Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 3

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 3 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 32021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

По изложенной схеме приводится к каноническому виду и квазилинейиое уравнение вида аи, +2ьихи+сан„+Г(х, у, и, и„, и„)=О, коэффициенты а, Ь, с которого являются заданнымц функциями лишь незави- симых переменных х, у. Поскольку функции е(х, у) и ф(х, у) в преобразовании (13) являются решениями линейных уравнений с частными производными первого порядка, коэффициенты которых выражаются через а(х, у), Ь(х, у), с(х, р), то от последних следует потребовать, чтобы они одновременно в нуль не обращались и, кроме того, обладали определенными дифференциальными свойствами. Заметим, что, когда коэффициенты уравнения (9) постоянны, после приведения этого уравнения к одному из видов (!2), (!6), (16) можно произвести дальнейшее упрощение. ° Так, например, вводя новую неизвестную функцию ш(я, Ч) по формуле о(5 ч) ех(+нчш(5 ч) подходящим подбором постоянных Х н р можно добиться, чтобы коэффициенты при первых производвык ш в эллиптическом и гиперболическом случаях и один из коэффициентов при первых производных и коэффициент при самой ю в параболическом случае отсутствовали.

Следующие уравнения привести к каноническому виду в каждой иа областей, где сохраняется тип рассматриваемого уравнения: 68. и„„+2и„„+5脄— 32и=О. 69. и„— 2и +и„„+9и„+9и„— 9и=О. 70. 2и„„+За„„+и„„+7и„+4из — 2и= О. 71. и„„+脄— 2и,„— Зи„— 15и,+27х= О. 72. 9脄— би„„+ и„„+ 1Ои„— 15и„— 50а+ х — 2у = О. 73.

и„„+4ихя+10脄— 24и„+42иэ+2(к+у) = О. 74. и„„+4и„„+13и„э+За„+24ия — 9и+9(х+у) =О. 75. (1 + х')' и„„+ и „„+ 2х (1+ х') и, = О. 76. у'и„„+2хуи +х'и „=О. 77. 脄— (1+уз)з脄— 2у(1+у') и =О. 78. (1+х') и„„+(1+у*) и„„+хи„+ уи„— 2и = О. 79. х'и„„+ 2хуихя+ у'脄— 2уи„+ уез!' = О. 80. ху'脄— 2х*уила+ х'脄— у'и„= О.

81. 脄— 2 выл хи — соээ ха „вЂ” созхи =О. ИР Р 82. е™и„„+ 2е"+виля+ езУизэ — хи = О. 84. хи„„+2хи„„+(х — 1) и„„=О. 86. хи„+уи„„+2и„+2и =О. 87. и„„+2 вях脄— (соя'х — з)пах) и,„+сокхи„=О. 88. и„„+хуи„„=О. Привести к каноническому виду и проделать дальнейшие упрощения уравнений: 89. 脄— 4илн+5и „вЂ” Зи„+и +и=О.

91. 2и„— 4и,„+и„— 2ио+и+к=О. 93. 2и„„+2и„+ива+ 4и„+4и„+и = О. 94. и„„+2и„э+и„„+Зи„— 5и„+4и=О. 95. 脄— и„„+и,+и,— 4и =О. 96. и„„+ 脄— и„— 10и + 4х = О. 97. Зи„„+ и„+ Зи„+ и„— и + у = О. 98. и„„+4и„в+5脄— 2и„— 2и„+и=О. 99. 5и„„+ 1би„„+ )би„„+ 24и„+ 32и„+ 64и = О. 100. 脄— 2и„„+脄— Зи„+12и„+27и=О. Привести к каноническому виду уравнения: 101. и„„+2и„„+2и„+4и„,+5и„=О. 105.

и„„+ Зи,„+ Зи„— 2и„— 2и„,— 2и„,— 8и = О. 106. и„„+ и, + и„+ би„„+2и„,+2и„,+2и„+2и,+2и,+4и= О. 109. и„„+4и„,+и„+4и„„+2и„,+4и„,+2и=О. 110. и„„+ 4и„+ 9и„+ 4и„„+ би„,+ 12и„,— 2и„— 4 и — би,=О. 9 4. Математическое описание некоторых явлений, изучаемых методами математической физики Во многих случаях исследование тех или иных явлений природы можно привести к нахождению решений дифференциальных уравнений с частными производными, носящих название уравнений математической физики. Чтобы пользоваться методами математической физики, в первую очередь следует установить, какие величины являются определяющими для изучаемого явления.

Затем, пользуясь физическими законами (принципами), выражающими связь между этими величинами, составить уравнение (систему уравнений) с частными производными и дополнительные условия (граничные, начальные) к уравнению (системе), из которых впоследствии определяются и притом однозначно неизвестные величины, характеризующие явление. Важно иметь в виду, что одна и та же задача математической физики может служить моделью совершенно разных явлений. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения (системы) гиперболического типа получаются при математическом моделирова. нии колебательных процессов, При выводе уравнений колебаний механических систем с успехом можно пользоваться вариационным принципом стационарного действия (известным также под названием принципа наименьшего действия) Гамильтона.

В качестве примера рассмотрим плоские поперечные коле- 14 банна струны и проследим, как происходит математическое описание этого процесса, основанное на принципе Гамильтона. Струной называется гибкая упругая нить (одномерный упругий континуум), которая в состоянии покоя натянута (вдоль координатной оси х) и потенциальная энергия элемента которой в процессе колебаний пропорциональна приращению длины этого элемента. Коэффициент пропорциональности называется яагляжениел струны. Основной величиной, характеризующей колебания струны, является отклонение и =и (к, Г) струны в плоскости (х, и) от положения равновесия в точке х в момент времени К Если обозначить через К и (7 соответственно кинетическую и потенциальную энергии струны, которые выражаются через и(х, Г) и ее производные, то в силу принципа Гамильтона интеграл (действие) (17) г, распространенный на промежуток П~Г~Гз времени наблюдения, должен быть стационарным, т.

е. должна существовать определенная функция и(х, г), вдоль которой вариация функционала (17) обращается в нуль. Уравнение Эйлера этого функционала н является искомым дифференциальным уравнением с частными производными, носящим название уравнения колебаний струны. Получаемые при варьировании функционала (!7) соотношения для функции и(х, Г) на концах струны представляют собой налагаемые на функцию и(х, Г) дополнительные (граничные или краевые) условия, характеризующие состояние концов (в частности, способы их закрепления) в процессе колебаний. Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний, кроме дифференциального уравнения и граничных условий, нужна знать также начальное положение (форму струны в начальный момент времени) и начальную скорость движения струны.

Уравнение колебаний струны сильно упрощается, если считать колебания малыми, т. е. в выражении для потенциальной энергии (Г пренебречь степенями и„ выше второй. Отметим, что это уравнение представляет математическую модель также для описания и других явлений, таких, например, как нолебания газа в трубке, электричесние колебания в проводах и т. д. Пользуясь принципом Гамильтона (по изложенной схеме), можно математически формулировать задачи о продольных колебаниях стержня, поперечных колебаниях мембраны, пластинки и др.

111. Струна (0(х(1) с линейной плотностью р=р(х) совершает поперечные колебания и=-и(х, () в плоскости (х, и). Найти кинетическую энергию К для случаев, когда струна а) не имеет сосредоточенных масс; б) в точках х; имеет сосредоточенные массы гпг, 1=1...,, и. 112. Найти потенциальную энергию струны (0(х(1), совершающей поперечные колебания и(х, 1) в плоскости (х, и) для случаев, когда: а) концы струны закреплены жестко; б) концы струны закреплены жестко н степенями и выше второй можно пренебречь; 15 в) в ортогональном оси х направлении к концам струны приложены силы т,(1) и т,(1) соответственно; г) концы струны закреплены упруго, т.

е. они испытывают действие силы, пропорциональной их отклонению и направленной противоположно отклонению. Мембраной называется гибкая упругая пленка (двумерный континуум), которая в положении покоя занимает некоторую область нлоскостн н для которой работа, затрачиваемая на деформапню элемента мембраны, пропорцно. нальна прнращенню площади этого элемента (козффнцнент пропорционально. стн называется налгллсением мембраны).

113. Мембрана, которая в состоянии покоя совпадает с областью Р плоскости переменных х, у, совершает поперечные колебания и = и(х, у, 1) и имеет поверхностную плотность р = р(х, у). Найти кинетическую энергию К мембраны для случаев, когда мембрана а) не имеет сосредоточенных масс; б) в точках (хо у,) имеет сосредоточенные массы то 1=1, ..., п. 114. Найти потенциальную энергию мембраны Р, совершающей поперечные колебания и=и(х, у, 1), когда: а) край мембраны закреплен жестко; б) край мембраны закреплен жестко, степенями и„и и, выше второй можно пренебречь; в) край мембраны закреплен упруго, т.е. точки (х, у) края мембраны испытывают сопротивление, пропорциональное отклонению и(х, у, 1) этих точек; г) на мембрану с жестко закрепленным краем действует поперечная сила Р(х, у, 1), степенями и„и иа выше второй можно пренебречь.

115..Струна (0(х(1) с линейной плотностью р= р(х) и натяжением Т совершает малые поперечные колебания и(х, 1). Пусть гр(х) и тр(х) — начальные (при 1= — 0) отклонения и скорости точек струны соответственно. Пренебрегая степенями и выше второй в выражении для потенциальной энергии струны, а также действием силы тяжести, на основании принципа Гамильтона сформулировать задачу об определении отклонений и(х, 1), 1) О, точек струны от положения равновесия, когда: а) концы струны закреплены жестко; б) концы струны свободны; в) к концам струны х=О и х=1, начиная с момента 1=0, приложены поперечные силы Г (1) и Ф(1) соответственно; г) концы струны закреплены упруго, т.

е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца; д) конец х = 0 закреплен жестко, а конец х = 1 в упруго, т. е. испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению, и на струну, начиная с момента 1 = О, действует поперечная сила г'(х, 1); 16 е) в точке хь(0(хэ(1) струны, начиная с момента 1=0, действует поперечная сила г ((), концы струны закреплены жестко; ж) концы струны закреплены упруго и в точках хг (О ( хг ( 1) струны имеются сосредоточенные массы т„(=1, ..., л.

116. Однородная мембрана в состоянии покоя совпадаетс областью Р плоскости (х, у) с границей Т.. Пусть р — поверхностная плотность, Т вЂ” натяжение мембраны, тр(х, у) и тр(х, у) — начальные (при (= 0) отклонения и скорости точек (х, у) мембраны соответственно. На основании принципа Гамильтона сформулировать задачу об определении поперечных отклонений и(х, у, (), 1 > О, точек мембраны от положения равновесия, пренебрегая действием силы тяжести и степенями и„и и„выше второй, когда: а) край мембраны закреплен жестко; б) край мембраны свободен; в) к краю мембраны приложена поперечная сила Р(х, у, у), (х, у) Е 1., начиная с момента ( =- 0; г) край мембраны закреплен упруго, т. е.

точки края испытывают сопротивление, пропорциональное их отклонению; д) начиная с момента ( =- О, на мембрану действует поперечная сила г (х, у, 1), а край мембраны закреплен жестко; е) мембрана колеблется в среде, оказывающей сопротивление колебаниям, пропорциональное отклонению, а край мембраны закреплен жестко„ ж) в точке (х„у,) ~ Р мембрана имеетсосредоточенную массу па, а край мембраны закреплен жестко. Уравнение колебаний струны описывает также продольные колебания упругого стержня. В самом деле, пусть координатная ось х совпадает с направлением продольной оси упругого стержня длины П Предположим, что поперечные (ортогональные осн х) сечения стержня могут смещаться (совершать продольные колебания) вдоль оси х.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее