1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 3
Текст из файла (страница 3)
По изложенной схеме приводится к каноническому виду и квазилинейиое уравнение вида аи, +2ьихи+сан„+Г(х, у, и, и„, и„)=О, коэффициенты а, Ь, с которого являются заданнымц функциями лишь незави- симых переменных х, у. Поскольку функции е(х, у) и ф(х, у) в преобразовании (13) являются решениями линейных уравнений с частными производными первого порядка, коэффициенты которых выражаются через а(х, у), Ь(х, у), с(х, р), то от последних следует потребовать, чтобы они одновременно в нуль не обращались и, кроме того, обладали определенными дифференциальными свойствами. Заметим, что, когда коэффициенты уравнения (9) постоянны, после приведения этого уравнения к одному из видов (!2), (!6), (16) можно произвести дальнейшее упрощение. ° Так, например, вводя новую неизвестную функцию ш(я, Ч) по формуле о(5 ч) ех(+нчш(5 ч) подходящим подбором постоянных Х н р можно добиться, чтобы коэффициенты при первых производвык ш в эллиптическом и гиперболическом случаях и один из коэффициентов при первых производных и коэффициент при самой ю в параболическом случае отсутствовали.
Следующие уравнения привести к каноническому виду в каждой иа областей, где сохраняется тип рассматриваемого уравнения: 68. и„„+2и„„+5脄— 32и=О. 69. и„— 2и +и„„+9и„+9и„— 9и=О. 70. 2и„„+За„„+и„„+7и„+4из — 2и= О. 71. и„„+脄— 2и,„— Зи„— 15и,+27х= О. 72. 9脄— би„„+ и„„+ 1Ои„— 15и„— 50а+ х — 2у = О. 73.
и„„+4ихя+10脄— 24и„+42иэ+2(к+у) = О. 74. и„„+4и„„+13и„э+За„+24ия — 9и+9(х+у) =О. 75. (1 + х')' и„„+ и „„+ 2х (1+ х') и, = О. 76. у'и„„+2хуи +х'и „=О. 77. 脄— (1+уз)з脄— 2у(1+у') и =О. 78. (1+х') и„„+(1+у*) и„„+хи„+ уи„— 2и = О. 79. х'и„„+ 2хуихя+ у'脄— 2уи„+ уез!' = О. 80. ху'脄— 2х*уила+ х'脄— у'и„= О.
81. 脄— 2 выл хи — соээ ха „вЂ” созхи =О. ИР Р 82. е™и„„+ 2е"+виля+ езУизэ — хи = О. 84. хи„„+2хи„„+(х — 1) и„„=О. 86. хи„+уи„„+2и„+2и =О. 87. и„„+2 вях脄— (соя'х — з)пах) и,„+сокхи„=О. 88. и„„+хуи„„=О. Привести к каноническому виду и проделать дальнейшие упрощения уравнений: 89. 脄— 4илн+5и „вЂ” Зи„+и +и=О.
91. 2и„— 4и,„+и„— 2ио+и+к=О. 93. 2и„„+2и„+ива+ 4и„+4и„+и = О. 94. и„„+2и„э+и„„+Зи„— 5и„+4и=О. 95. 脄— и„„+и,+и,— 4и =О. 96. и„„+ 脄— и„— 10и + 4х = О. 97. Зи„„+ и„+ Зи„+ и„— и + у = О. 98. и„„+4и„в+5脄— 2и„— 2и„+и=О. 99. 5и„„+ 1би„„+ )би„„+ 24и„+ 32и„+ 64и = О. 100. 脄— 2и„„+脄— Зи„+12и„+27и=О. Привести к каноническому виду уравнения: 101. и„„+2и„„+2и„+4и„,+5и„=О. 105.
и„„+ Зи,„+ Зи„— 2и„— 2и„,— 2и„,— 8и = О. 106. и„„+ и, + и„+ би„„+2и„,+2и„,+2и„+2и,+2и,+4и= О. 109. и„„+4и„,+и„+4и„„+2и„,+4и„,+2и=О. 110. и„„+ 4и„+ 9и„+ 4и„„+ би„,+ 12и„,— 2и„— 4 и — би,=О. 9 4. Математическое описание некоторых явлений, изучаемых методами математической физики Во многих случаях исследование тех или иных явлений природы можно привести к нахождению решений дифференциальных уравнений с частными производными, носящих название уравнений математической физики. Чтобы пользоваться методами математической физики, в первую очередь следует установить, какие величины являются определяющими для изучаемого явления.
Затем, пользуясь физическими законами (принципами), выражающими связь между этими величинами, составить уравнение (систему уравнений) с частными производными и дополнительные условия (граничные, начальные) к уравнению (системе), из которых впоследствии определяются и притом однозначно неизвестные величины, характеризующие явление. Важно иметь в виду, что одна и та же задача математической физики может служить моделью совершенно разных явлений. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Уравнения (системы) гиперболического типа получаются при математическом моделирова. нии колебательных процессов, При выводе уравнений колебаний механических систем с успехом можно пользоваться вариационным принципом стационарного действия (известным также под названием принципа наименьшего действия) Гамильтона.
В качестве примера рассмотрим плоские поперечные коле- 14 банна струны и проследим, как происходит математическое описание этого процесса, основанное на принципе Гамильтона. Струной называется гибкая упругая нить (одномерный упругий континуум), которая в состоянии покоя натянута (вдоль координатной оси х) и потенциальная энергия элемента которой в процессе колебаний пропорциональна приращению длины этого элемента. Коэффициент пропорциональности называется яагляжениел струны. Основной величиной, характеризующей колебания струны, является отклонение и =и (к, Г) струны в плоскости (х, и) от положения равновесия в точке х в момент времени К Если обозначить через К и (7 соответственно кинетическую и потенциальную энергии струны, которые выражаются через и(х, Г) и ее производные, то в силу принципа Гамильтона интеграл (действие) (17) г, распространенный на промежуток П~Г~Гз времени наблюдения, должен быть стационарным, т.
е. должна существовать определенная функция и(х, г), вдоль которой вариация функционала (17) обращается в нуль. Уравнение Эйлера этого функционала н является искомым дифференциальным уравнением с частными производными, носящим название уравнения колебаний струны. Получаемые при варьировании функционала (!7) соотношения для функции и(х, Г) на концах струны представляют собой налагаемые на функцию и(х, Г) дополнительные (граничные или краевые) условия, характеризующие состояние концов (в частности, способы их закрепления) в процессе колебаний. Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса колебаний, кроме дифференциального уравнения и граничных условий, нужна знать также начальное положение (форму струны в начальный момент времени) и начальную скорость движения струны.
Уравнение колебаний струны сильно упрощается, если считать колебания малыми, т. е. в выражении для потенциальной энергии (Г пренебречь степенями и„ выше второй. Отметим, что это уравнение представляет математическую модель также для описания и других явлений, таких, например, как нолебания газа в трубке, электричесние колебания в проводах и т. д. Пользуясь принципом Гамильтона (по изложенной схеме), можно математически формулировать задачи о продольных колебаниях стержня, поперечных колебаниях мембраны, пластинки и др.
111. Струна (0(х(1) с линейной плотностью р=р(х) совершает поперечные колебания и=-и(х, () в плоскости (х, и). Найти кинетическую энергию К для случаев, когда струна а) не имеет сосредоточенных масс; б) в точках х; имеет сосредоточенные массы гпг, 1=1...,, и. 112. Найти потенциальную энергию струны (0(х(1), совершающей поперечные колебания и(х, 1) в плоскости (х, и) для случаев, когда: а) концы струны закреплены жестко; б) концы струны закреплены жестко н степенями и выше второй можно пренебречь; 15 в) в ортогональном оси х направлении к концам струны приложены силы т,(1) и т,(1) соответственно; г) концы струны закреплены упруго, т.
е. они испытывают действие силы, пропорциональной их отклонению и направленной противоположно отклонению. Мембраной называется гибкая упругая пленка (двумерный континуум), которая в положении покоя занимает некоторую область нлоскостн н для которой работа, затрачиваемая на деформапню элемента мембраны, пропорцно. нальна прнращенню площади этого элемента (козффнцнент пропорционально. стн называется налгллсением мембраны).
113. Мембрана, которая в состоянии покоя совпадает с областью Р плоскости переменных х, у, совершает поперечные колебания и = и(х, у, 1) и имеет поверхностную плотность р = р(х, у). Найти кинетическую энергию К мембраны для случаев, когда мембрана а) не имеет сосредоточенных масс; б) в точках (хо у,) имеет сосредоточенные массы то 1=1, ..., п. 114. Найти потенциальную энергию мембраны Р, совершающей поперечные колебания и=и(х, у, 1), когда: а) край мембраны закреплен жестко; б) край мембраны закреплен жестко, степенями и„и и, выше второй можно пренебречь; в) край мембраны закреплен упруго, т.е. точки (х, у) края мембраны испытывают сопротивление, пропорциональное отклонению и(х, у, 1) этих точек; г) на мембрану с жестко закрепленным краем действует поперечная сила Р(х, у, 1), степенями и„и иа выше второй можно пренебречь.
115..Струна (0(х(1) с линейной плотностью р= р(х) и натяжением Т совершает малые поперечные колебания и(х, 1). Пусть гр(х) и тр(х) — начальные (при 1= — 0) отклонения и скорости точек струны соответственно. Пренебрегая степенями и выше второй в выражении для потенциальной энергии струны, а также действием силы тяжести, на основании принципа Гамильтона сформулировать задачу об определении отклонений и(х, 1), 1) О, точек струны от положения равновесия, когда: а) концы струны закреплены жестко; б) концы струны свободны; в) к концам струны х=О и х=1, начиная с момента 1=0, приложены поперечные силы Г (1) и Ф(1) соответственно; г) концы струны закреплены упруго, т.
е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца; д) конец х = 0 закреплен жестко, а конец х = 1 в упруго, т. е. испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению, и на струну, начиная с момента 1 = О, действует поперечная сила г'(х, 1); 16 е) в точке хь(0(хэ(1) струны, начиная с момента 1=0, действует поперечная сила г ((), концы струны закреплены жестко; ж) концы струны закреплены упруго и в точках хг (О ( хг ( 1) струны имеются сосредоточенные массы т„(=1, ..., л.
116. Однородная мембрана в состоянии покоя совпадаетс областью Р плоскости (х, у) с границей Т.. Пусть р — поверхностная плотность, Т вЂ” натяжение мембраны, тр(х, у) и тр(х, у) — начальные (при (= 0) отклонения и скорости точек (х, у) мембраны соответственно. На основании принципа Гамильтона сформулировать задачу об определении поперечных отклонений и(х, у, (), 1 > О, точек мембраны от положения равновесия, пренебрегая действием силы тяжести и степенями и„и и„выше второй, когда: а) край мембраны закреплен жестко; б) край мембраны свободен; в) к краю мембраны приложена поперечная сила Р(х, у, у), (х, у) Е 1., начиная с момента ( =- 0; г) край мембраны закреплен упруго, т. е.
точки края испытывают сопротивление, пропорциональное их отклонению; д) начиная с момента ( =- О, на мембрану действует поперечная сила г (х, у, 1), а край мембраны закреплен жестко; е) мембрана колеблется в среде, оказывающей сопротивление колебаниям, пропорциональное отклонению, а край мембраны закреплен жестко„ ж) в точке (х„у,) ~ Р мембрана имеетсосредоточенную массу па, а край мембраны закреплен жестко. Уравнение колебаний струны описывает также продольные колебания упругого стержня. В самом деле, пусть координатная ось х совпадает с направлением продольной оси упругого стержня длины П Предположим, что поперечные (ортогональные осн х) сечения стержня могут смещаться (совершать продольные колебания) вдоль оси х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
