Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 4

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 4 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 42021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Будем считать, что поперечные сечения 5=5 (х) стержня во время смещения остаются плоскими и ортогональными оси х. Это допущение вполне оправдано, когда толщина стержня по сравнению с его длиной достаточяо мала. Обозначим через и=и(х, Г) отклонение в момент времени ( того сечения стержня, которое, находясь в покое, имело абсциссу х. Пусть р=р (х) — плотность стержня, Е=Е(х, Г) — объемная плотность внешних сил, действующих вдоль оси х, Е=Е(х) — модуль упругости Юнга, Т=Т(х, Г) — натяжение.

Выделим произвольно внутри стержня достаточно малую его часть Ф', которая в положении покоя заключена между поперечнымн сечениями с ноординатами х и х+ Ьх, и составим уравнение движения этой части, пользуясь на этот раз п р и нци по м саламбо р а. В силу этого принципа сумма всех сил, действующих на (Р в направлении возможного перемещения (вдоль оси х), включая силы инерции, долхсна равняться нулю, и. е.

Т (х+ Ьх, 0+ Т (х, 0 + 5 (х) Р (х, т) Ьх — 5 (х) р (х) итт (х, 0 Ьх = О, х, хЕ(х, х+Ьх). Отсюда, учитывая то обстоятельство, что, согласно закону Гука, натяжение 17 Т(х. С) пропорционально относительному удлинению, Т (х. С) = Е (х) и (х, С), 0 < х < 1, находим (Е5и„) (я+ах, С) — (Е5и„) (х, С)+ (5Р) (х, С) йх =(5риСС) (х, С) Лх. (18) Пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях, перепишем равенство (!8) в виде — (Е5и,) (хе, С) Дх+(5Е) (х, С) Ьх=(р5исс) (х, С) йх, (19) хец(х, х+Ьх). Сокращая равенство (19) на ах и устремляя затем Дх к нулю, получаем диф. ференциальное уравнение продольных колебаний стержня д дх — [5 (х) Е (х) и„ (х, С)] + 5 (х) Р (х, С) = р (х) 5 (х) иСС (х, С), 0 < х < 1. (20) В случае однородного стержня, т.

е. когда 5, р, Е постоянны, уравнение (20) примет вид иСС (х, С) =азиях(х, С)-';[(х, С), О < х < 1, (20') где а'=Е]р С'(х, С)=Р(х, С)/р. Для однозначного определения искомой функции и(х, С) нз уравнения (20) или (20') следует задать начальные отклонения и(х, 0) и начальные скорости ис(х, 0) точек стержня, а также граничные условия. Чтобы получить граничные условия, следует выделить части стержвя )ре и Ггс достаточно малой длины ох, примыкающие к концам стержня, для каждой из которых написать уравнение движения, а затем перейти к пределу при Ьх — О. 117.

Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня постоянного сечения 5 длины ] при произвольных начальных отклонении и скорости для случаев, когда: а) концы стержня свободны; б) к концам стержня х=-О и х= [, начиная с момента 1=0, приложены силы Р(с) и Ф(1) соответственно, действующие вдоль оси х; в) концы стержня закреплены упруго, т.

е. испытывают сопротивление, пропорциональное их отклонению; г) конец стержня х=- О испытывает сопротивление, пропорциональное скорости, а конец х= ! закреплен жестко; д) начиная с момента 1 = О, стержень испытывает действие направленной вдоль оси х силы (вызванной, например, магнитным полем) объемной плотности Р(х, 1), а концы стержня закреплены жестко; е) стержень (на единицу массы) испытывает действие пропорциональной скорости силы сопротивления отклонению, а концы стержня х=О и х=[ колеблются по заданным законам р(1) и о (1) соответственно; 18 ж) конец стержня х = 0 закреплен, а конец х =1 свободен и к нему прикреплена сосредоточенная масса т.

118. Сформулировать задачу о продольных колебаниях упругого однородного стержня переменного сечения 5 = Я (х) длины 1 при произвольных начальных условиях для случаев, когда: а) стержень имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований г и Я (г (тт), которые закреплены жестко; б) конец стержня х=О закреплен упруго, а к концу х=1, начиная с момента 1=0, приложена продольная сила Е(1) на единицу площади сечения.

119. Два полуограниченных упругих однородных стержня с одинаковыми (постоянными) поперечными сечениями 5 соединены торцами и составляют один неограниченный стержень. Пусть р, и Е,— плотность и модуль угругости одного из них, а р, и Е,— друго~о. Поставить краевую задачу для определения отклонений сечений неограниченного стержня (при 1 ) 0) от их положения покоя, если заданы начальное (при 1=0) отклонение гр(х) и начальная скорость зр(х). При этом рассмотреть случаи: а) торцы составляющих стержней соединены непосредственно; б) торцы составляющих стержней соединены так, что между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины с массой и.

К системе уравнений гиперболического типа приводится задача об электрических колебаниях в проводах. Расположим провод вдоль координатной оси х. пусть 1= 1(х. г) †си тока, о=о(х, т) †напряжен проходящего по проводу тока, )1 — омическое сопротивление, а Ь, С и 6 — самоиндукция, емкость и утечка тока соответственно, рассчитанные на единицу длины провода.

Пренебрегая электромагнитными колебаниями окружающей провод среды и считая утечку тока (через несовершенную изоляцию) пропорциональной напряжению, выведем уравнения, описывающие течение тока и изменение напряжения в проводе. Для определенности будем считать, что направление тока совпадает с направлением оси х. В силу закона Ома для достаточно малого внутреннего участка провода (х, х+Ьх) имеем э (х, г) о (я+ох, т)=1 (х, т) )тьх+1т (х, г) г ох, х', х" ~(х, х+Ьх). Отсюда, пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях, после со- кращения на ох, в пределе при Ьх — ~0, получаем о „ (х, т) + Ф (х, т) + ьй (х, т) = О.

(21) Далее, приравнивая количество электричества, притекающее на элемент про- вода Ьх за время бт (от 1 до г+ат), [1(х, 0 — 1(х+Ьх, т))Ы= — (х(х, 1) ЬхЫ, хС(х, я+ах), 19 количеству электричества С [о (х, 1+ Ь1) — о (х, 1)] Ьх+ бо (х, 1) Ьх Ь1= [Со1 (х, 1 ) + бо (х, 1)] Ьх Ь1 х ч(х, х+ Ьх), 1, 1' Е (1, 1+ ЬО), которое расходуется на зарядку элемента Ьх и утечку через несовершенную изоляцию этого элемента, как н при выводе равенства (21), находим 1„(х, 1)+Сот(х, 1)+бе(х, 1)=0.

(22) Система уравнений (21) и (22) называется системой телеграфных урав- нений. Если из этой системы иснлючить о(х, 1) или 1(х, О, то получим со- ответственно уравнения вида =ша+Ыт+с1, о =аом+Ьи1+со, где а=С]„6=СЛ+б(., с=бй. Лля вывода граничных условий (в случае, например, конечного провода Оакхе 1) следует рассмотреть падение напряжения и приток электричества для участков (О, Ьх) и (1 — Ьх, 1) провода, примыкающих к его концам. При этом необходимо учесть, что если в цепи имеются последовательно включен- ные сосредоточенные омическое сопротивление )1о, самоиндукция йе н емкость Сэ, то падение напряжения на иих дается формулой 1 Г.

Ьо= йе!+)ой+ — ) (от. с,,) 120. Пусть ф(х) и тр(х) — соответственно начальный (при 1=0) ток и начальное напряжение тока в проводе (0(х(1). Пренебрегая омическим сопротивлением и утечкой, поставить краевую задачу для определения тока и напряжения (электрических колебаний) при 1 > 0 в этом проводе для случаев, когда: а) к концу х=О, начиная с момента1=0, приложена электро- движущая сила Е(1), а конец х=] заземлен; б) конец х=О заземлен через сосредоточенную емкость С„ а к концу х = [, начиная с момента 1 = О, приложена электро- движущая сила Е (1) через сосредоточенное омическое сопротивление г(;, в) к концу х = О, начиная с момента 1= 0, приложена электро- движущая сила Е(1) через сосредоточенную самоиндукцию Е„ а конец х=1 заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Е,. 121. Пусть ~р(х) и тр(х) — начальные (при 1=0) ток и напра.

жение в проводе (О~х(]). Поставить краевую задачу для оп. ределения при 1) 0 тока и напряжения (электрических колебаний) в этом проводе для случаев, когда: а) конец провода х= 0 заземлен через сосредоточенное омическое сопротивление ]г„ а к концу х= 1, начиная с момента 1=0, приложена электродвижущая сила Е(1) через сосредоточенное омнческое сопротивление ]г,; б) конец х = 0 заземлен через последовательно включенные сосредоточенное омическое сопротивление ]сэ и самоиндукцию Ею а к концу х= ], начиная с момента 1 = О, приложена электро- движущая сила Е(1) через сосредоточенную самоиндукцию Е,.

20 Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Начнем с задачи об определении температуры в стержне. Направим ось стержня вдоль координатной оси х. Будем предполагать, что в любом ортогональном оси стержня сечении температура не зависит от положения точек этого сечения. Пусть р=р(х) — плотность стержня, йе й(х) и н=х(») — коэффициенты внутренней и внешней (конвектнвной) теплопроводности соответственно, с=с(х) — удельная теплоемкость, 5=5(х) — площадь поперечного сечения, а=а(х) — периметр поперечного сечения, д=д(х, Е) — объемная плотность источников тепла, и=и(х, Е) — температура в сечении х в момент времени Е, из=из(Е) — температура внешней среды, Для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция и(х, Е), выделим произвольно внутри стержня достаточно малую его часть йт, заключенную между ортогональными оси х сечения.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6374
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее