1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из полученного протяворечия вытекает равенство т=М, что и требовалось доказать. Аналогично рассматривается случай зшнимума. 407. Пусть ид(х, С) и из(х, С) — регулярные в Р и непрерывные в Р () дР решения задачи (1), (2). Фуннция и(х, С)=и! (х, С) — и,(х, С) является также регулярным в Р и непрерывным в Р () дР решением уравнения (1), удовлетворяющим .условию и(з=О. В силу принципа экстремума и (х, р)=О всюду в Р ()дР, т. е. и! (х, С) = и, (х, С).
См . Сп 403. приняв В формуле (4) нз задачи 403 'г(хс, хз)=з!п — хгз(п — хз н СС С, учитывая, что „Г /Сп~ з» Пя 1за1 Си, Сп Ьзт(хс, хз)=(-1)" ~~-~ +~'-! 1 а1п — хсз!п — х„ "ВАЛС.1 ~Ы 1 СС получаем функцию Сп . (я Г /Сз )зЪ и(хс, хз, С)=з(п — х,з1п — «,ехр — и'~ — + — зу! 11 ° С, 1 '~а 1) ~р(х) = ~иве!пйх, О~щх~п, й~! где 2 Г аз=- 0 (х) з1п Ахах. Учитывая, что функция иа(х, С)=з!и йхе з с являетса решением уравнения (1') в прямоугольнике О < х < и, О < С < Т„Т, > О (см. задачу 403), 'удовлетворяющим условиям и(х, 0)=з!пйх, и(О, С)=и(я, С)е О, заключаем, что удовлетворяющую всем требованиям рассматриваемой задачи.
460. и(х, с)* ~ч~,'з1п йхе " '. предполагая, что функция 0 (х) непрерывно з=! диффереицируема на сегменте О~хе~и, ее можно представить как сумму абсолютно н равномерна сходящегося ряда Фурье решением.рассматриваемой задачи является функция Ф и(х, 1) ~'з(пахе ь', ь 1 Поскольку в окрестности каждой точки (х, () прямоугольника 0 < х < м, О<(СТ 1(ш Аие '=О, а ье ряд, суммой которого является и(х, (), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. 410. Интеграл ав (» з) ° и (», () =* — ~ е " (р (у) ду, ( > О, (е) 2 )Гм( 5 сходится. Лействятельно, обозначая М шах (4)(р)), имеем -Ф<з<е 4» (» а) ° и М Г вЂ” „д(( М (и(х, у)(»= ~ е е( — == ( е ч дн М. Также нетрудно проверить сходимость ннтегралов, полученных из (е) диффе- ренцированием под знаком интеграла по х н по (, повторенным сколько угодно раз. Прн атом все интегралы равномерно сходятся в окрестности любой точки (х, (), если ( > О.
Отсюда следует, что прн 1 > О функция и (х, () имеет произ- водные всех порядков, которые вычисляются по формулам Ф (»-д) ° '~ д н (х, ( 1 Г д + ( 1 — (р(р) — = з дхид(» 2 ~"й ~ дхид(»~ )Гг Чтобы убедиться в справедливости условия 1пп и (х, 1) = и (х, 0) = ф (х), — се < х < со, (- о достаточно заметить, что интеграл в правой часта (е) равномерно сходится вблизи хаждой точки.(х, 0) при С > О.
В результате замены переменного по формуле у=»+2() рг(, получим и(х, () == 1 ~р(х+2() )( ()е"" Ь). рп ) Отсюда, на основании равномерной сходимостн интеграла н непрерывности функции ~р, следует !)т и(х, () (р(х)= ~ е ч д))=о(х). 1 Г э ( -~ о уь 3 411. Пусть и(х, ()-непрерывное и ограниченное при (~0 решение уравнения (1'). Докажем„что и (х, () ~ М;(доказательство неравенства и (х, () ) ш сводится к атому переменой знака у функции и).
Фиксируем произвольное число е > О. Покажем, что и (х,, (,) ~М+е в любой точке (х„(,) полупространства (~вО. Построим функцию о (х, () =х'+2(, которая удовлетворяет и рассмотрим задачу Коши —,Дирихле УС вЂ” азУ»»=0, — се < х < со, С > О, У(х, 0)=Ф(х), Решение этой задачи, как известно, определяется по формуле ьь (» 1)ь У(х, С)кк [ е '"' Ф(я)сск. 2а Ул( .) — се<х<аз, (ее) Очевидно, что У (х, 0) =ср (х), 0 ~ » < ш. Далее, из (ее) и (е) получаем ьь (к -1)ь (х+ 1) У (» С) з ьаьс срфЩ . з ьам ср(4)с($ 2а Ркл( 2а )С л( Отсюда находим, что У (О, С)=0, н стало быть, У (х, С)=а(х, С) прн х)0. (к-1)ь (к+1)ь 416. а(» С) 1 [з ьаь( [ з ьаь( 1,р(сь)~ль о Чтобы получить приведенный здесь ответ, следует решить вспомогательную 170 уравнению (1'). Пусть С)(=зпр[и(х, С)[, С~О. Функция ' +М еи(х, С) о(кь, Сь) и(х, С), удовлетворяюшая при С > 0 уравнению (1'), неотрицательна при Г! 1 ь/з С=О и при [х [= [ — (С)( — М)о (кь Сь)+ [хе [1 .Согласно принципу экстре[ з мума для ограниченной области (см.
ответ к. задаче 400) эта фун)(ция должна быть неотрицательной всюду в прямоугольнике С 0 ~ С < Т, [х [~ Г1 1(/з) ~ ~ — ()у-М) о(»„Сз)1 ), в котором лежит точка (х„С,). Следовательно, е ео(х, С) в этом прямоугольнике и(х, С)~М+ ',откудаследует, что и(хь, Сь)~ "(»ь Сь) ~М+е. Так как (хь, Сь) и число е произвольны, то и(х, С)~М при С~О. 412. Применить полученные в задаче 411 неравенства к разности и (х, С) = = и((х, С) — аь(х, С).двух решений задачи (!'), (3'). 414.
В результате замены искомой функции и(к, С)=о(х, С)+а(С)+ + х [[! (С) — а (С)[ получаем задачу окк — э(=С(х, С)+и'(С)+х[р'(С) — а'(С)], о(0, С)=0, о(1, С)=0. 415. а(х, С)=з)плх ~ е " ( ~)(к(т)с(т. о 416. и(х, С) =е"' с)) хее'с (не принадлежит классу еднкственности) 'ь (к- 1)ь (к ь-1)' ! 417. и(х, С)==~ [ е ьа ' — е ьк ( 1 ср($)с(я. Чтобы получить 2а)l л( о эту формулу, продолжим ср (х) нечетно на отрицательную полуось — оь < х < О, т. е. построим функцию Ф(х)= ср(х), х > О, — ср( — х), х < 0„ ' =(- -', () задачу( Ус — азУхх=О, — чо < х < чо, С > О, У(х, 0)=Ф(х), — со < х < че, ~ ф(х), х > О, ( (р ( — х), х < О. -щ (х -1) ° (х»1)» 419.
и(х, С)==1 [е "' — е '"' ~ ф($)Дя. В результате за. 2а Ргйс .) мены вскомой функции по формуле и(х, С) =е "'о(х, С) для о(х, С) приходим к задаче 417. (»- 1) ° (»+ 1)» 420. и ()С С)= — '~ [е сам .( е се~с 1 сР (зх) Дзх 2а Уис 421. и(х, С)== ( ~ ) е ее*(с т) — е се'(' т)1 С(й,т)саде, 2а 'т' и ~ ьс 'т' 1 — 'т Чтобы получить ету формулу, рассмотрим вспомогательную задачу: Ус=азУ„„+Р(х, С), У(х, 0)=0, — ое < х < со, С > О, . (е) где )(х, ), х>0, " =( """,,"". )(х, С), — С( — х,с), х<0, (ее) рещение которой дается формулой а (х-$)» У(Х, С)= ~ ~ Е са'(С-ЮХ($ т)С(РДт о- В силу (е) и (эе) зта формула записывается в виде У(х, С)= (х-1) ° м (х»1)' — ( ' ) '"-"са.чч) '""-"ссс.»~с)х. 2ари~ Р~ — т о о Следовательно, Ус=а Ух„+7(х, С), х > О, С > О„У(0, С)=0, С~О, У(х, 0)=0, х)0 и, стало быть, У(х, С) =и(х, С) при х)0, С~О.
422. и(х, С)= с~ (х-1)» (хе$)» — [е са (с т)+е»а'(с т)~ С($ т)ссйдт 2а )У'и у» С:т ос 423. и(х, С)= е-а(с-т) со (х-1) ° (х»1)» — — Г ( — [е е~~ (с-т) е »а*(с т)1 С(ф т) да де е о с помощью замены и(х, с)=е-все(х, с) приходим к задаче для функции о(х, С), рассмотренной в 421. 171 424. и(х, !)= =,.'.~~'","," ~ "'" " '"" "1'""" ««<х В«[к+В» 423. и (х, !) = = ~ ~е» вЂ” ' е ~ »р (ь) Лб+ 2а Уй! З! !( о ,-В 0-»1 !х В» 1»+11» += Г 1 — Ге ч» О »1-'е а" О »1~ !(а, ч)»«абт. 2а г'й.),) )!! — ч $ о 0 ю 1х-Е! ° (»еЬ« 426. а(х, !)== ~е» +е ~'Р(ь)пб+ й2о аи'й1~ 2а Р'"и,),) Р"! — т Е оо Чтобы получить 'решения задач 427 — 441, удобно пользоваться формулой (4) (см.
задачу 403), в'которой следует положить 1=и (х, О), х=х„...; х„. 427. и= ! — хз — у» — 41. 428. и=1 — (х»+у»)» — 16 (х»+у») ! — 32!». 429. и=ха+у»-(-41. 430. и=ах+а+»ц 431. и=( (г) ег. 432. и=е-"!а!п !хы 433. и=а""! соз !хм 434. и=ег'гсЬ !хо 436. и=с! Гзй!хь 436. 'и=е ' » з!п!»хдз!п!зхз. -! 1»+!»з)! 437. и=а ' ' з!п !»х» соз !»х». -( !»+!») г 438.
и=е ' е "' сов!»хгсоз!»х», -( !»+!з) г 439. и=е ' ' " соз!дх,з!п),хз. л ~~»' ,г!г 440. и= е = з1п !»х, з)п 1етз...з(п 1„х„. г=! -!гзг, -г'„г 441. и=е з!п !»х»+е " соз 1„х„. 442. и (х, у) = у!» (ар — х)+!з (ар — х), где 1, н 7» — произвольные два~кды непрерывно дифференцируемые функции. Чтобы проинтегрировать уравнение, следует сделать замену переменных в=ау †, т) =р, в результате чего уравнение принимает вид ичч=О. 443. В переменных х, р, х=!/р, о(х, р, х)=и'.(х, р, рз) рассматриваемое уравнение принимает вид о„„+оза-о,=О. Поэтому формула (4') является непосредственным следствием формулы (4) нз задачи 403. 444.
и(х, р, !)=1 — (хз+р»)» — 16(х»+у»)(! — 1) — 32(! — 1)з. В переменных х, р, е=1 — 1, о(х, р, х)=и(х, у, а+1) исходная задача имеет внд ох»+ива — о»=0, х > О, и(х, у, 0)=и(х, у, 1)=1 — (х»+р»)». Согласно формуле (4) (см.
задачу 403), в которой положено я=и(х, р, 1), получаЕм о(х, р, з) = ! — (хз-)-уз)» — 16(ха+уз) з-32а', откуда находим искомое решение. ' Р (к-а)* 446. и(х, !)ФФ вЂ” 1 — ~е ' (Р(у)г(У, 2 У лг Ф Ф (Ьа к) 446. и(Х, у)Ф» 1 (ь(ьа ")(р(х) г(х, х < Ьу. В резуль. г»'!те» вЂ” И ! Ф тате замены переменных 5=у, (=у — х/Ь, и(х, у) и(Ьз — Ь(, й)=о(й, !) исходная задача приводится к задаче ойй — о(=О, — ао,< и < го, ! > О» о(ь, О)=и(ьз, з)=гр(ьз), — ье < 6 < го, Ь > О. а ~~ (ьк-к) 447. и(х, у)= и», 'аае з!пйлу, ь ! ! аз=2~(р(ьй)з!пЬ4~4, Ь=1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
