = х'+у' ( 1, внутри этого круга дается формулой и (х, у) = — (3 — г').
4 Найти плотность масс р и значение потенциала и(х, у) вне замкнутого круга гз(1. 211. Потенциал и(х, у) масс, распределенных по кругу г'= =х'+у' (1, внутри круга дается формулой и (х. у) = — ", (1 — "). Найти массу М в круговом кольце — (х'+у'( —. 1 1 4 2' 212. Вычислить интеграл 1= ') — с(а„, где и (х) — поди (х) дтх к!чу*<! тенциал масс, распределенных по квадрату — 1 -.х(1,— 1(у(1, с плотностью р=-ху. Пусть 5 — гладкая или кусочно гладкая поверхность (и —.1-мерное гладкое многообразие) в пространстве Е„, а р — заданная на ней непрерывная функция. Выражения и(х)= — ) р(у) ' д5я 1 Г дЕ(х, у) (13) ын дти 5 и(х)= — ~ р(у) Е(х, у) д5гн 1 Г озн (14) 39 где Е(х, у) — элементарное решение урввнения Лапласа, ти — внешняя нормаль к 5 в точке у, а ы„— площадь единичной сферы в Е„, называются соответственно потенциалом двойного слоя и потенциалом простого слоя масс, распределенных на 5 с плотностью р.
В каждой точке х пространства Е„, не лежащей на 5, потенциалы двойного и простого слон представляют собой гармонические функции. Выражения (13) и (14) имеют смысл, когда точка х лежит на поверхвости 5, и представляют собой непрерывные функции. Пусть 5 — замкнутая достаточно гладкая и — 1-мерная поверхность (кривая с непрерывной кривизной при и= 2), а 1)+ и 0- — соответственно конечная и бесконечная области, ограниченные ею. Потенциал двойного слоя (13) обладает следующими двумя.важнымисвойствами: 1) при переходе точки х из области Рч.
в область 0- он претерпевает разрыв так, что в обозначениях 1 Г дЕ(хо р) и(хо)= — ) )е(р) д ' "ля ык дта и+ (хо) = (нп и (х), и (хо) = 1пп и (х), хо й с, х -о х, х-о хо кеО+ хЕО имеют место равенства 1 и+ (х,) = — — (е (хо) + и (хо) 2 1 (хо) = — р (х,)+ и (хо)' 2 (1б) 2) при х — ехоМо существуют пределы 1'пп — и )йп ди (х), ди (х) к х дтк х хо док к со+ кеО обозначаемые соответственно (ди (хо) )+ (ди (хо)) причем в каждой точке хоби.
Что же касается потенциала простого слоя(!4), то: 1) он остается непрерывным при переходе точки х из области !Уе в область ез- и 2) существуют пределы хеОР «ео- так, что ( ..)- ди(хо)1 1 ди(хо) ) = И(хо)+ дтх, (15') (1бо) 213. Выяснить поведение потенциалов двойного и простого слоя при ~ х ! оо. 214. Указать достаточное условие для того, чтобы при а=2 потенциал простого слоя стремился к нулю, когда !х~ — оо. 215.
Составить интегральные уравнения Фредгольма второго рода, к которым сводятся задачи Дирихле и Неймана (как внутренние, так и внешние) для гармонических функций. 40 Эдесь через — обозначена нормальная производная потенциала простого ди (хо) дтк, 'слоя (14) при х=хоЕЯ. Это выражение имеет вполне определенный смысл. 216. Для гармонических в полуплоскости у)0 функций и(х, у) найти решение задачи Неймана с краевым условием ди~ ду ~а=о — =гр(х), — оо ~х ( оо, редуцируя ее к задаче Дирихле в этой же полуплоскости для сопряженных к и(х, у) гармонических функций. 217.
Вычислить потенциал простого слоя и (х, у) масс, распре- деленных по окружности х'+у'= Яз с плотностью (а=1. 218. Найти потенциал простого слоя и(х, у, г) масс, распре- деленных по сфере хе+уз+аз=1 с плотностью (а=1. 219. Найти потенциал двойного слоя и(х, у) масс, распреде- ленных по окружности х'+у'=1 с плотностью (д=х. 220. Найти гармоническую вне замкнутого круга хе+уз(1 ' функцию и (х, у) по краевому условию и(х,у)=сон'гр — з!и'<р — 1, 0(<р(2и.
221. Найти решение задачи Дирихле для гармонических функ- ций вне шара хе+уз+ге т1 по краевому условию и (х, у, г) = х' — у' — 1, х'+ у'+ гз = 1. 222. Найти решение задачи Дирихле для гармонических функций в области ха+уз+аз) 1 по краевому условию и(х, у, г)=г, ха+уз+аз=1. 223, Функция и(х, у)= — —,, г'=х'+у', у 2гз ' является внешним потенциалом простого слоя масс, распределенных по окружности г*=1. Найти значение этого потенциала в круге г*(1. 224. Найти потенциал двойного слоя масс, распределенных по окружности х'+у'=1 с плотностью (а=1. 225.
Потенциал простого слоя масс, распределенных по окружности х'+и'=1, вне замкнутого круга хе+уз(1 дается формулой и(х, у)= —, ~1+ — з) г'=х'+у'. Найти плотность масс р. 8 4. Некоторые другие классы эллиптических уравнений Среди классов эллиптических уравнений в приложениях важное значение имеет уравнение Гельмгольца Ли+Хи =О, (17) где Ь вЂ операт Лапласа, а 1 †действительн постоянная, и бигармоническве уравнение Ьйи=о, (18) 41 226. Непосредственной проверкой убедиться, что относительно переменных х, у выражение и (х, у) = Уо (р $' (г — г) г), Ф где Уо(г) =~ — „,, ( — ) — функция Бесселя нулевого порядка, о=о ро= Х, г= х+ (у, 1 = $+ Й), удовлетворяет уравнению (17).
227. Пользуясь результатом задачи 226, показать, что фор- мула 2 и (х, у) = Ке )г у, (р )Г (г — 1) г) ) (1) й, о где 7" — произвольная аналитическая функция комплексного переменного г, а до=а, дает регулярные решения уравнения (17). 228. Для уравнения (17) доказать справедливость принципа экстремума: при Х < О регулярное в области )? решение уравнения (17) ни в одной внутренней точке области 0 не может достигать ни положительного максимума, ни отрицательного минимума. 229. Обладает ли свойством единственйости решение задачи Дирихле (17), (4) в ограниченной области при?.
( О? 230. Показать, что функция — 1 Е(г) =- ~ ф где р'= — Х, г'=(х — 5)о+(д — т1)', является решением уравнения (17) при и =2, г~О. 231. Пользуясь записью оператора Лапласа в сферических координатах, доказать, что при и =3 одно из зависящих только от расстояния г = ~х — д ~ решений уравнения (17), когда Х = — р*, имеет вид Е(г)= — ' 232. Полагая в уравнении (17) ? = — р', для регулярными в области 0~: Е, решений и ЕС'(Р 0 Я) этого уравнения дока- зать справедливость тождества и(х) = — ~~~Е(х, у) ~ — и(у) ' « 1оБо, где Е(х, у)=Е(г) дается формулой (19).
233. Записывая уравнение (18) при и=2 в виде д4и ==О, дггдго показать, что все решения этого уравнения в односвязной области 42 могут быть представлены в виде и = Ке [г~р (г) + ф (г)1, где ~р и ф — произвольные аналитические функции комплексного переменного г=х,+(х,. 234. Показать, что функция Е(г)=г'!ояг, «=~х — у~, при гчьО удовлетворяет уравнению (18) при а=2. 235. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция и (х) = о, (х) + ~ х 1о о, (х), л где о„и о,— гармонические функции, а ~ х 1' = ~ х';, удовлетвоС=1 ряет уравнению (18).
236. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функ- ции вида т и (х) = ~ ии(х), и=! где и„(х) †решен уравнения Аи„ вЂ” Х и =-О, А = 1, ...,и, а т Մ— нули полинома ~о аоХ" ", являются решениями эллиптичео=о ского уравнения порядка 2т с постоянными коэффициентами ~ а„й ои=О. о=о 237. Показать, что функции вида и(х, у) = Ке<~ (г,)+ф(г,)1, где Ч~ и ф — аналитические функции комплексных переменных г,=х — — (1+1)у, г,=х+ — (1+1)у, являются решениями 12 .
г2 эллиптического уравнения д4и дфи — + — =О. дх~ ди4 238. Показать, что при Ь' — ас(О все регулярные решения уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами аи„„+ 2Ьи„„+ сидо — — О могут быть получены из формулы и(х, у) = Ке1 ~х —,(Ь+17 ас — Ь') у~, ! где )'(1) †произвольн аналитическая функция комплексного переменного 1 = х — (Ь + ЦГ ос в Ь') у.
1 с 239. Пользуясь формулой Пуассона для круга, написать рехз уа шение и(х, у) задачи Дирихле внутри эллипса —,+ —, < 1 для уравнения эллиптического типа а'и„„+ Ь'и„„= О, а = сопз1, Ь =- сопз1, с краевым условием (4). 240.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
