1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 34
Текст из файла (страница 34)
б) Решением задачи и!=а йи, О~г < Р, 1 > О, где ли= — — 11г — ~, — т !дг дик г дг '1 дг)' и,(й, 1)+Ьи(й, 1)=0, ) и(0, С)) < о, 1> О, и (г, 0) = (Гг"", 0 ~ г ~ Р. является функция Ю 2 ('ана')' '=' "Х "+"""' "' "' '( — "" ) ра(ра+ азйз) у. (ие) Ра — положительные корин уравнения РУ,(р)-, 'ййгз(р) =0; 194 в) Решением задачи !дУОИ и!=а'Ьи, О~г < )1, 1 > О, где Ьи= — — ~г — у1, = ° дг~ дг) ия,1)=Т, )и(0, 1)! <со, 1 > О, и(г, 0)=(!го, О~г < я, является фуннцня (()Р, — т) рь — 4иа ( у' 1 (' р» ) Ф (р») р» — положительные корнн уравнения Хо (р) =О. бУб. а) Решением задачи 1 д У ди1 дзи иг=азди, Ьи= — — (г — у!+ —, и()1, г. 1)=и(г, О, 1)=и (г, 1, 1)=0, и(г, г, О) =А (яз — гз) г, Ооц г < я, О < г < 1, 1 > О, является функцня Ф »=1, 32АЯзг'з(р») р» (2л+ !) и где а»„=( — !)" з з ' ~» т)л=, )ь» — положн (2л+!)злзр»зуз(р») ' Я ' 21 тельные корни уравнения У (р)=0; б) Решением задачи 1 д г' ди'1 дзи и!=аз Ьи, где Ьи= — ~ г — 1!+ —, г дг~ дг) дгз' и (г, О, 1) = и (г, 1, 1) = иг (й, г, 1) + ли Я, г, 1) = О, и(г, г, О) =А (Яз — га), 0~с < Й, 0 < г < 1, 1 > О, является функция »=1, л=о !6АИз [( — !)" (2л+ !) п — 2) Уо (р») р» (2л+ !) и где ໄ— )~»= т)л ° (2л+!)о (р»+!~о) Уо(р») щ — положительные коРни уравнения рго(р)+д!чго Оь) =О.
буб. Решением задачи 1 д / ди~ ! д / . ди т иг=аоди, где Ьи= — — ~гз — 1!+ —,— !(з!и О~), гз дг ~ дг) ' гз з!и 0 дд ~ ( и (г, О, 1) ! < оо, и (й, О, 1) = О, и (г, О, 0) =) (г, 0), О~с<Я, 0<9<и, 1>0, 100 является функция г лил (Вил \ л=е. г т=1 пиг = ~ г ((г, О) 7л+ )з ~ — г) Рл(совб)а(п баге(0, рл — положительные корни уравнения Хл+тГа((ь)=0.
677. а) Решением задача 1 д/ диц дти Ли=О, где Ли= — — ( г — )+ —, г дг (, дг) дгз' )и(г, г)(<ое, иЯ, г)=и(г, 1)=0, и(г, 0)=Т, Ол г<)т, 0<а<1, является функция л и (г, г)=2Т т — ( сЬ вЂ” г — с1Ь вЂ” 1 зй — г ) Хе ~ — г), 1 г ра )ьа ра 1 г )га ~~, рь| (ра) (, й й )7 ) '~й ра — положительные корни уравнения Хе (р) =О. б) Решением задачи 1 д / диу д и Ли=О, где Ли= — — ~г — )+ —, г дг (, дг) дгг' (и(г, г)) <со, и.(г, 0)=и (г, 1)=О, и(й, г)=/(г), О~г<Я, 0<г<1, является функция ! рв. ("+и" $ж Г(21+1)и 1 .
(2й+!) и а[ 21 в) Решением задачи Я Ьи — — — где Ли д— (гд )+ г г дг 'ч дг) дгз ' ) и(г, г) ( <ог, и(г, 0)=и(г,!)=и(й, г)=0, О~г<й, 0<г<1, является функцик и(г. г)= — (йз-г )+ е ей Ф л=|рлуг (рл) зц — "'1 где р„— положительные корни уравнения Хе(р)=0. Решение искать в виде и(г, г)=ш(г)+о(г, г) так, чтобы Ьш= — Ц/л. 578. Решением задачи 1д/дик дви Ьи= О, где билл — — ~г — у)+ —, с дг 'т дгг' дг'' ) и(г, г)( <ол, и(г, 0)=и(г, !)=О, и()7, г)=Т, )т < г < оо, О < г < ! является функция Г(2л+1) я 1, (2л+1) и 47 Ко~ — г з(п г Е г п Г(2л+ !) и л=о (2л+1) Ко~ — )7~ 1 Ко(в) — цилиндрическая функция (Макдональда) мнимого аргумента. 579. Решением задачи 1дуди~!дуди1 Ли=О, где Ли= — — ~гз — ) + .
— ( з!и Π— ), гздг ~ дг( гвз!пддд(, д07' ,) дщ ( является а) при О~г < )7, Ол-О~я (, 0) — ~, — ! 7($) Р ( в) зйв — Рл( он 0), л=о о б) прн )7~г <оо, О~О~я Ф (я и(Г, (") =~ — ) Г(В) Г~л(еаза) З!Пей ~ — ) Рл (Спад). л=о о 580. е-* «О+ — +... + — +... = О. О О гл 581. Указанный в ответе к задаче 580 ряд служит асимптотическим рядом для всех функций вида ! (г) = е л', где ы — произвольное положительное число. 582, Ввиду того, что 0 < г < ! <оо, в результате последовательного повторения процесса интегрирования по частям имеем Ф Ю Ф 1"-' =-Ч-,' "-'=4-Ы "-'Ф= 2)Г 2г 2) Гз л г л 1 1 13 135 135...(2л — 1) = — — —,+ — — — +" +( — !)" "' + 2г 2'гз 2згз 2'г' ' ' ' 2л+ггза+т м + а д! 3 5...(20+1) (' елз-1 2а+т ) (заев л Ивтегряруя по частям интеграл, получаем для остатка оценку 1.3.5, (2л+1) ~ еле-М 1,3,5 (2л+!) д( < 2е+' (за+3 2" +'г'л+е г откуда и следует требуемое асимптотическое разложение.
л 1Гд! л ГГ 1 л 583, ~ ел-! — = — ел-г — + — е*-1Ш= — + —. а' 'г' !(л го д! г га' 107 884. Условие [агяг [~п — б < и гарантирует возможность последовательного повторения интегрирования по частям. Имеем Ю » Ф е-т е-г ! г е-г — Й= — ~ ' — зй= Ф+г (+г ) ~ (Г+г)з о о Ф Ф 1 Г е-г ! е-г ! Г е"т = — — ~ — »1=- — + — ~ +2 [ — »Г= г (г+ г)' г (Г+г)з „([+г)з о о о — + + '+[ !)» и! ~(1 ( — И'-'( — И! „Г г гз г» ~ (Г+г)»ег Ю Ф 585. ~ е-г(»-тФ= — е-г!»-т ~ +(а — 1) ~ е-тт»-зо!»» г г г ЮЭ Ю =е-гг»-' — (а — 1) е" гт»-з ~ -[- (а — !) (а — 2) [ е" гт»-еФ= г г =е-г [г»-х+(а — 1) га-з+(а — 1) (а — 2) га-з+ ...
+(а — 1) (а — 2) ... (а — а+1) г»-а)+ Ю +(а — !) (а — 2) ... (а — М+!) (и — 'и) ~ е-г!»-а-тИ. Учитывая тождество Г(а+а)=(а+а — 1) Г(а+А — !) и оценку Ю О ! "~ Г(а) Г ~ е-г( -а-х,[! < ~ ' ' ~г -а-г ~е-г,(г Г (а — а),) ~ Г(а — ») =! Г (а) ~ е-гге-"-т, Г (а — е) справедливую для е > а — 1, получаем искомое асимптотическое разложение. 686. Условие а > 0 гарантирует законность последовательного повторения процесса интегрирования по частям.
Имеем ц г-»ецм = — — !а ~ г-а-теч ж. ги г г Интегрируя по частям еще и раз, получаем Ы Г-'гг [(= —. ~1+ — + ', +" + ".' ~+ !гГг Г а а(а+!) а(а-ь[)... (а+а — 1)1 г» ~ сг (!г)' [[г)ь 0 а (а + !) ... (а и- д) (' еп ;«тг ,) Гана+а г Учитывая тождество Г (а+1)=(а+А — !) Г (а+е — 1) и оценку Ю Ю Г (а+В+ !) ) ~ егг ! Г (а+а+1) Г »Г Г(л+Ф) ((~ а Г (а) (а е е е г Г (о) Г а т «+ т Г ! и) за+ а ' г г получаем искомое асимптотическое разложение.
198 587. Пользуясь результатом задачи 682, имеем — ~ е ь!т= 2 Р 12 у-, )) Ф Ф 2 2!" 2 е-' ) е' 2(т — =е-2 ~ — + г ( — 1)» 2 2 уп 2г з ! 6...(2« — 1)1 2»+ 'г'»+ ' г1-1« = г( — «) 588. Полагая в задаче 688 а=!/2, ! =Оз, и= »2 г, получаем ц 2 |92 - ( — !)«!»г [«+ — ') е с(О-= 2 )2 пц, из» «о ! 3! Г (222 — ) ( 2 (22 / т)) 1е [!в 2 т2йи йм цз« ЦЗ »=о или 2 ( — 1)»Р [2«-(- ) ~2«+ — ' сов 61 2(Π— — ~ 2 Р' и це»+1 цз ц »=о " ! — 2 (2 2 — ) [(22-! — ) з!и О 2И 2 )2 и с.~ из»»1 и я »=о 689.
Е! (г) ег й! г г» »=а ( — 1)«(2«)! 2' . 2«+1 690. С|(г) ~ ~з|пг — соя г), гз»+1 1 г »=е к 2 ( — !)» (2«)! 2' 2«+1 691. Б! (г) — — ~ ' ~сов г+ — з|п г), + ( ' г «=О соз ц' — з!и ц' а!низ ! соз и2 592. В рассматриваемом случае 122= 2о, т=О, и=1, р(!) = ~~~~ ~( — !)»тзз« «=а е мулы Ватсона (46) искомое асимптотическое разложение имеет вид Е ( — 1)" 2 (2лй+ !) г222" '! 1 «=о Ф о е О -221 и при ге > О интеграл ~ — й абсолютна сгодится. Поэтому в силу фор) ! | 1122 593. Так как ш= р — 1 > — 1, а =1, ср (/) = 1, то из формулы Ватсона (45) получаем требуемое утверждение. 594. Справедливость утверждения следует из того, что е1п /+з!п ( — Г) ка О, и формулы Ватсона (45').
595. Учесть, что в этом случае А= — 1, Дс=2, ср(Г)+ср( — 1)=2 сов/, и воспользоваться формулой Ватсона (45'). 596. г (г)=~ е-касас(1- — Г ~ — /! г-с = —, /!т ьгп 2 ~2) 2г о 597. Обозначим г" (г)=е-к' ') е1 ссз. Тогда, применяя дважды правило Лоо питаля, находим (пп 2гг (г)=1, или 2гр(г)=!+о(1), нли г (г)= — [!+о(1)) 1 2г при г — + са, что и требовалось. 600. Пользуясь интегральным преобразованием Фурье по переменной х са -с к 1/($,/)== [ е сйка(х, /)с1х, )с 2п,) преобразуем уравнение исходной задачи к виду Уст+ азвзУ = О, откуда находим У гв, Г) =А (з) е '(а/+В (З) е/1ас, где А (5) и В ($) — произволь- ные функции параметра $. С помощью обратного преобразования Фурье получаем са и (х, 1) = = 1 ес1ку (9, 1) стй = р'2~с ) ск — [А (ь) ефск ~~!+В(з) а~1!к+а/1|ссв=А(х — а/) ! В(х [ а/).
)/ 2л Пользуясь начальными условиями задачи, получим ее решение в виде атас 1 1 1 Р и (х, 1) = — ср (х — а/)+ — ср (х+ а/) + — ~ ф (г) с г. 2 2 2а к-а/ 601. Потьзуясь интегральным преобразованием Фурье по переменной х У(4, 1)= — 1 е ~"и(х, 1)с(х, )/ 2п редуцируем исходную задачу к задаче Усс+азззУ=г" ($, /), 1/сз, 0)=Ус(з, 0)=0, где Е(а, Г)== е 1~/(х, 1)с(х, у'йм ) Решая ее, получаем () (я, ()= — ~ г" ($, т) з!пав(( — т)((т.
1 г (е) Так как х+а ((-т) 1 ( е(а[а+а ((-Ч1 (О (х-а((-т)1) ~ е-(зч(( х-а ((-т) ха а ((-т) а и(х, Г)= — ~~ (т ~~ = ~~ е АР(аа, т)((еь х(), 2а,~,) у 2п О х-а ((-т) О или ( х+а ((- т) п(х, Г)=2 — ) ((т ) г(т) т)((т)' 1 О х- ((-т) 602. Пользуясь преобразованием Фурье по переменной х: () (я, Г)= — Г е (ахи(х, ()((х, 'г' 2п редуцируем исходную задачу к задаче и(+азязи =О, и(а, О) =Ф(О), а где Ф(Г)== ( е з (р(х)Ых. Ее решение записывается в виде (' -(х )( 2п а( аале( Применяя обратное преобразование Фурье, имеем и (х, Г) == " е(е'(( ($, () ((О = — " ф (г)) ((0 ~ е а е ч " еь = 2п ) м а а а — — ~ ф (г)) ((Ч ~ е '*й" соз $ (0 — х) еч.
а о 201 С помощью обратного преобразования Фурье находим и(х, г)= 1 Г е(зху (ш ()((я. (»е) Учитывая, что з)п ая(г' — т)= — )е~аь(( т) — е (а (( т) ),из(а) и (»э) получим 2( и(х,г)= ~ лт ~ —.(е(1(х а(' т)) — е(О(х(а(( т)1) р($, т)~$, 2а )' 2(( (О О -м Отсюда учитывая, что ~х-ч) ° е-а * сов $(п х)г(~ е аа*г 2а о получаем гх-чр ! и(х,()== ~ ~р(г))е ' бт). 2а Г'ат (х-ч)* с г ее~ и-т1 603. и(х, Г)= ~ бт ~ ) (и, т) бЧ 2а р' и „' " )гг( — т о -а См. решение задачи 602. 604. Для решения задачи воспользуемся синус-преобразованием Фурье УЯ, ()= ~/ ~и(х, Г)е1пахбх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
