1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928)
Текст из файла
-А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Допущено Министерством высшего и среднгго специального образования СССР о качестве учебного пособия двя студентов мехпнико.математических и фивических специавьностей высших учебных ваведений ИЗДАТЕЛЬСТВО аНАУКАь ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1977 -бйт й— Б 66'у УДК 317 Сборник задач по уравнениям математвческой фвзнки. В ицадзе А. В., К а ли ни чеи к о Д.
Ф., Главная редакция физика-математической литературы издательства «Наука», М., 1977, 224 стр. © Главная редвккия Чьивнки-кекеыагитескея литературы издательства Наука», !977 20203 — 125 053 (02)-77 Сборник содержит свыше 600 задач по курсу уравнений в частных производных, читаемому в высших учебных заведениях студентам математического, механического, физического и технического профилей (с повышенной программой математического образования). Материал а книге расположен по традиционным разделам етого нурса †уравнени зллиптического, гиперболического и параболнческоготипов. Особое внимание уделяется методам, нанболев часто применяемым на практике при построении решений указанных уравнений (методу Фурье, методу интегральных преобразований, методу конечных разностей, вариационным методам и т. д). Оглавление Предисловие Гл а в а 1.
Вводные понятия. Классификация уравнений и систем уравнений с частными производными. Приведение к каноническому виду уравнений с частнымн пронзводнымн второго порядка с двумя независимыми переменными. Вывод некоторых уравнений математической физики 4 1. Дифференциальное уравнение с частными производнымн н его решения. Системы уравнений с частными производнымп . 4 2. Классификация уравнений и систем уравнений с частными производными 4 3. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными 4 4. Математическое описание некоторых явлений, изучаемых методами математической физики 14 Гл а в а 11.
Уравнения эллиптического типа.............. 27 4 1. Основные свойства гармонических функций........... 27 4 2. Краевые задачи Дирихле и Неймана для гармонических функций 31 4 3. Потенциалы . 37 4 4. Некоторые другие классы эллиптических уравнений...... 41 Глава 1П. Уравнения гиперболического типа............ 46 6 1. Волновое уравнение . 46 4 2. Задачи, корректно поставленные для уравнений гиперболического типа 54 4 3. Некоторые другие классы гиперболических уравнений. Задача Коши для уравнения Лапласа 59 Глава 1Н. Уравнения параболического типа.............. 66 б 1. Уравнение теплопроводностн .
66 4 2. Некоторые другие примеры параболических уравнений ..... 70 Глава Ч. Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными................ 73 4 1. Метод разделения переменных (метод Фурье).......... 73 2. Специальные функции. Асимптотические разложения...... 84 3. Метод интегральных преобразований.............. 96 4 4.
Метод конечных разностей 10! 4 5. Вариациоиные методы . 104 Ответы, указания, решения 107 Приложения 212 Предисловие Настоящая книга представляет собой сборник задач по курсу уравнений математической физики, читаемому в высших учебных заведениях нашей страны студентам математического, физического и инженерно-физического профилей. Она. состоит из двух частей.
В первой части, разделенной на пять глав, сформулированы условия задач, сгруппированных в основном по типам уравнений с частными производными. В ней большое место уделено методам, наиболее часто применяемым на практике при построении решений основных задач для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений.
Поскольку по замыслу книга должна способствовать глубокому освоению предмета уравнений математической физики, в начале каждого параграфа собраны сведения из соответствующих разделов программы теоретического курса. Во второй части приведены ответы к задачам, а в тех случаях, когда задачи не стандартны,— и подробное объяснение хода получения решений.
Книга написана на основе опыта, накопленного в течение ряда лет на практике ведения семинарских занятий по уравнениям математической физики в Московском инженерно-физическом институте. При подготовке рукописи к печати большую работу проделала Г. В. Калиниченко, за что авторы приносят ей свою искреннюю благодарность. Мы благодарны Л. Д. Кудрявцеву, С. И. Похожаеву, Х. Х.
Каримовой и М. Л. Краснову за ценные замечания, способствующие улучшению изложения текста. А. В. Бицадзе, Д. Ф. Калиниченко Москва, 1976 г. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ Глава Вводные понятия. Классификация уравнений и систем уравнений с частными производными. Приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Вывод некоторых уравнений математической физики а 1. Дифференциальное уравнение с частными производными и его решения.
Системы уравнений с частными производными Обозначим через Р область и-мерного евклидова пространства Е„точек х=(хг, ...х„) с декартовыми ортогональными координатамн хд, ..., х„, и рв 2. Пусть Р=Р(х, ..., р! г, ...) — заданная действительная функция точек хЕР и действительных переменных р; ! с неотрицательными цело'"л численными индексами г,, ..., 1„, ~ (р=й, й=о, ..., т, т)1, по крайней !=! мере одна из частных производных которой др я д . ' Х У Р! ...! '" я г=! отлична от нуля.
Уравнение вида Р х, ...,,, . =О, хЕР, называется дифференциальным уравнением с частными производными порядка т относительно неизвестной функции и =— и (х), а левая часть Р зтого равенства, представляющая собой совокупность операций над функцией и,— дифферен. ииальным оператором с частны.яи производными порядка т. Каждая определенная в области Р задания уравнения (1) действительная функция и(х), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество, называется регуяярньсм реиынием уравнения (!).
Наряду с регулярными решениями в теории уравнений с частными провзводными важную роль играют также влвмвнтарнмв, илн фундамвнтальныв решения. Когда Р представляет собой )ч'-мерный вектор Р =(Р,, ..., Рж) с компонентами Рг(х, ..., р!, ...), 1=1, ..., Ф, зависящими от хЕР и от М-мерных векторов р! ч — — (р! 1, ..., р,. ! ), векторное равенство (!) м называется системой дифференциальных уравнений с частными производными относительно неизвестных функций и,, ..., ин, или относительно неизвестного вектора и=|и„..., иж).
Уравнение (!) называется линейным, если Р линейно зависит от всех д"и , О~ йв~т. дх"...дх " 1 ''' л Линейное уравнение можно записать в виде 1.и=((х), хЕР, где й — дифференциальный оператор первой степени относительно всех даи , О ~у ~т. Линейное уравнение называется однородным или нввддх"...дх " народным в зависимости от того, будет ли 1(х) = О или !(х) ЬЬО. Уравнение |1) называется квазилинвйным, если Р линейно зависит лишь дни от,, ~и~~ !у=т. дх"...дх " 1= 1 г ''' и Выяснить, являются лн приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями с частными производными: 1.
сон (и„+ и„) — соь и„соь и,+ ь)п и„ь!и и„= О. 3. ь) и' (и„, + и„„) + соь' (и„, + и„в) — и = 1. 4. ь!п(и„в+и,) — ь)пи„„соь и,— соьи„„ь!пи,+2и=О. 5. — !9 и — и„ьес'и — Зи+2=0. д 6. 1од 1 и,и, ! — 1ок ) и, ) — 1ок 1 и в ) + Зи — б =- О. Определить порядок уравнений: ?. !од|и„„и „) — 1о9) и„„| — 1ой) и„|+и„+ив — — О. 9. сон* и„+ ь)п' 脄— 2и„'— Зи, + и =- О. 1О.
2 (и„— 2и) 脄— — (и„— 2и)' — ху = О. д д д 11. — (иш — и,) — 2и„,— (и„,— и„) — 2и,+2=0. 12. 2и„„и„„„— — (脄— ив)в — 2и„и„„+ и„= О. д ххв Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными (квазилинейными): 13. и„и„'„+2хи脄— Зхуи„— и = О. 14. ин脄— Зх'ии„, + 2и„— ) (х, у) и = О. 15.
2 з!и (х+ у) 脄— х соз у и„+ ху и„— Зи + 1 = О. 16. хзуи„„„+2е уа脄— (х'у'+1) 脄— 2и=О. 17. Зи — Би„„+7и„— и„+8х=О. 18. и а脄— З脄— 6хи +хуи= О. 19. а(х, у) и„„+Ь (х, у) и„+с(х, у) и„,+г((х, у) и,+ +е(х, у) и,+Ь(х, у) =О. 20. а (х, у, и„, и„) и„+ Ь (х, у, и„„) и„„„+ 2ии',„— 1 (х, у) = О. 22. и„„+2 — (и„'+и) — Бхз(ну=О. д 23. 2х脄— Б — (и' — ху)+и„„= О. д 24. — (уи„+и„') — 2и„и„„+и„— Би=О.
д 2 2. Классификация уравнений и систем уравнений с частными производными Форма порядка и! г,...с„"" и (2) относительно действительных параметров Л„ ... Л„ называется харахл!ерисаической формой, соответствующей уравнению (1). В случае лннейного уравнения второго порядка дзи ди А!уд— д+д В! д +С (3) характеристическая форма (2) является квадратичной л Ю (Лг, ° , Лл) = ,5', Ау (х) Л;Лу. С,1=! (4) В каждой фиксированной точке хЕР квадратичную форму Я прн памощн неособого аффннного преобразования переменных Лт=Л!($ы ..., $а), !'=1, ..., и, можно привести к каноническому виду гдв коэффициенты ас пряиимают значения 1, — 1, О.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
