1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Кзк известно, уравнение Лапласа Ли=О может служить уравнением Эйлера задачи на минимум интеграла Дирнхле () (и) = ~ (и +ие) йхйу, . р (61) 1пп Ф (ил) = й, л-»л называется минимазируюшей. Центральное место в вариационных методах занимает построение минимизирующей последовательности.
Один из методовее построения принадлежит Ритцу. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть (чл), л=1, 2, ...,— полная система из класса допустимых функций для функционала Ф(и). Последовательность (~рл) носит названиесиещемы координатных функций. Составим новую последовательность л ил»» ~ сета, Д»»1, 2, а=! где са — пока произвольные постоянные, и определим коэффициенты с так, а чтобы выражение Ф»=Ф(ил) как функция сы ..., сл было минимальным. распространенного по области )) с границей 5. Непрерывные в 11()5 функции с кусочно непрерывными в 1) пронзводнымн первого порядка и конечным интегралом Дирихле (61), совпадающие с наперед заданной на 3 непрерывной функцией ф(х, у), называются долусглимими функциями.
Задача об отыскании среди допустимых функций той функции, для которой интеграл Дирихле (61) минимален, называется переой еариационной задачей. Если й — минимум интеграла Дирихле или вообще некоторого функционала Ф(и), то последовательнорть (ил), и=1, 2, ..., допустимых функций, обладающая свойством )уля некоторых классов функционалов удается показать, что последователь ность (и„) является минимизирующей н ее предел дает решение рассматриваемой вариационной задачи. 625. Показать, что если заданная на границе Я области 1) функция ф(х, у) такова, что класс допустимых функций, принимающих на 5 значения ф(х, у), является не пустым, то задача Дирихле Ли(х, у)=0, (х, у) е1), и(х, у)=ф(х, у), (х, у)чЯ, и первая вариационная задача эквивалентны. 626.
Показать, что в классе допустимых функций у(х), 0<х<1, удовлетворяющих условиям у(0)=0, у(1)=а, функция у(х) =ах" минимизирует функционал 1 где и — положительное целое число. Вычислить пп(пт„(у). 627. Пользуясь тем фактом, что в квадрате ф 0 -х~и 0<у<и среди допустимых функций и(х, у), обращающихся в нуль на границе этого квадрата, функция и(х, у)=-з)пхз)пу минимизирует функционал 1(и)= —, 0 (и) и (и) ' где х) (и) = ~ (из+ и„') Йхду, Н(и) = ~ из с(хс(у, показать епра. е Я ведливость оценки Н(и) <- х)(и) для всех допустимых функций.
628. Среди непрерывно дифференцируемых на сегменте 0<к<и функций у(х), удовлетворяющих условиям у (0) = у (и) = О, Н (у) = ~ у'(х) с(х = 1, о найти ту, которая минимизирует функционал 11 (у) = ( у" (х) ЙО. е 105 629. Показать, что для допустимых функций у(х) из задачи 628 имеет место оценка и (у) ч- Р(у). 630 Найти первое приближение задачи на минимум функционала 1 Р(у)=$(у" +у'+2ху)Нх, у(0)=у(!)=О, о когда координатные функции берутся в виде (у„(х)=х" (х — 1)). 631, Сводя задачу Дирихле Ли(х, у)= — 1, (х, у)ЕР, и(х, у)=0, (х, у)ЕЗ, к задаче на минимум функционала Р(и) ~(и*„+и'„— 2и)охг(у, и) =О, о 3 где Р: — 1<х<1, — 1<у<1, найти первое приближение и,(х, у), если координатные функции имеют вид о,(х, д) = (х* — 1) (у' — 1), и, (х, у) = (х' — 1) (у' — 1) (х' + у'), и, следовательно, и,(х, у)=со„(х, у).
632. Задачу Дирихле Ли(х, у)=ху, (х, у)ЕР, и(х, у)=0, (х, у)ЕЯ, свести к вариационной задаче и найти приближенное решение и,(х, у)=сху(х — 1) (у — 1), если область Р представляет собой квадрат 0 <х< 1, 0<у< 1. 633. Пусть допустимые функции для функционала (62) опре- делены в круге Я: х*+у' < 1 и обращаются в нуль на границе етого круга. Пользуясь методом Ритка, найти функцию, мини- мизирующую. функционал (62). 634.
Пользуясь задачей 633, вывести неравенство Н (и) < СР (и) и указать точное значение константы С в случае, когда область Я есть круг х'+ у' < 1. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ ГЛДВД1 1. Нет. 2. Да. 3. Нет. 4. Нет. 5. Нет. 6. Нет. 7. Первый. 8. Второй. 9. Первый. 10. Первый. 11. Второй. 12. Второй.
13. Нелинейное. 14. Квазнлинейное. 15. Линейное, неоднородное. 16. Линейное, однородное. 17. Линейное, неоднородное. 18. Нелинейное. 19. Линейное, неоднородное при И(х, у) 9ьб. 20. Кваэилннейное. 21. Квазилинейное. 22. Кваэнлинейное.23. Квазилинейное (линейное относительно старших производных). 24. Линейное, однородное. 25. Гиперболический. 28.
Эллиптический. 27. Параболический. 28. Параболический. Действительно, соответствующая этому уравнению форма !2 (Хд~ Хз»з) =4Хд+2Хз — ЗХв+6Хдйз+ 10ХдХв+4ХзХв= = — (4Хд+ЗХв+5Хв)з- (Хз + 7Хв)в ! 1 4 4 в результате неособой замены переменных ! 3 Хд= — Ьд- — $з+4Зв Хз=23в — Чв Хв=Вз 2 2 приводится к каноническому виду К(яд, чз, ав)=ад — явм откуда и следует справедливость утверждения, 29.' Гиперболический.
30. Эллиптический, так как соответствующая характеристическая форма !7 (Х„Х„Х,) =Хзд+2Х,Х +ЗА+ 4ХвХ~+534 положительно определена. В этом случае и в задачах ЗЗ, 35 можно пцдьвоваться критерием Сильвестра положительной определенности симметричной квадратичной формы м = аддХд+ 2адвХдХз+ 2адвХдХз+ а„Хз+ 2а„Х,Х,-(-а„Хз,, что заключается в положительности всех главных диагональных миноров 1 адд адв адв~ Адд- — адд, Аы — — ~ ~, Аы —— авд азз азв ! а,д ада ! ~ авд авз ~' азд авв авв а аы адв адв( матрицы ~'ам а„аы ~ . 31. Гиперболический.
Соответствующая характеристическая форма Е(Х,. Х., Х,) =Х,' — 4Х,Х,+2Х,Х,+4Х,'+Х,'= (Хд — 2Хз+ ХвР+(Хз+Хв)з-(Хз — Хв)' 107 в результате неособой замены 1 3 1 ! Ла=ра+ Ра+ — Рв Ла= — (Ра+Ра) Лв= — (Рв Рв) 2 2 ' 2 ' 2 приводится к каноническому виду К(Р, р, Р )=Ра+Рв — Рва. 32. Гипербо- лический, так как характеристическая форма Ц (Л„Л,, Л,) =Л,Л,+Л,Л,+Л,Л,= — (Л,+Л,+ 2Л,) — — (Л,— Л,)а — Л, 1 а ! а 4 4 в результате замены Л1 = Р1+ Рв — Рз Лв = Р1 — Ра — Рз Лв = Рв приводится к каноннческому виду К(Р,, Р„рз) =Ра — Д вЂ” Р3.
33. Эллиптнческнй, 34. Гиперболнческий. Неособой заменой Ла=ра — Ра — Рв Ла=рв+Ра Ла = Ра соответствукицая характеристическая форма !7 (Ла, Лв, Ла) = Лаа+ 2Л1ЛЗ+ 2ЛЗЗ вЂ” 2ЛЗЛЗ = (Ла+ Ла)в+ (Ла — Ла)а — Лаа приводятся к каноническому виду К (Р,, Рв, Рз) = Ра+ Рв — Рв 35. Эллнптнческнй. 38.
Параболический прн у=О; гиперболический прн у < 0; эллиптический прн у > О. 37. Параболический прн х=О, .у ~ 0 и прн у=О, хве 0; гиперболический прн сбйпх ~ з!6пу; эллнптяческнй прн з!йпх=з(йп у. 38. Гиперболический. 39. Эллиптнческнй вдоль и=ха+у'1 гиперболический вдоль и='2 $'2ху. 40. Эллиптнческнй вдоль и=(х+у)в; гиперболический вдоль и =х; параболический вдоль 1 в 17 и = ха+ — у'+ — ху. 41.
Пар аболнческнй вдоль и = 2уа; эллиптический 4- !б вдоль и=5ху; гиперболический вдоль и=х. 42. Параболический 1 вдоль и= — (ха+уз); гиперболический вдоль и=2уа. 43. Гиперболический. 2 44. 1'нперболнческнй. 45. Гиперболический. 46. Эллиптический. 47. Гнпербо- 1 лнческнй вдоль и= — (х+у)а; нараболнческнй вдоль и= )г Зха. 48. Эллнп- 2 тнческнй. 49. Параболический. 50. Вдоль решения и=ха — уа уравнение не прннадлшкнт нн к одному из названных трех типов, так как К(Л1, Л,)=0; вдоль и=х уравнение эллиптического типа. 51.
Гиперболическое эллиптическое яля параболическое, если вырангение ду дг" ! У дг" Ла — — — ( — 7! соответственно меньше, больше нлн равно нулю. ди„„ди„„4 Г,ди„„г' 52. Эллнптнческнй. 53. Гяперболнческнй. 54. Параболический. 55. Галер. болический. 56. Гиперболяческнй. 57. Эллиптический. 58. Параболический. 59. Эллиптический. 60. Параболическнй. 61. Гиперболический. 62.
Гнперболячеакяй. 63. Гиперболический. 64. Параболический. 65. Гиперболический при й < О; параболический при А=О; эллиптический прн й > О. 66. Гнперболнческий прн — 0,5 < а < 0,5; параболнческнй при 3= ш 05; эллиптический пря !х( > 05. 67. Параболический прн Й=О н прн 9=4; эллнптнческнй пря О < й < 4; гиперболический при й < 0 н прн й > 4. 68.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
