1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Будем считать, что поперечные сечения 5=5 (х) стержня во время смещения остаются плоскими и ортогональными оси х. Это допущение вполне оправдано, когда толщина стержня по сравнению с его длиной достаточяо мала. Обозначим через и=и(х, Г) отклонение в момент времени ( того сечения стержня, которое, находясь в покое, имело абсциссу х. Пусть р=р (х) — плотность стержня, Е=Е(х, Г) — объемная плотность внешних сил, действующих вдоль оси х, Е=Е(х) — модуль упругости Юнга, Т=Т(х, Г) — натяжение.
Выделим произвольно внутри стержня достаточно малую его часть Ф', которая в положении покоя заключена между поперечнымн сечениями с ноординатами х и х+ Ьх, и составим уравнение движения этой части, пользуясь на этот раз п р и нци по м саламбо р а. В силу этого принципа сумма всех сил, действующих на (Р в направлении возможного перемещения (вдоль оси х), включая силы инерции, долхсна равняться нулю, и. е.
Т (х+ Ьх, 0+ Т (х, 0 + 5 (х) Р (х, т) Ьх — 5 (х) р (х) итт (х, 0 Ьх = О, х, хЕ(х, х+Ьх). Отсюда, учитывая то обстоятельство, что, согласно закону Гука, натяжение 17 Т(х. С) пропорционально относительному удлинению, Т (х. С) = Е (х) и (х, С), 0 < х < 1, находим (Е5и„) (я+ах, С) — (Е5и„) (х, С)+ (5Р) (х, С) йх =(5риСС) (х, С) Лх. (18) Пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях, перепишем равенство (!8) в виде — (Е5и,) (хе, С) Дх+(5Е) (х, С) Ьх=(р5исс) (х, С) йх, (19) хец(х, х+Ьх). Сокращая равенство (19) на ах и устремляя затем Дх к нулю, получаем диф. ференциальное уравнение продольных колебаний стержня д дх — [5 (х) Е (х) и„ (х, С)] + 5 (х) Р (х, С) = р (х) 5 (х) иСС (х, С), 0 < х < 1. (20) В случае однородного стержня, т.
е. когда 5, р, Е постоянны, уравнение (20) примет вид иСС (х, С) =азиях(х, С)-';[(х, С), О < х < 1, (20') где а'=Е]р С'(х, С)=Р(х, С)/р. Для однозначного определения искомой функции и(х, С) нз уравнения (20) или (20') следует задать начальные отклонения и(х, 0) и начальные скорости ис(х, 0) точек стержня, а также граничные условия. Чтобы получить граничные условия, следует выделить части стержвя )ре и Ггс достаточно малой длины ох, примыкающие к концам стержня, для каждой из которых написать уравнение движения, а затем перейти к пределу при Ьх — О. 117.
Сформулировать задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня постоянного сечения 5 длины ] при произвольных начальных отклонении и скорости для случаев, когда: а) концы стержня свободны; б) к концам стержня х=-О и х= [, начиная с момента 1=0, приложены силы Р(с) и Ф(1) соответственно, действующие вдоль оси х; в) концы стержня закреплены упруго, т.
е. испытывают сопротивление, пропорциональное их отклонению; г) конец стержня х=- О испытывает сопротивление, пропорциональное скорости, а конец х= ! закреплен жестко; д) начиная с момента 1 = О, стержень испытывает действие направленной вдоль оси х силы (вызванной, например, магнитным полем) объемной плотности Р(х, 1), а концы стержня закреплены жестко; е) стержень (на единицу массы) испытывает действие пропорциональной скорости силы сопротивления отклонению, а концы стержня х=О и х=[ колеблются по заданным законам р(1) и о (1) соответственно; 18 ж) конец стержня х = 0 закреплен, а конец х =1 свободен и к нему прикреплена сосредоточенная масса т.
118. Сформулировать задачу о продольных колебаниях упругого однородного стержня переменного сечения 5 = Я (х) длины 1 при произвольных начальных условиях для случаев, когда: а) стержень имеет форму усеченного конуса с радиусами оснований г и Я (г (тт), которые закреплены жестко; б) конец стержня х=О закреплен упруго, а к концу х=1, начиная с момента 1=0, приложена продольная сила Е(1) на единицу площади сечения.
119. Два полуограниченных упругих однородных стержня с одинаковыми (постоянными) поперечными сечениями 5 соединены торцами и составляют один неограниченный стержень. Пусть р, и Е,— плотность и модуль угругости одного из них, а р, и Е,— друго~о. Поставить краевую задачу для определения отклонений сечений неограниченного стержня (при 1 ) 0) от их положения покоя, если заданы начальное (при 1=0) отклонение гр(х) и начальная скорость зр(х). При этом рассмотреть случаи: а) торцы составляющих стержней соединены непосредственно; б) торцы составляющих стержней соединены так, что между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины с массой и.
К системе уравнений гиперболического типа приводится задача об электрических колебаниях в проводах. Расположим провод вдоль координатной оси х. пусть 1= 1(х. г) †си тока, о=о(х, т) †напряжен проходящего по проводу тока, )1 — омическое сопротивление, а Ь, С и 6 — самоиндукция, емкость и утечка тока соответственно, рассчитанные на единицу длины провода.
Пренебрегая электромагнитными колебаниями окружающей провод среды и считая утечку тока (через несовершенную изоляцию) пропорциональной напряжению, выведем уравнения, описывающие течение тока и изменение напряжения в проводе. Для определенности будем считать, что направление тока совпадает с направлением оси х. В силу закона Ома для достаточно малого внутреннего участка провода (х, х+Ьх) имеем э (х, г) о (я+ох, т)=1 (х, т) )тьх+1т (х, г) г ох, х', х" ~(х, х+Ьх). Отсюда, пользуясь теоремой Лагранжа о конечных приращениях, после со- кращения на ох, в пределе при Ьх — ~0, получаем о „ (х, т) + Ф (х, т) + ьй (х, т) = О.
(21) Далее, приравнивая количество электричества, притекающее на элемент про- вода Ьх за время бт (от 1 до г+ат), [1(х, 0 — 1(х+Ьх, т))Ы= — (х(х, 1) ЬхЫ, хС(х, я+ах), 19 количеству электричества С [о (х, 1+ Ь1) — о (х, 1)] Ьх+ бо (х, 1) Ьх Ь1= [Со1 (х, 1 ) + бо (х, 1)] Ьх Ь1 х ч(х, х+ Ьх), 1, 1' Е (1, 1+ ЬО), которое расходуется на зарядку элемента Ьх и утечку через несовершенную изоляцию этого элемента, как н при выводе равенства (21), находим 1„(х, 1)+Сот(х, 1)+бе(х, 1)=0.
(22) Система уравнений (21) и (22) называется системой телеграфных урав- нений. Если из этой системы иснлючить о(х, 1) или 1(х, О, то получим со- ответственно уравнения вида =ша+Ыт+с1, о =аом+Ьи1+со, где а=С]„6=СЛ+б(., с=бй. Лля вывода граничных условий (в случае, например, конечного провода Оакхе 1) следует рассмотреть падение напряжения и приток электричества для участков (О, Ьх) и (1 — Ьх, 1) провода, примыкающих к его концам. При этом необходимо учесть, что если в цепи имеются последовательно включен- ные сосредоточенные омическое сопротивление )1о, самоиндукция йе н емкость Сэ, то падение напряжения на иих дается формулой 1 Г.
Ьо= йе!+)ой+ — ) (от. с,,) 120. Пусть ф(х) и тр(х) — соответственно начальный (при 1=0) ток и начальное напряжение тока в проводе (0(х(1). Пренебрегая омическим сопротивлением и утечкой, поставить краевую задачу для определения тока и напряжения (электрических колебаний) при 1 > 0 в этом проводе для случаев, когда: а) к концу х=О, начиная с момента1=0, приложена электро- движущая сила Е(1), а конец х=] заземлен; б) конец х=О заземлен через сосредоточенную емкость С„ а к концу х = [, начиная с момента 1 = О, приложена электро- движущая сила Е (1) через сосредоточенное омическое сопротивление г(;, в) к концу х = О, начиная с момента 1= 0, приложена электро- движущая сила Е(1) через сосредоточенную самоиндукцию Е„ а конец х=1 заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Е,. 121. Пусть ~р(х) и тр(х) — начальные (при 1=0) ток и напра.
жение в проводе (О~х(]). Поставить краевую задачу для оп. ределения при 1) 0 тока и напряжения (электрических колебаний) в этом проводе для случаев, когда: а) конец провода х= 0 заземлен через сосредоточенное омическое сопротивление ]г„ а к концу х= 1, начиная с момента 1=0, приложена электродвижущая сила Е(1) через сосредоточенное омнческое сопротивление ]г,; б) конец х = 0 заземлен через последовательно включенные сосредоточенное омическое сопротивление ]сэ и самоиндукцию Ею а к концу х= ], начиная с момента 1 = О, приложена электро- движущая сила Е(1) через сосредоточенную самоиндукцию Е,.
20 Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Начнем с задачи об определении температуры в стержне. Направим ось стержня вдоль координатной оси х. Будем предполагать, что в любом ортогональном оси стержня сечении температура не зависит от положения точек этого сечения. Пусть р=р(х) — плотность стержня, йе й(х) и н=х(») — коэффициенты внутренней и внешней (конвектнвной) теплопроводности соответственно, с=с(х) — удельная теплоемкость, 5=5(х) — площадь поперечного сечения, а=а(х) — периметр поперечного сечения, д=д(х, Е) — объемная плотность источников тепла, и=и(х, Е) — температура в сечении х в момент времени Е, из=из(Е) — температура внешней среды, Для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция и(х, Е), выделим произвольно внутри стержня достаточно малую его часть йт, заключенную между ортогональными оси х сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
