1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Эллиптическое всюду, ойй+э — 8э=О, в=у — х, т1=2х. пч 89. Параболическое всюду, о„„+18 +9„— 9 =О, ~= +д, Ч=х. 70. Гиперболическое всюду, -)-Зи — о +2о=О, 3=у-х, Ч=2у — х. 1ч 1 71. Гиперболическое всюду, ий +ий — 2и +а+Ч=О, $=2х — у, Ч=х+у. ч ч 72. Параболическое всюду, 27о — 105и +ЗОи — 150и — 2$+5Ч=О, $=х+ЗУ, т)=х. чч 4 ч 78. Эллиптическое всюду, 1 1 (-и +!Зий — 4)~ би + — в+ — Ч=О, а=у — 2х, т)= !г бх.
11 чп 1 . и 74. Эллнптическое всюду, и +и — 2и +и — и+т! — 5=0, $=2х — у, т)=Зх. 75. Эллиптическое всюду, и -(-и =О, $=у, т)=асс!8 х. чч 78. Параболическое всюду, ироме начала координат (в начале координат уравнение вырождается), $1 и — — и-+ — о =О, $ у' — хт. т) =хв. чч 2Ч($+Ч) а 2Ч 77. Гиперболическое всюду, ийонеЂ - О, $=х+агс18у, Ч=х — агс18у. 78. Эллиптическое всюду, ой!+и — 2и=О, ч=!п(х+ тг 1+х'), т)=1п(у+ д 1+уч) 79.
Параболическое всюду, кроме начала координат (в начале координат уравнение вырождается) ат 1 д иве+2-аий+-а!=0, $=, т1=у. Ч Ч 80. Параболическое всюду, кроме координатной оси х=О (иа осн х =0 уравнеине вмрождается), ич + —" — ч=О, $= +д, Ч=х. 5 — Ч'1 Ч 81. Гиперболическое всюду, и — О $ — х+у — Ота х, т) = — х+д — соа х. Вч 82. Параболическое всюду, и„„и — Че-тчо=О, $=е-У вЂ” е 1+5тч 109 83. Параболическое прн х=О, и„„=О; гиперболическое при х ~ О, 1 из — — и1 — — О, й=хз+у, т)=у. ч 2(е — Ч) 64.
Параболическое при х=О, и„„=О; гиперболическое прн х > О, 1 и3 + (и3-ич)=0, в=у-х+2г/х, ч=у — х — 2 у'х) ч 2 (в — т)) эллипткческое прн х < О, 1 иц+ичч — — ич=О 3=у — х, Ч=2у — х. Ч 86. Параболическое при у=О, и„„=О; гиперболическое при у < О, ! 2 2 и + — (и + ич) =О, $ = ( У)з/т .) х, Ч = — ( — У)з/з х; $ч б Д+Ч) 3 — ° — 3 3 эллиптическое при у > О, 1 2 13+""" 4 ' 3 2 86. Параболическое при х=О, у ~ О, и„„+ — (их+ни)=0 и при х ~ О, у=О, 2 ихх+ — (и„+ни)=0 (в начале координат уравнение вырождается); гипербох 3 лнческое при х > О, у < 0 и при х < О, у > О, ид — — (Чи1 — бич)=0 $~ Чз (замена переменных: $ = ~ — у+ Ргх, т) = У вЂ у )/ х при х > О, у < 0 и В'= Уу+ )/ — х Ч = Уу у — х при х < О, у > 0); эллиптическое при х > О, /1 1 У > 0 н пРн х < О, У < О, о +ияя+3 ~ — и!+ — ич~! =0(замена пеРемениых: 33 е = )/ у, т! = р/х при х > О, у > 0 и е = у — у, т! = )/ — х при х < О, у < 0).
87. Параболическое на прямых х=(2/т+1) —, /т=О, ж1,, .; гиперболичес- кое вне прямых х=(2я+1) —, /т=О, 11, ..., ч — ч идя+2(4 (3 Ч)т) (и1 ич)=0' у=у+соек+а!их, Ч=у+созх — ыпх. 88. Параболическое на осях иоординат х=О и у=О„и„х=О; гиперболическое при х>0, у<0 я прв х<0, у>0, 1 и3 — ((2е — Ч) и3 — (2т! — $) ич) =0 П 3(фз — Ч') 2 2 (заменапеременнык: $= — 2( — у)т/з+ — хз/т,т)=-2( — у)т/т — — хз/зприх>0, 3 2 2 у < 0 и $ =2ут/т+ — ( — х)з/т, т)=2ут/т — — ( — х)з/з при х < О, у > О); эллип- 3 ' 3 ! 1 тическое при х > О, у >0 в при х < О, у < О, и!3+питт — — и1+ — ич= 0 Е 3Ч 1!О (замена переменных: т,=2уз/з, т)= — хз/з прн х > О, у >0 н 5=2( — у)м~т 3 т)= — ( — х)зв прн х < О, у < 0).
2 3 15 89. в41+впч — в=О, 2 вВ+ зч $ = 2х+ у, т) = х, и $, т!) = и (т), я — 2т)) = е з в ф, т)). 90. вчн — в1 — — О, $езч $=3х+у, т)=х, о(з, т))=и(т), 3 — 3т))=е з в(з, т!). 1 В 9!. в + — в+ — ез =О, дч 2 2 3=2х+у, т)=х, оф, т)).=и(т), $ — 2т)) е-$/звф, т!). 92. в- — 7в=0, ' -зч я=2х — у, т)=х, о(а, т))=и(т), 2т) — 4)=е-1-вяв(4, т!). 3 93. в +вон — в=О, 44 2 а = 2у — х, т) = х, о (з, т)) = и (т), — ~ =е-1-Я в Д, т)). $+т) ~ 94.
вчч — 2в —— О, $=у — х, т)=у+я, о(з,т))=и ~ —, — 7! =е зз в(9, т!). гт) — $ т)+Р 2 ' 2 ) 93 тон — в=О йч а=к †, т)=к+у,оф,т))=и~ — , — ~=е з в(т„т)). ~п-~-~ «~-2~ 2 ' 2 98. в ч+9в+4$ — т)) е1+"=О, Оп а=у — х, т)=у, о(з, т))ь и(Π— з, т))=е-1-чв(а, т)). 97.
ньз — в+$еЧ=О, я=у, т)=х — Зу, о(з, Ч)=и(т)+За, з)=е-чв($, «1). 98. вдд+впч — в=о, $=2х — у, т)=х, о(а, т))=и(т),2п — $)=е1 нв($,т)). 99. в!4+вон+2в=О. 4» 29 (а т)) ~ ~~ е1Ч (Зт)) !т)+21 100. в41+вч=О, о (з, т)) = и ~ —, — ) = е1-зч в(т„ч). /з+т) 2т) — $~ 'Лз 3) 1О1.
о4|+очч+ о!1 — — О, т) = — «+у, ь=2х — 29+а. Исходному уравнению соответствует характеристическая квадратичная Форма Я=Л~т+2ЛтЛз+2Лз+4ЛзЛз+бЛз, которую, пользуясь, например, мего. дом Лагранжа, можно принести к виду О=(Лт+Лз]з+(Л +2Лз)а+Лазу Обоз. начая рт=Лд+Лз, р,=Лз+2Лз, рз — — Лз, получим форму Я а каноннческом 111 виде ((,=раз+раз+раз. Таким образом, невырожденвое аффинное преобразова! — ! 2! ниеХ,=р,— р,+2рм ьз=рз — 2рз, Хз=рз с матрицей М= 0 1 2 ~ 0 О 1 приводит форму !г к каноническому виду !г=)зз+рз+рак Матрица невырожденного аффннного преобразования, прнводяптего исходное дифференциальное уравнение к каноническому виду, является сопряжен- 1 0 О! ной к матрице М, т. е.
Мч = — 1 1 О, асамоэтопреобразование имеет 2 — 2 1 вид $=х. Ч= — х+д, 1=2х-В+3. Пользуясь згим преобразованием н обозначая и(х,д,г) о(з,Ч,Ь), находим: и„з= од+ о„„+ 4о11 — 2ойч+ 4о11 — 4очй ива= очч+4о11 4очй озг о!1 и„з —— — ОЧЧ вЂ” 4О13+ Ойа — 2ейй+ 4ОЧй, игг — — — 2О11+ Онй, Подставляя найденные выражения для производных в исходное уравнение, по- лУчим о!1+очи+осе — — О. 3 9 102. о +очч — ойй+Зо + — ч — — о =О, йй 1 2 2 '! 1 а=х т)= — (х+д+г)„~= — — (Зх+д — г). 2 103.
ойй — очч — оц+йоч=О, а=х+д, т)= — х+д, ь= — х — д+г. 104. о11 — очи+ о(й+ о =О, 1 2 тб а=0+а, Ч= — д+г. ь== х — =д+ — г. Р~б дб 2 105. очч+о11 — 8и=О, 1 1 1 ! а=я+ 2 У+ — г, Ч= — — (д+г), ть==(д — г). 2 ' 2 ' 2)Г2 106, ~ — очи+о +2ой — У2оч+ д 2ой+4о=О, $=х, Ч= — =(Зх'— д), ~= — =(х+д — 4г). 1 -. ! 2д' 2 2т' 2 1 107. т~д+очч — Зо+=$+Ч) — 2~=0, Зт 2 ! 3 $== х, т1= — х+ У 2д ~=х+г.
У2 т'2 108. о — очч+4о=О, й=д-( г, Ч= — д-2г, ь=х — г 10й..о!3+ 2о = о, ~"=х, Ч= 2х+д, ~--х+г ПО. сйй — 2ой — О, — Ч= — йх (-д, ~= — Зх+ ° 112 с 111 а) К= 2 ] Р (х) иг (х, Г) бх; 1 Г ю г л б) К = 2 ) Р (х) и', (х, 1) Их-(- 2 ~~~г~ тгиг (хи Г). г=г из. ) и-~(отчттнч ча,; а б) У= — ] ие(х,1)бх; Т Г е 1 Т Г в) У = — ] и„' (х. 1) вЯх — тд (1) и (О, 1) — тэ (1) и (1, 1); . а Ю г) у= — ] иэ (х, 1) бх+, ие (О, Г)+ — е иэ (1, 1); 9 Т вЂ” нетяженне, пг н о,— коэфФициенты жесткости упругого крвпленяя.
113. а) К= — ] р(х,у) иэ(х,у,г)бхг(у: 1 Г 2 ) й 1 Г и б) К= — ) р (х, у) иг(х, у, 1) йх Иу + 1 ~Г лП ег (хГ у, Г). В 2 г х ~-'3 О б) У= — ( (и„'(х,у, 1)+ие(х,у, 1)]г(хну;. Т Г й ~-'3 и с г) У = — ( г(и~и(х, у, 1)+ ий (х, у, 1)) Нх йу+~ Р (х, у, 1) и (х, у, 1) Нх Ну; 2,) й о Т вЂ” натяжение мембраны, (,— граница области В, э — точка нрнвой („гй элемент длины )., а(э) — коэффициент упругого крепления. 115. а) рии=Ти„„, 0 < х < 1. 1 > О, и(0, 1)=и(1, 1)=0, Г > О, и (х, 0) =юр(х), иг(х, 0) =ф (х), 0 < х < 1; б) риЫ=Ти„„, О < х < 1, Г > О, и„(0, 1) и„(1, 1)=0, 1> О, и (х, 0) =~р(х), иг(х, О) =ф (х), 0 < х < 1; в) рии=Ти„„, 0<х<1, 1>0, Ти„ (О, 1) = — Р (Г), Ти„ (1, 1) = Ф (1), Г > Оа и (х, 0) = ф (х), иг(х, 0) =ф (х),, О < х < 11 113 г) Рагс=Тихи, 0<х<1, 1>0, Ти„(0, 1) —.о,и(0,1)=0, Ти„(1,1)+они(1,1)=0, 1>0, и (х, 0) ='р (х), иг(х, 0) = ф (х), 0 < х < 1, где ид и ов — ковффициенты жесткости упругого нрепления концов струны; д) риГГ=Ти„х+г(»,1), 0 < х <1, 1 > О, и(0, 1)=0, Ти„(1, 1)+ои(1, 1) =О, 1 > О, и (х.
0) = ~р (х), иг(х, 0) = ф (х), 0 < х < 1. и — коэффициент жесткости упругого крепления; е) ран=Тики+к(1)В(х — ка), О < х <1, 1 > О, и(0, 1)=и(1, 1)=0, 1 > О, и(х, 0)=~р(к), иг(х, 0)=ф(х), 0<х< 1. Здесь н ниже 6 (х — $) — 6-функция Днрака (см. гл. Ч, б 3); ж) ~р(Х)+ ~~",Шгб(К вЂ” »1)~ игг=Ти„к, 0 < Х <1, 1 > О, 1=1 Тих (О, 1) — оги (О, 1) =О, Ти, (1, 1)+о и (1, 1) =О, 1 > О, и (х, 0) =<р (х), иг(к, 0) = ф (х), 0 < х < 1, и, и а, — козффициенты жесткости упругого крепления концов струны. 11б.
а) пи=а'Ьи, (х, у)ЕР, 1>0, а'= —, Р и (к, у, 1) =О, (х, у) ~1., 1 > О, и (х, у, 0) =<р (х, у), иг (х, у, 0) = ф (х, у), (х, у) ЕР; б) игг=авба, (х, у)ЕР, 1 > О, 'аа= —, Т Р ди(х, у, 1) , дт =О, (х, у)Е(., 1 > О, т — внешняя нормаль к 1„ и (х, у, 0) = ~р (х, у), иг (х, у, 0) = ф (х, у), (х, у) Е 0; в) игг=а'Ьи, (х, у)ЕР, 1> О, ав= —, Т Р ди(х, у,т) 1 дт Т = — г (к, у, 1), (х, у)Е(., 1 > О, т — внешняя нормаль к Ь, и (х, у, 0) = <р (х, у), иг(к, у, 0) = ф (х, у), (х, у) ~ 0; г) игг=ааби, (к, у)ЕР, 1 > О, а'= —, Т Р Т ' "' +ои(х, у, 1)=0, (х, у)~1., 1> О, ди (», у, 1) ду и (х, у, 0) = ш (х, у), иг(х, у, 0) = ф (х, у), (х, у) Е Р, т — внешняя нормаль к 1., о — козффициент жесткости упругого крепления края мембраны; 1 Т д) наг=лаби+-у(к.
у,1), (х. у)ЕР, 1>о, а = —, Р Р и(х, у, 1)=0, (х, у)ЕЬ, 1> О, и(х, у, 0)=~у (х, у), иг(х, у, 0) =ф(х, у), (х, у) ЕР; Т е) иы=аайи — аи, (к, у)ЕР, 1 >О, аа= —, а= —, Р Р и(х, у, 1)=0, (х, у)ЕЬ, 1 > О, и (х, у, 0) =~р (х, у), иг(х, у, 0) = ф (к, у), (х, у) ЕР, 114 где () — коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления среды: -))и; ж) [р+псб(х — хо у — уаНисс=ТСЬи, (т, у)ЕР, С > О, и(х, у, С) О, (х, у)ц(., и (х, у, 0) =ф (х, у), ис(х, у, О) =ф (х, у), (х, у)~Р, 117. а) иСС =ахи« , 0 < х < 1, С > О, аэ = — , Е Р и,(0, С)=их(1, !)=О, С > О, и (х, 0) =ф (х), иг(х, 0) = ф (х), 0 < х < 11 Е б) иы=аэи х, 0<х<1, 1>0, а'= —, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
