1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(53) Когда существуют преобразованяя Фурье Р(г)= — ( е-ггс)(,) бг, Р 2п,) м м Ф (Ь) = = е ь9 (Г) о( )г 2м,) и обратные преобразования у(Г)= — ( епгР(~)г(~, )г 2п,) (Г) = ) ( егггФ (ь) б~ У 2п,) свертке (54) можно придать вид м ) э~р= ) г (Ь) Ф(Ь) е ь"ПЬ.
Ф (55) (56) Преобразование, обратное (56), дается формулой м — — ( е г«еЬ($) ов, Поскольку преобразование (56) в обычном понимании смысла не имеет, приведенное выше определение 5-функции является формальным. В современном математическом анализе дается строгое определение 5-функции как обоб. щенной функции. 598. Пусть ((х), — оо ( х ( оо, удовлетворяет условиям применимости прямого и обратного преобразований фурье. Доказать основное свойство 6-функцин Дирака 1 в 6 = ) (х) . 599. Показать справедливость равенства ~ 6(г)Й=1.
Заметим, что в физике 5-функцию Дирака иногда определяют как функцию, равную нулю для всех действительных значений х, отличных от нуля„ 4а 99 Громоздкие вычисления, встречающиеся при пользовании преобразованием Фурье, значительно упрощаются, если воспользоваться Ь-(тунхцией Дирака. Она определяется )гак преобразование Фурье от постоянной (/ )г 2п обращающуюся в бесковечвость прв х=з я удовлетворяющую условию Пользуясь интегральными преобразованиями Фурье, решить следующие задачи: В полуплоскости — оо <х< оо, 1>0: 600. им=аеи„„, и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=тР(х).
601. и„= а'и + Г (х, 1), и (х, 0) = и,(х, 0) = О. 602. ит а'и„„, и.(х, 0) = ф (х). 603. ит=аеи„„+1(х, 1), и(х, 0) =О. В четвертьплоскости 0(х< оо, 1>0: 604. ит=аеи„„, и(0, Е) )е(1), и(х, 0)=0. 606. ит=аеи„„, и„(0,1)=т(1), и(х, 0)=0. 808. ит = аеи„„+ ( (х, 1), и (О, 1) = и (х, 0) = О. В пол уп растра ястве — со (х, у( оо, 1) 0: 607.
и, = а' (ихх+ 'и,„), и (х, у, 0) = ф (х, у). 606. ит=а'(и„„+и „)+~(х, у 1), и(х, у, 0)=0. В части пространства — со < х < оо, 0<у< оо, 1)0: 609. и,=а'(и„„+и„„), и(х, О, 1)=0, и(х, у, 0)=1(х, у). 610. и,=а'(и„„+и,„), и(х, О, Г) 1(х, 1), и(х, у, 0)=0. 611. и,=а'(и„„+и„„), ие(х, О, Е) =О, и(х, у, 0)=1(х, у). Пользуясь интегральным преобразованием Лапласа, решить следующие задачи: 612.
ие —— и„„+а'и+1'(х), и(0, у)=и„(0, у) =О, 0(х(оо, 0(у(оо. 613. ив — — и„„+и+Весах, и(0, у)=Ае-™, и„(0, у)=0. 0<х.<оо, 0<у<со. 614. Начальная температура (при 1=0) тонкого однородного стержня равна нулю. Определить температуру и (х, г) в стержне при 1>0, когда: а) стержень имеет конечную длину (О <х < 1) и и(+0,1)=б(Е), и(1 — 0,1)=0; б) стержень полубесконечен (О < х < оо) и и (О, 1) = б (1), и (оо, 1) =,0; в) стержень полубесконечен (О < х < оо) и и (О, К) = )е (1), и (оо, 1) = 0; б(Ю) — б-функция Дирака, а р(1) — заданная функция; 100 616. Начиная с момента 1=0, к концу (х = О) полубесконеч- ной изолированной электрической линии подключена э.д.с. Е (1). Найти напряжение и(х, 1) для 1) 0 в линии, если начальное напряжение и начальный ток в ней равны нулю, для случаев, когда: а) линия без потерь: Я вЂ” 6=0; б) линия без «искажениям )«С=16.
616. ии — а'и„„=О, 0<х<оо, 0<1< оо, и„(0, 1) — Ьи(0, 1) =~р(1), и(оо, 1) =О, 0 <1< оо, и (х, 0) = и, (х, О) = О, 0 < х < оо. Пользуясь интегральным преобразованием Ханкеля, решить задачи: 617. Найти стационарное распределение температуры в полупространстве 0<г< оо, 0<у<2п, г)0 для случаев, когда: а) температура границы (я=О) равна 7(г); б) температура границы (я=О) при г <)( равна Т, а при г) Р равна 0; в) полупространство нагревается тепловым потоком постоянной плотности е), падающим на часть границы г<)с, я=О, 0< ~р < 2п.
При этом на всей границе происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру. $ 4. Метод конечных разностей Считая переменные х, у декартовымн ортогональными координатами точки на плоскости, покроем зту плоскость сетью х=шЛ, у=лИ, т, л =О, ш 1, ..., где Л вЂ заданн положительное число. Вершины каждого квадрата полученной сети называкпся узлами, а число И вЂ шаг. В наждом узле (х, у) при условии, что все шесть точек (х, у), (х — Л, у), (х+И, у), (х, у — И), (х, у+И), (х+Л, у+И) принадлежат области В задания функции и(х, у) класса Оз>(2)), можно считать, что и (х, у) — и (х — Л, у) и (х, у) — и (х, у — Л) И ' из ге ' И и(х+Л, у)+и(х — Л, у) — 2и(х, у) Лз (57) и(х+И, у+Л) — и(х+Л, у) — и(х, у+И)+и(х, у) ихп гл Из и(х, у+Л)+и(х, у — Л) — 2и(х, у) изз- Из Исходя из формул (57), заданное в области Р уравнение с частными про- .
изводными а (х, у) ихх+2И (х, у) и„„+с (х, у) изя+ б (х, у) их+ + е (х, У) их+1 (х, У) и = У (х, У) 1К ' в каждом узле (х, у) приближенно можно заменить равенством и (х, у) [и (х+ И, у) + и (х — И, у) — 2и (х, уЦ+ + 2Ь (х, у) [и (х+ И, у+ И) — и (х + И, у) — и (х, у+ И) + и (х, уЦ + +с(х, у) [и(х, у-[-И)-(-и(х,'у — И) — 2и(х, уЦ-[- +)и((х, у) [и (х, у) — и (х — И, уЦ+Ие (х„у) [и (х, у) — и (х, у — ИЦ+ +Иэ) (х, у) и (х, у)=Иву(х, у).
(58) Когда точка (х, у) пробегает узлы, принадлежащие области О, в качестве (58) мы будем иметь систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функции и(х, у) в указанных узлах. Некоторые из этих значений либо прямо определяются независимо от системы (58), исходя нз начальных и краевых условий, либо эти последние порождают дополнительные к (58) линейные алгебраические уравнения, составляющие вместе с системой (58) приближенную сеточную замену всей исходной задачи.
Решение таким образом полученной системы линейных алгебраических уравнений принимается за приближенное решение рассматриваемой задачи. Например, при конечноразностной замене задачи Дирихле для гармонических функций краевые условия учитываются следующим образом. Обозначим через Оэ совокупность всех лежащих в области О квадратов сети, по крайней мере одна из вершин которых удалена от границы Я области О на расстояние не большее, чем наперед заданное число 5 > И, где И вЂ” шаг сети. В каждом узле (х, у), являющемся вершиной квадрата из Оз, за и(х, у) примем заданное на 5 значение ы(х, у) искомой гармонической функции в ближайшей от (х, у) точке границы 5.
Когда таких точек на 8 несколько, то произвольно выбираем одно какое-либо из заданных значений функции ~р в этих точках и к нему приравниваем и (х, у). 618. Найти конечноразностную замену уравнения Лапласа и„„+и„„=О в области [) с границей Я. 619. В круге х*+ у' < 16 найти приближериое решение задачи Дирихле и„„+и„= О, (х, у) ~ (х*+ у' < 16), и (х, у) = ф (х, у), (х, у) Е (ха+ уз = 16), считая [т=[, б=)с+1!8 отдельно для каждого из случаев: а) ф(х, у)=0; б) ~р(х, у)= 1; в) ш (х, у) = х. Сравнить полученные приближенные решения задач с их точными решениями, которые легко находятся непосредственно.
620. В прямоугольнике Я с вершинами в точках А( — 3,4), В(3, 4), С(3, — 4), В( — 3, — 4) и границей В найти приближенное решение задачи Дирихле и„„+и„„=О, (х, у) Е Д, и(х, у)=Ч(х, у), (х, у)ЕЗ, 102 считая й = 1, 6 =)с+ 1/8. Отдельно рассмотреть случаи, когда: а) гр (х, у) = 1; б) гр(х, у) = у; в) <р (х, у) = х + у. Сравнить найденные приближенные решения с точными решениями этих задач. Пусть Π— область плоскости х, С ограниченная отрезками ОА и МФ прямых Г=О, г=)г', О > 0 и гладкими кривыми ОМ и АУ, каждая из ко-.
торых пересекается с прямыми Г=сопы не более Чем в одной точке. Обозна. чим через 5 часть границы области О, состоящую нз ОМ, ОА и АУ. Предположим, требуется решить приближенно первую краевую задачу для уравнения теплопроводности их„— из=о, (х, 0~)), (59) и(х, г)=м(х, )), (х, г)~3. (00) Чтобы учесть краевое условие (60), обозначим через Ои совокупность всех квадратов сети, не выходящих из замннутой области О, а через до» вЂ” гра- »" О». Пусть о» вЂ” совокупность квадратов из О», по крайней мере одна вершина которых лежит на до», кроме внутренних квадратов самого верхнего ряда, примыкающего к верхнему основанию области О. В узлах (х, О, являющихся вершинами квадратов из о», за и(х, 0 примем значение ~р (х, г) в ближайшей к этому узлу точке границы о.
Неизвестные значения и(х, г) в остальных узлах, лежащих в О, находим, решая линейную алгебраическую систему, полученную в результате конечноразностной замены уравнения (59). 621. Найти конечноразностную замену уравнения теплопроводности 脄— и,=О в области, где ищется решение первой краевой задачи (56), (60), 622. Считая )г=1, в прямоугольнике Я с вершинами в' точках А(0, 0), В(0, 5), С(4, 5), Р(4, 0) и границей 5 найти приближенное решение первой краевой задачи 脄— и, = О, (х, 1) Е 9, и(х, г)=<р(х, 1), (х, 1)ЕВ, если гр(х, 0)=х, <р(0, 1)=0, <р(4, 1)=4. 623. В прямоугольнике Я с вершинами в точках А(0, 0), В(0, 3), С(5, 3), Р(5, 0) найти приближенное решение задачи и„х — из=О, и(0, г)=1, и(5, 1)=1+25/2, и(х, 0)=хз/2, считая )а=1.
Сравнить найденное приближенное решение этой задачи с ее точным решением и(х, 1) =1+ха/2. 103 624. Считая )ь = 1, найти конечноразностным методом прнблн- женное решение и(х, у) задачи Гурса и„=О, 0<х<со, 0<у<со, и(0, у)=гр(у), 0 <у < оо, и(х, 0) =ф(х), 0 <х < оо, в узлах (2, 2), (2, 3), (2, 4). Отдельно рассмотреть случаи, когда: а) гр(у)=0, ф(х)=х; б) «р(у) = у, чр (х) = 0; в), гр(у)=у, чр(х)=х. В -5. Варнацнонные методы Встречающиеся в приложениях уравнения с частными производными часто представляют собой уравнение Эйлера для соответствующей вариационной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
