1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Будем опять предполагать, что Т и У явно не зависят от времени. Умнажая каждое из равенств (8) на величину о;И=Щ и складывая, будем иметь Гди дтй " дт " дт Х~ —,.—,)~в+ Х~ — Х вЂ” ~а=~ Г= ~ дчГ Г= ~ дчг (10) дг —.=2Т дт до; равенство (10) можно записать в виде ~ ( — — — ) брг — чР, — бд;+2бт=б(и — т)+2бт=б(и+т) =о, lди дтх " дт , ~дсг дд;) ', г)оз т е. и+т=с ° 1. Поскольку выражение У= Т представляет собой полную энергию рассматриваемой механической системы, равенство (1!) не что иное, как закон сохранения энергии.
216 Учитывая то обстоятельство, что выражение (1) для Т является однородной функцией второй степени относительно переменных до в силу известной теоремы Эйлера При принятых предположениях, определяя (г из равенства (!Н и подставляя ее значение в (5), получаем б $ Где=о. (! 2) Принцип Гамильтона, записанный в виде равенства (12), называется лринг(илом наименьшего дейсгавие Лагранжа. 1И. Записи оператора Лапласа а) в декартовых ортогональных координатах х, у, г: дз д' дз б = — +=+ —: дх' дуе дгз ' б) в цилиндрических координатах г, (ь, г: 1 д / д 1 1 де дз Ь= — — г — + —,— +— дг (, дг) гз дмь дге ' г=г сов~у, у=ге(п<у, г=г; в) в сферических координатах г, ф, йн х=гсозфз1по, у=тяп фа(по, г=гсозб 1У.
Некоторые специальные'функции 1. Гамма-функция Эйлера Г (г) и некоторые ее свойства: а) представляется в виде интеграла Г(г) = ~ е-Г!г-тйт, Йег > О; о тезГ(-л) = —, л)О! ( 1)н л! д) не имеет нулей. 2. цилиндрические функции. Уравнение цилиндрических функций у у (ь) имеет вид У + — У" + й' — — У=О, й=сопз(, ч=сопз!. 1) = 217 б) аналитична в полуплоскости !!е г > О; в) Г(г+1)=гГ(г), Г(1)=1, Г(1!2) =)г'и; г) аналитически продолжается через ось Ке г=О на всю плоскость переменного г с полюсами первого порядка з точках г = О, — 1, ..., — л, ..., в ко- торых С помощью замены переменного х=йз оно переходит в уравнение Бесселя / х'т з" + — з" + ~ 1 — —,) з = О, з = г (х) = р ~ — ). Общие решения этих уравнений имеют соответственно вид р,%=С,УтЖ)+СФ,(йу), зт(х) = Саут(х) + СзУч(х), где Сз и Сз — произвольные постоянные, Ф ( 1)а ! х ')за+в ~~ Г(а+1) Г (а+и+1) ~ 2 у функция Бесселя порядка ч, а з'т(х) соз пч — Х т(х) при нецелом т, з)п пч — — -( — 1)ч=" при целом т 1 Г дтт(х) ду-ч(х) д и ~ дт От — функция Неймана порядка т.
Некоторые свойства функций. Бесселя; а) У „(х)=( — 1)" У„(х), и — целое число, -/ 2 / 2 У ! (х) = !г/ — з[п х, Х (х) = — У пх -т)з — р' пх б) ортогональность; если а и Б — вещественные корни уравнения РУт(У)+)УУ (У) =О, Р»-О, Ц-О, Р+Ч > О, то при т> — 1 с ~хХт~ — х) !т ( — х) г(х=О, если а Ф [); з ) ~ У*,( —, )б = — "Цг,'( )~'+(! — — ",)У,'( )~! з г) рекуррентные соотношения: — [хтут(хи =хту -т(х), д бх — [х-ч./т(х)) = — х-Ю ь,(х), г( Гтчт (х)+ тч 1(х)= тт(х) 2т х Зты(х) lч-г (х) = — от (х), 218 дл з (х)=( — !)я ]/ — х я+12 д яПХ »+112 ~ —.д.) .
° «(х)= ьгг — х ~ — ) —, пзнΠ— целое число. / 2 о+112! д 1" созх =У и '~хдх) х 1, У о"+ — о' — [1+ — 2 /! о=О, о=о(!)=Х(И), ! )— общее решение которого имеет вид (!)=С Г (!)+С,К (!), где С„С2 — произвольные постоянные, « \2 1 /! '!за+« а~но р (д+ ! ) р (д+ «+ ! ) 1т 2 ) — функция Бесселя мнимого аргумента порядка «, [1 «(!) — 1«(!)] прн нецелом «, 221п и« К«(!) = ( — 1)т Г дд «(!) д,!«(!) ) — — прн целом « 2 ь д« д« вЂ” функция Макдональда порядка «. 4. Аснмптотнчеснне формулы: — соя~» — — « — — )+0(х 1 ), х «+аз, — ) 2 / и п~! -22 пх ~ 2 4) ) — з!и ~х — — « — +О (х ' ), х — «+ со, пх ~ 2 4) )à — е«[1+О (! [Х)], х — «+ ео, / — е-» [1-[-0 (!/Х)[, х — «+ со.
2х У«(х) = У«(х) = У«(х) = К„(х) = 5. Многочлены Лежандра Р„(х), а=О, 1, ..., а) являются решениями уравнения Лежандра — ! (1 — х') — ]+л(и+1) у=О; 2 дх 'Г дх) б) представляются в виде Д» Р„(х) = — — [(хз — 1)"]; 2»л! дх» 2!Э 3. Цилнндрнческне функция мнимого аргумента. В результате замены к !! уравнение Бесселя переходит в уравнение в) удовлетворяют рекуррентным соотношениям (и+1) Р»+! (х) — (2»+!) хР„(х)-[-»Р„! (х) =О, 1 Р„(х) = — [Р„+з(х) — Р„т(хП; 2»+ ! г) ортогональны в промежутке ( — 1, 1): $ Р„(х) Рм (х) Нх = О, и га и, 1 1 о„,(х) Р„(х)Не=о, дм(х) — многочлен степени т < л; -1 2 д) ет Рз (х) ох = — ! 2»+1 ' -1 е) Р„(1) =1, Р„( — 1) =( — !)», п=о, 1, ... в. присоединенные функции лежандра Р»"' (х): а) удовлетворяют уравнению 6 Г ду) г»з — [(! — х') — [+ [»(»+ Ц вЂ” — ~ у =О; 6 6х [ 1 — хз ! 6) представляются в виде Р»"" (х) = (1 — хз)» ' — и Р„(х); 1 в) ~ [Р„(х))з е(я =в <ли з 2 (л+»О! 2»+1 (л — »О! -1 У.
Преобразования Лапласа Интегральное преобразование Ф Р(Д = ~е 1~1(г) 6(, ь=а+!т), е называется преобразованием Лапласа и записывается в виде 1(!)+Р(~), где 1 — оригинал, а Р— его образ. пусть 1(!) и у(г), [1(г)[~Ае»е, [у(г)[»~Вез!,— оригиналы, а РД) и 6(Ь) — ик образы соответственно.
Тогда а) 1цпР(ь)=О прн ь — с» так, что йеь +ем 6) о1 (1) + Ва (Π—: иР (гь) + ВО (гь), се,  — (вообше комплексные) постоянные; в) 1(а!) —: — Р ~ — у1, ее > О; ! ' сг ~се)' 220 г) /(в1 (1)г.гииР (ги) гав-1/(О) гнв-1/» (О), „ /1в-11 (0); Д) Р<в1(га) ° ( 1)в/в/ Р)1 г е) ~/(г) аг' —: —; .
~(Р. а ж) 1 ' Р(й)Ф / (1) е) /(1 — т) н-СаР (~); н) еа"/(1)анР(~ — ~~); н) РД О((.) —:5/(т)2(1 — ) Лт; а а+ге 1 л) /(1) Ы(1)-: —, ~ Р(ф С(а ив )а) Ы)а, и > а, )(е й > Ь+с) м) если Р (и) / (1) 3~ се 1» (и — 1)1 1=1 н) есле Р(~) = —, иг < и, Ов К) Чв (а) где ог К) — многочлен степени 1, то Р(/) /(1)= ~~~~ ген(Р(~)ей1), (Се) ~» — полаосы Р (Д.
1/!. Таблица некоторых оригиналов н их изображений № иги Иаибражанне Оригинал 1 ~ — а 221 Изображении Оригинал 15 16 17 Юе н/н — соа 2)/са/ 1 У ла 7и(/), .н > — 1 С"/~ли (2 е7), и > — 1 Продолжение ги-(н+а) -и/аа е Андрей Васильевич Бицадзе. Дмитрий Федорович Ко>или«елка СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ М., 1977 г., 224 стр. Редактор И. Е.
Маразова Технический редакюр В. И. Кгтдакева Корректоры О. А. Сигал, Е. Я. Строева Сдано в набор 2ВПЧ 1977 г. Подписано к печати 227ЧН!977 г. Бумага бОХ90П,. Физ. печ. л. !4. Условн. печ, л. !4. Уч.-изд. л. 12,3В. Тираж 50 000 зкз. Цена книги б5 коп. Заказ Л1 1505. Издательство «Наука> Главная редакции физико.математической литературы 117071, Москва, В-71, Вени иский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовав типография имени А. А. Жданова Союаполнграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 29. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
