1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 25
Текст из файла (страница 25)
227. Тзк как й и —,' !!ь!йтс — и>*!геа~-~ ьы'а — — йлййтй~). !о то о 136 и наряду с ге(ртгг (х — 1)з) функция ге(рзг' (г — 1) г) также является решением уравнения (17), то справедливость утверждения очевидна. 228. Допуская, что и(х, у) во внутренней точке (х, у)ЕГ! принимает положительный максимум, приходим к противоречию. Действительно, в точке (х, у) максимума и(х, у) имеем и„„+и„„< О.
Так как максимум положителен, а )! < О, равенство пах+ива+)!и=О исключено. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения. 229. Да. Зто следует нз принципа экстремума, сформулированного в задаче 228. 230. Поскольку в полярных координатах х — к=г сов!р, у — т)=гып!р уравнение (!7) имеет вид 1 д / ди1 1 дзи дзŠ— — ~г — ) + — — — рзи= О и — =О, г дг ~ дг) гад!рз д<рз то мы должны иметь 1дl дЕД вЂ” — ~г — ) — рзЕ=О.
г дг ~ дг ) Справедливость же этого равенства следует из 'гого, что — 1 дЕ (' гр(еги! !Ц Ф вЂ” 1 -! -! ги!д( = — рз ~ у'(з — ! ег"!г(1+ур ~ ~/!л — 1е'"'д1+рз ( ,) У'!з — 1 231. Для определения функции Е(г) имеем обыкновенное днфференци. альное уравнение — — ( гз — ) -рви=О. 1 д г дих гз дг ~ дг ) При Е(г) =е иг/г, как легко видеть, — — ~гз — )= — — — ()гге "+е ")= — е в, 1д/ дЕ11д,-г)зз-г гз дг ~ дг ) г'д!' г и, стало быть, ЬŠ— рзЕ = О. 232. г)усть точка х~В.
Обозначим через 0 часть области Г! вне лежащего в В шара (у — х)~е достаточно малого радиуса е. Так как Аи=рзи, ЬЕ=рзЕ, то из формулы Гаусса — Остроградского получаем ~и(у) ' — Е(х, у) — !дов —— дЕ (х, у) ди (у)1 дту дтя ) !у-х(=е 137 Отсюда, так как Гд 2 вз1 !пи езЕ(е)=О, !ппе' ~ — — ~ = — 1, ее ' ее [да е в пределе при в — О получаем — 4ии(х)=~ ~п(у) — ' — Е(х, у) — 1 Ига. дЕ(х, у) ди(у)1 доя дск [ 5 д'и 233. Интегрируя уравнение =О, получаем дгг дгз дзи — — дзи =!уз(г), ==гфг (г) + фэ(г), дг дг2 дгк где ф,(г) и зр,(г) — произвольные аналитические функции комплексного пере- менного г=х! — !22.
Далее, = = г<р! (2) + 2р! (2) + Л! (г); дг 2 где 2р! (2) = ~ фз (!) д(, ф! (г) = ~ фз (7) д!. Следовательно, и а г р (г) + зр, (г)+ о о 2 2 +г)((г)+2о(г), где !р,(г)=~фт(!)Ж, зр (г)=~ 2р,(!)41, а у(г) и ы(г)— о о произвольные аналитические функции комплексного переменного г=х,+2х,. так как и (х, у) — действительная функция, то у (г) =фз (г], ю (г) =фа(г), и поэтому и=гф (г)+фе(г)+гф,(г)+зр„(г). В обозначениях !р (г)= — 2р(г), зр„(г)= — 2)(г), получаем и(х,, хз)=Ее [гф(г)+ф(г)!.
2 234. ФуНКцИя Е(г)ь т21Одг ПОЛуЧаЕтСя ИЗ фОрМуЛЫ и = Йе [гф (г)+ф (гЦ, г =х! — уз+ ! (хз — уз) (см. задачу 233), когда ф (г) = О, !р (г) = г (ой г = г (1ой г+ ! агу г). Поэтому Е (г) прн 2 Ф О удовлетворяет уравнению (18). 22 236. Если Л2, ..., Лв — нули полинома ~~ ааЛм-а кратности соответста=о пенно т„..., тв, то- рассматриваемый дифференциальный оператор можем записать в виде 2! в ~ о ц™= П (ц — Ла) а. а=о з=! Отсюда следует справедливость утверждения. 237. Записывая дифференциальный оператор в виде 138 убеждаемся, что как»р(г»), так и ф (гз) явля!отея решениями рассматринаа- мого уравнения.
В самом деле, имеем !+ ! ~ — (! + 1) ) ~ Ке»р' (г») = О, 2 1+1~ — (1+1)1 )» йеф" (гз)=0. ,Г$~ 2 2 238. Для корней х и )» квадратного уравнения сХз+26Л+а=О'имеем )г= — — — — ' Ьгж:Б', )г= — — + — ' Р'»м — Ь'. с с . ' с с В переменных г = х+ )гу, г = х+)»у рассматриваемое уравнение запишется в виде и =О. Следовательно, гг и (х, у)= — 1(г)+ — 1 (г). 1 1-- 2 2 — — а ) 1 6 ). а' ь» замены переменных х=аэ, у=Ь»1, и(х, у)=и(а$, Ьт!)=о(э, т!) эллипс х' у' — +-1 =1 переходит в круг аз+т)э=1, а заданное уравнение — в уравнение аз Ь Лапласа ой!+о„„=О.
Если о(э, т)) — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге вз+т)з=!, то искомое решение дается формулой и (х, у) = о ( —, — ) . 240. В переменных г=х+!ау, г=х — !ау, в=и+!о система записывается в виде ш- = О, откуда и следует, что г и(х, у)+(о(х, у)=1(х+(ау). 241. Для соответствующей однородной задачи Коши »», (х, у) = О, о, (х, у) = О, (х, у) Е 3, аналитическая функция (см. задачу 240) 1(г) =из+!ое комплексного переменного г=х+!ау во всех точках 5 обращается в нуль.
Отсюда в силу теоремы единственности аналитической функции заключаем, что 1(г) тождественно равна нулю; и тем самым единственность решения задачи Коши доказана. 1 ! 242. Нет. В обозначениях а= — х, т)= — у, а > О, Ь > О, и =о, и„= ш а ' Ь ' ' ' 1 ' ч рассматриваемое уравнение приводится к системе Коши — Римана ги — о„=О, 1 ни+ой — — О, причем о(й, 0)=0, ш($, 0)=0 прн »1=0 и 0~$~аз, Поэтому (см. ответ к задаче 241) заключаем, что о(а, т))=ш(а, т))=0 тождественно. 243. В переменных г=х+гу, г=х — !у, в=и+!о рассматриваемая система принимает вид ш-.=О, откуда и следует справедливость представлегг ния (20).
139 244. На основании формулы (20) заключаем, что на окружности ) 1(= 1 ю П)+ ! р (!) = ! у, (г)+ !у, (!)). Отсюда следует: а) задача Днряхле может иметь решение лишь прн условин, что функция г (7,(!)+!)з (ц), является предельным значением на окружнасти ) г(=1 аналитической в круге (г ( < 1 функция; б) когда 1г (г)=)з(г)=0 то <р(Г)= — Г ф(Г), ) 1(=1. Поэтому в силу теоремы единственности аналитической функции ф(г)= — гф(г) всюду в круге ) г)~!. Следовательно, однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений и (х, р)+!о (х, р) =(! — гг) ф (г). 247.
Поскольку в силу формулы (8) гл. 1 характеристический детерминант рассматриваемой системы нмеет внд 1)(Л,. Л„Лз)= .лз л — лг 0 о л л л! о — л Лз Лз 0 Лз — Лз Лг = — (л',+л3+л3)з, зта система эллиптична. Предполагая, что и о,ю,~р †дваж непрерывно дифференцируемые функ. цни, в результате воздействия на эту систему матричным дифференциальным оператором д дх д др д дг 0 д дх получаем й 0 О 0 0 а 0 0 0 0 Ь О 0 0 0 б (и, о, гв, <р) =О, откуда н следует гармоничность функций и, о, ю, ~р.
ГЛАВА ГП 248. х — !=сопя(, х+ !=сопя!. 248. (х,— хт)з+(хз — хз)з — (à — Гз)з=о, где (х,, хз, Гз) — произвольная фиксированная точка пространства Ез переменных х„ х,, С 280. азха+азха+азха+ау=сопя(, где аг,.аз, аз, а — произвольные действительные постоянные, связанные между собой равенством а1+аз+аз=аз. 140 д — 0 дх д д др дг д д дг др д дг д др д дх 251.
В принятых обозначениях имеем з з лп их;х;=! ~ ~! Рг!гз игу~ 1=1 |у! 11=1 ( з и = —,) Р (Хг+!У» ХЗ+!УЗ Ха+!УЗ) дав+1,) ~к~! Рггу! 1|ау 1у 1=1 | у |=| Г=! д /и ! '! ! =.— ~ — + — у( = — (ы 'д! ~Г ! г' ! з где Р(г» гг гз)=Р(хг+!У» ха+!Уа, хз+!Уз) г= д ~~~ Рг ч!дзг а 1*- |*=Ы|=! т=(тт, тю тз) — внешняя нормаль к сфере (г — х)з=!г в точке г. Так как в силу формулы Гаусса — Остроградского 1 з, Г з ~З Аг! «т=.),~ Я4гтгдзг, и 1=1 ап 1=1 выражение для !' можно записать в виде з и зп l= ~ ~~~~ ~Р, !дт=~ ргдр ~ з|п6 5() ~!|Рйр, 1<!'=' О о о га — хз='р саа(г, г! — хг=Р з|п 6 созда, гг — хг=Р з!п да|и 1Р, дг дг дг Л= — + — +— дг! дга дгзз ' то и 2п з г! = !г 1 а!п 6 И 1 ЬР д р = !з ') ~ЧР ~Р ., дзу, о о |У| ! 1=! з иы Г ~ ~~~ Рг!г ' !(Зу' |у|=11=1 з Следовательно, ~~" их.„,— и|1 =О.
1=1 252. Так как функция ф непрерывна вместе со своими вторыми производными, первое слагаемое в правои части формулы (6) удовлетворяет уравнению (5). Непрерывность же производных третьего порядка функции !р дз достаточна для существования производных третьего порядка — „, д (!М (!р) ), дз д!з (!М(!р)) так, что 3 д д!з (!М (!у)) =д! (Л [!М(!р)]) — (5((М (, ))) 1=1 ! Следовательно, функция (6) удовлетворяет уравнению (5). Кроме того, из (6) 141 находим 1 и(хя, хя, хз, 0)= — РЯ ЯР(хя, х„хя) дзз-— -ЯР(хь хя, хз), 4и д ! з!=1 ди! 1 1 дз — — ф(хь х,, хз) дя + — д я ((м(ЯР))!=о= д1 )!=о 4и,~ ' ' " 4яя !у~=! 1 =ф(хь хь хз)+ '[1М(бяр))я-о-ф(хь хз, хз), 254. Переписав формулу (6) (см.
задачу 252) в виде 1 и(хя, хя, ха 1)= ф(гь гь гя) "яя+ 4пг !7 х !я=!я + — ~ - <Р(гь гь гз)я(яя+ — ) — дя, 1 г Р др 4пзз 4и(,) дч !я-х Н=Ы ~ я-к и=И убеждаемся в том, что значение определенной по формуле (6) функции в точке (хя, хя, х, 1) зависит от значений яр, — и ф на сфере (г,— хд) +(гз — хя) + дяр я я ду +(гз — хя)я = Г~. 256.
Когда ф=ф(хя, хз), ф=ф(х„хя), формула (6) дает функцию двух переменных, которую можно записать в виде и(хд, хз, 1)= (' 1 д (1 — ф (хя+гь хя+гя) дя + — — — ~р (яд+ гя, ха+аз) дя 4пг 3 4п дт'(1 о я 1я!Я вЂ” Яз ~ я !я=и При вычислении интегралов в правой чяэсти этой формулы следует спроектировать на круг д: я~я+газ~!я, гя=б верхнюю и нижнюю половины сферы гя+гя+аз=!'. При этом площадь дгядгя элемента Ыя сферы (г)я=!я на круг д выражается через дя в виде гя дгд Игя=дяя соз (я„т) = . г дя„ ~рз+ я+ я где (з — орт оси хз т — нормаль к сфере )г(~=!я в точке (гя, гя, г), а гз — — х ~/1' — гз — гз.
В результате получим и(хя, х„1)= 1 ф(хя+гя, хя-(-г,) 1 д ~ яр(х,+гя, х,+гя) дгя дгя+ — — РЯ у„„я+я а — — дд+ ~~ ' 6дю(8 л 1 .я Ф 1 я откуда, производя замену х,+гя=уь х,+г,=у,, приходим к формуле (8). 256. Проводя рассуждения в ответе к задаче 255 в обратноля порядке, формуле (8') можно придать вид (6), откуда следует, что функция и(хд, хя, 1) является решением задачи (4), (2). 257. Нет, так как (см. формулу (8)) значение функции и(хд, хя, 1) в точке (хя, х,, 1) определяется значениями начальных данных м и ф не только на окружности (ря — хя)я+(уя — хя)я=та, но и во всем круге (уя — х,)Я+ (ря — хя)з ~ гз. 258.
Когда <р и ф зависят только от одного переменного хт=х, из формулы (8) (см. ответ к задаче 233) получаем ~/г -ч,' и(х, !)= — ~ 1Р (х+Чт)((Ч, ~ ' + )' ( + 2 О(,) Р( +Ч')ИЧ + ~3 1' Ы-Ча ! 1 Г 1 д Г = — 1 1Р (х+г),) й~,+ — — 1 ~Р(х+Ч,) ((Чд= 2 л 2 д(,) х+) 1 ! 1 г = — (р(х+!)+ — ч)( — 1)+ — ~ ф(т) ут, 2 2 2 х-( 269. В уравнении (3) сделать замену переменных В =х+(, Ч =х — 1, о(В, Ч)=и ] —, — ) =и(х, у) ич(реинтегрировать полученное урав- 3$+Ч $ — т( Д 2 ' 2 неняе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
