1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 23
Текст из файла (страница 23)
и(М)=г М вЂ” М~, где ]Ма-М] — расстояние между точками Из а=с ™~ Мз н М. 159. )»С. „, „ (х у ,) ! Г р й (с), ц (с), С (с)] 4п ,] ]/д (С) х]г - (»)(С) — у]г + (~ (С) — х]г Сг 161. Применить формулу Гаусса — Остроградского л л ~~с' — с(тх ] у' У!поэту!с(„ дрс Г х ] ос=с л с=с к тождеству Š—.~ д / ди до~ о — - и — /! = о Ьи — и Ьи = О. охс ~ дхс дхс / с с 162. Пусть точка хцсс. Часть области В вне замкнутого шара ] у-х] г' з достаточно малого радиуса е с центром в точке х обозначим через В . Так е' как Е(х, у) гармонична в Вг, то, применяя формулу (6) к границе области В и полагая при этом о=Е(х, у), получаем — ~Е (», у) — — (у) ~ с(Яу.
дн(у) дЕ(х, у)1 !у-х]=е Отсюда, учитывая, что на сфере ]у — х]=е 1 .Е(х, у) = (л — 2) ел-з ' л>2, — !од е, л=2, "у ! дЕ(» у) — л>2, дт ! — л=2, е ' !!ш ] (и(У) — и(х)] ' ссч 6 д! У ~ю дЕ(х, у) Г Ю„ з -+о дту "= ' 3 е"-с !у-хс=е !у-х! е в пределе прн е — ~ 0 получаем формулу (7). 163. Пусть точки х, УЕВ, х Ф у.
Часть области 0 вне замкнутых шаров ]х — х]л-е, ]х — у]~э достаточно малого радиуса е.с центрами в точках х, у обозначим через В . Применяя формулу (6) из задачи !61 в области Ре, когда и(г)=С(э, х), о(г)=С(х, у) (на этот раэ переменным интегрирования является х), получаем ~С(„„)дС('у) С(„„)дС('")1д, !г-х)=з ~С(г, у) ' — С(в,х) — '! ссв.
Г Г дС(з, х) дС(з УЛ 1г-у)=е 125 Отсюда, учитывая, что 0 (э, х) =Е (г, х) +у (х, х), 0 (г, у) = Е (х, у) + Ы (х у) где у(х, х) н у(г, у) — гармонические функции, и рассуждая, нак прн решении предыдущей задачи, в пределе при е — «О получим — 0(х, у)= — 0(у, х). 164. Проинтегрировать по области Р тождество л в справедливое для гармонической функции и, применив при этом к его левой части формулу Гаусса †Остроградско и положив в полученном результате о= — 1. Требуемое равенство следует также из формулы (6) задачи 161, когда о=!. 165.
Формула, выражающая теорему о среднем, а) для сферы следует из формулы (7) задачи 162, если в ней считать Я сферой ) у — х(=Я с центром в точке х: б) для шара (у — х( < )7 получается, если написать формулу, выражающую теорему о среднем по сфере (у — х (=р, в виде 1 р"-' и (х) = — ~ и (у) й5в ы» !и-х)=э и проинтегрировать обе ее части по р, О < р < )7. 166. Допущение, что отличная от постоянной гармоническая в области Р функция и(х) в точке х,ЕР достигает своего максимума, приводит к противоречию. В самом деле, пользуясь формулой, выражающей теорему о среднем, имеем и (хэ) = „~ и (у) йтэ, л (у-ко!Уй откуда следует, что функция и(х) всюду в шаре) у — хэ( < Я, лежащем в области Р, равна и (х,).
Действительно, волив некоторой точке уз, (уэ — хэ( < )7, имеет место неравенство и (у,) < и (х,) (неравенство противоположного знака исключено), то это неравенство сохранится в некоторой окрестности (у — уэ ( < в точки у,, и, стало быть, и(х,) < и(хэ). Из полученного противоречия следует, что и(х)=и(хэ) всюду в шаре (у — хэ(<)7. Пусть теперь х — произвольная точка области Р. Соединим точки х и х, непрерывной кривой Е, расстояние которой до границы области Р равно 6 > О. Передвигая центр у' шара )у — у'( < 6 от точки х, к точке х вдоль Е и учитывая, что каждый раз и(у')=и(хэ), (убеждаемся в справедливости равенства и(х)=и(х,), а зто исключено. Аналогично рассматривается случай минимума.
167. Применить принцип экстремума к разности й, и и, двух произвольных решений задачи Дирихле Ли(х)=О, х~Р, и(х)=)(х), хЕЯ. 168. Пусть 0(х, у)=Е(х, у)+у(х, у) — функция Грина, а и(х) — решение задачи Дирихле. Требуемую формулу(8) можно получить, если из формулы(7) задачи !62, записанной для решения и (х), вычесть почленно формулу (6) из задачи 161, примененную н функциям и(у) и у(х, у) и умноженную на озн~. 166. Непосредственно убедиться в справедливости равенств ! -м= (х(у — (х( ~=()х(э(у(э — 2(х, у)+!) =~ !У(х — ( =)у((х- —,~=(х(~у-~ —,~, 126 из которыхследует, чтофункция у(х, у)=Е()х) у, х/(х)) гармонична вединячнем шаре как по х, так и по у, причем д(х, у)=Е(х, у), когда (х)=1 илн (у(=1, Здесь (х, у) — скалярвое произведение векторов х=(кы ...,х„) и у=(уз, ...,у„). Таким образом, функция б(х, у) удовлетворяет всеы требованиям, предъявляемым к функции Грина.
170. Ввиду того, что (см. задачу 109) х! ') у! ) х)у; —— д0(х, у) чгл) уз(у; — х!) ! ' ) к (/ ! — ) х (е дт 7~ (у — к)л ! х ~л )у — х)л' у =1 !(х)у —— )х! из формулы (8) задачи 103 получаем требуемую формулу Пуассона. ! Р )7з — (х — хе (з 171. и (х) = — д! со„К,) ) у — х !» ф (у) дзу. ! у-к, !ли В результате замены переменных по формуле хлл)(а+хе рассматриваемая за. дача сведется к задаче Дирихледлягармонической функции о(г)=и(Як+хе) в шаре ) г) < 1: Ьо(з)=0, )г( < 1, у(г)=<рЯг+хе), ) з)=1, решение которой (см. задачу Г70) имеет вид ! Г ! — (х)з у (х) = — 4р ()ту+ хе) ю(5 <! )у х(л е у. !у л! С помощью обратной замены переменных г=(к — хл)/Риз последней формулы получим ответ.
172. В формуле Пуассона (см. ответ к задаче 171) принять х =х,. 173. Для гармонической в круге (х! < ! функции и(х) =! нз формулы Пуассона (см. задачу 170) имеем зл ! !' 1 — (х(з 2л,) (у — х (! !"' о 174. Поскольку ядро формулы Пуассона совпадает с нормальной произ- дО(х, у) водной функции Грина ', то оно гармонично при )х! < !. В силу дуу равномерной сходимости интеграла в достаточно малой окрестности точки х в шаре (х ! < 1 оператор Лапласа можно внести под знак интеграла.
Тем самым убеждаемся в гармоничности и (х). При доказательстве второй части задачи ограничимся рассмотрением случая п=2. Имеем зл г ! — (х!з и (к) = — ~ — л- !р (у) ду. 2я д (у — х)з о Отсюда, пользуясь тождеством из задачи !73, получим и(х) — <Р(хе)= — д! (<Р(У) — <Р(хл))дф, (к(<1, !хе(=1.
е 127 Так как ф(х) равномерно непрерывна на окружности )х)=1, то для любого е > 0 существует такое число 6=6(а) > О, что для всех ф н фе, у,= сов ф, уе=в!пф, хш — — сна фа кто=в!и фа, удовлетворяющих условию ) ф — фо! < б, будем иметь ) !р(у) — ф(х,) ) < е. Представляя выражение и (х) — ф(ха) в виде и(х) — ф (ха) =)д+)а, где Фа+а 7,=— Г ! — )х!а '= 2п 3 (у — х)е (т (у) ф (хо)) иф. Ф -е чь-е 7,= — " + ~ 1„„— — „--,(р(у) — р(,Ц6ф, 9 +е. ваключаем, что )(т! < е, а после выбора 6(в), устремляя х к хе, получаем < 9,-6 Яи + ~ бф< —, М= шак )~р(у)), )у)=1, 1у — х! М е<9<ен , о Фв+а т.
е. !)а) < е. Следовательно, /и(х) — ~р(х,)) < 2е, т. е, !!ш и(х)=<р(хе), к -~ ха (х! < 1, ~я~1=!. 176. Справедливость оценок получается Нз формулы Пуассона (см. вадачу 171) 1 Р )1т — ) х)а и(х)= — ! ф(у)ду, =м„)7,) )у — х!в !я!=и если учесть неравенства Я вЂ” (х! < !у — х! < Р+)х) при (х) < И, )у)=Ю, и воспользоваться формулой, выражающей теорему о среднем (см. задачу 166).
!76. Нет. Это следует нз неравенств задачи 175. Действительно, считая бее ограничения общности, что и (х) > О, из указанных неравенств в пределе при Р— ~-оь получаем и (х) = и (О) = сопя!. 177. Нет. Если М =анри(х), то гармоническая функция М вЂ” и(х) была бы знакопостоянной и, следовательно, было бы М вЂ” и(хе) =М вЂ” и(х), т.
е. и(х)=и(хе) всюду в Е . 176. Действительно, пусть хе — произвольная точка области О и шар )у-хе)~а лежит в 11. Пусть и(х) — непрерывная в О функция, для которой имеет место формула, выражающан теорему о среднем в окрестности каждой точки области 1). Обозначим через о(х) гармоническую в шаре !у — хе) < в функцию.
принимающую на сфере ) у — х,) =е то же значение, что н и(х). Для разности и(х) — о(х) у ш (х) имеет место формула, выражающая теорему о среднем. Отсюда следуетсправедливасть принципа вкстремума для ш(х) (см. вадачу 166). Так как э(х)вв 0 на сфере )у — хе)=е, то в(х)ше0 в шаре !у — хе)~е, что и доказывает гармоничность и(х) в окрестности каждой точки хе Е7).
179. Для любого шара !х — хе)~а, лежащего в области !7, всоответствии с формулой Гаусса — Остроградского и условием задачи имеем аи Ьи бт = — ба=0. ду !х-х,!<е !х-к~)=в Отсюда, в силу произвольности точки хе и положительного числа в, следует йи= 0. 180. и (х, у) = 2ху. 181. и(х, у) = ха — Зхз — Зхуз+ Зуз+ 12х — 1.
182. Выписать формулу (7)для полусферы (у(=Е, уз~О, и устремить )т к бесконечности. 184. Решение задачи выражается формулой из задачи 183, если в ней за- менить хл на †. х г — 1 185. и (х, у) = ,. 186. и х, у, г) =— Х'+(У+ «(хе+уз+(г — «2)2~2 187. Пусть )1+ — ограниченная область евклидова пространства Ел точек Я =!Зг, ..., З„) С ДОСтатоЧНО ГЛадкой граиицей Я, тОчки котарой будем обозна- чать 21=(21,, ...,2!2), а 0- — дополнение О+ ЦЯ да Ел. Не умаляя общности, считаем, что единичный шар (с( < 1 принадлежит 1)+. Чтобы найти решение и(Ч) внешней задачи Дирияле Ьи($)=О, !пни($)л ф(2)), $60 2)ЕЗ (*) $ ч произведем преобразование инверсии З=х/(х)2 пространства Ел ф (относи- тельно единичной сферы ( с ! = «.
В результате инверсии неограниченная об- ласть 11- с границей 3 отображается на некоторую область 2( точек х = = (х,, ..., х„) с границей а, точки которой обозначим через у=(уы ..., у„). Строим функцию 1 / х а (х) = — и ( — ) . (Х(л-' (,(Х(2) (22) Непосредственна (см. задачу 135) проверяется гармоничность функции а(х) при условии гармоничности функции и(я). Кроме того, полагая 2(=— и (у(л-2 ' !нп а(х)= !пп — и ( — ) = гр ( — ), ха!(, уба. (х(л-2 ((х(2) (у(л-2 г(у(2) ' Таким образом, для функции а(х) получаем (внутреннюю) задачу Дирихле Ла(х) =О, !пп а (х) = — 2р ( — ), ха!(, у~а, 1 / у (у (л 2 (у(2 решая которую находим функцию о(х).
Зная а(х), по формуле (22), пользуясь х ! г $ обратной инверсией я =, получаем решение и (Г) = — а ( — 1! (х!'' ( 2 (л-2 ( ! 2 !2 2 внешней задачиДирихле(*). Нетрудно проверить, что найденнаяфункция и (з) удовлетворяет граничному условию задачи (2). гн 188. и(х, у)= — г 2 2!р(хг, х!) Ыз. 2н,) (х — х!)2+(у — уг)2 а 189. ~ грдз=О. См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
