1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ди~ 1, дзи г) Ьи= — — !1гз — )+ —,— ~з!п Π— )+ —.' ге дг 1 дг) гза!п Одб ~ дб) гзз!пейджер ' д ~.(/1 — т)' ди1 д Р— Ч' 1 ди + — ~~/ — и 1+ дЧ !. ' Зз — 1 дц 1 дф ~ ЗЧ Рга -Н(! — т(з) дф1~ 1ЗЗ. а) Гармоническая; б) гармоническая; в) гармоническая; г) гармоническая; д) нет; е) гармоническая; ж) нет; з) гармоническая; и) гармоническая, Непосредственные вычисления громоздкие. Следует учесть, что по гармонической функции и=и(хм «з), приняв ее за Кег(г), г=х,+!хз, можно построить функцию о(х,, «,)=!шГ(з) йекоторой аналитической функции г(г)=и+!о. ди дз ди - дз Условия Коши — Римана для нее имеют вид — = —, = — —.
Очевидно, дхз дхз ' охз дхз ' ди .да функция ш(г)= — +! — аналитична н в силу условий Коши — Римана придхг дхз ди . ди нимает вид ш (з) = ††! — . Аналитична также и функция дх, дхз ди ди — +!— ди действительная часть которой "г, гармонична; к) гармониче ( — '.",)'+('".)' окая; л) нет 120 134. а) л= — 3; б) й = — 2; в) й = ~21, при етом сЬ ила =сов 2х;, г) л = х3; д) л=О, й=л — 2 при л > 2. 133. Так как Ь)х)с-л=О прн х ~ О, то до — 2 (~(л-е ! (в (л-ели(в) д ди (В) 2м дхс дхс с=! д' х ! хс где Л=Т~ —, в= —, (х(= —, $1= ' ° Учитывая гармоничность д,',' =! !'' )$!( =!х('' )г-, д., функпии и(в) н равенства ~~' ® =®+~~ (д ) =((1! 1,)+ Ц ~ Р„ с=! с, с с, с )4 4 ! еь (аеас!+4ачса ~Ч~ ~Я (еч )с с=! дВс дВС д$с 41 дйс дР! " с5с д$С .
%ч — — = — (- — 4 %' ~.ю дхс дхс дх, дх, дху дхг лис дхс дхс с=! с=! с,~с с,ь сд -2()$(т — Ф$1$с — 2(!$!' — 2Ц)Щ+4$Д1 2~ $1с с=! с ы.с = — 4$!$с ! $ !3+ 4$1$с Х а = О, с ! получаем д ди !ч) " д ди ($) д$1 дас 2'Р— !1!.— =2 ~ — !3 !.-а .ь ю дхс, дхс .ь ю д~у д$с дхс дхс с=! с, с. с=! =2(С(с~,— ($(л-с — =2( — 2)($(л,~ Ь— д ' дисо) ди (В) с!ОС д$1 д$1 -ч.ч дси($) чч д с' ди до)'! д$с л л =~,'!', [-."., (+)4,—.; (г'( )]= си! л л — [ — 6~!се-,'.чс+х сВьь — 2)с( ьс]= с=! сну с= ! Следовательно, Ьо (х) = О. л 2(2 — л) ! в)а~~Г $1 —. ди 1 ! 1 дв 121 138. Могут.
137. р=х. 138. Функция и=сов х ай у стремится к — оз при удалении точки (х, у) в бесконечность вдоль той части ее линии уровня а!пхс)чу= — 1, касатель. ная к которой в точке ( — и/2, 0) имеет угол наклона к оси х, равный Зп/4.
На этой части линни уровня сбп хе!гу= — 1 координата у убывает.от +со до — ю при убывании координаты х от — и до,О. 139. и,,',=1/2 в точках (!/У 2, !/Р' 2), ( — !/$~ 2, — 1/$~ 2); и„;!а — — — !/2 в точках ( — 1/~ 2, !/$~ 2), (!/$~ 2, — 1/)Г 2). !40. и„„„=4 в точках ( — 2, 0), (2, 0); им1„= — 9 в точках (О, — 3), (О, 3). 141. Пусть в точке хЕ() функция ш(х) имеет относительный отрицатель- и ный минимум. Тогда в втой точке ш =О, 1=1, ..., и, ~~~" ш „Л!Л»~0. !"» и Так как квадратичную форму ~ шх „Л!Л» в точке х можно представить в !»-1 х!'"» э л и внДе ~~~~ ~шх „Л»Л» = ~~~~ (дЫЛз)з, то шх х = ~~~~ ~д/ий/» и, стало быть, Оз=! !' /=! П ч Ьш= ~ шх„= ~", ий)0, что противоречит условию Ьш < О.
Аналогично с, /=! доказывается и вторая часть утверждения. 142. В задаче 139: — = ! в точках максимума (!/ г" 2, 1/)/2), ди ( — 1/$'"2, — 1/ г'2); — = — 1 в точках минимума ( — 1/ г'2, !/ф' 2), дч (!/ г'2, — !/$' 2). В задаче 140; — =4 в точках.
максимума (2, 0), ( — 2, 0); ди — — 6 в точках минимума (О, 3), (О, — 3). дч 143. На внутренней нормали к 5 в точке уз минимума гармонической в области 1) функции и(х) выберем точку х'~ Р так, чтобы замкнутый шар д,: ) х — хч ) ~ ) х' — уз ) имел единственную общую точку уз 1: 3. Пусть замкнутый шар д»: ! х — ре! ~ р < ( х* — рз ) не содержит точку х'. Пересечение замкнутых шаров дг н да обозначим через Ы и введем в рассмотрение функцию т!х~ а~1~ т!» х~! ° где у — пока произвольная положительная поатоянная. В силу принципа экстремума и (х) — и (уз) > 0 всюду в О. Выберем постоянную Л > 0 так, чтобы на границе области д имело место неравенство — Лз (х) ~ и (х) — и (уз). Ввиду того, что Ь (и (х) — и (рэ) + Ло (х)) = 2Лу (и — 2у ( х — х' (з) е т ! " " за счет подбора у всегда можно 'считать, что А(и(х) — и(дэ)+Лз(х)) < О.
Поэтому (см. задачу 141) неравенство и(х) — и(рз) ) — Лз(х) справедливо в замкнутой области д. Отсюда следует, что для производной) и(х) по внешней нормали т к 5 в точке узЕЗ имеет место неравенство — ~ — 2ЛУ ( х* — Уз ) е т 1" У' ~ < О. дт Аналогично доказывается вторая часть утверждения. 144. »р(г) аналитична, поскольку ее действительная У (х, у)= и„ и мнимая у(х, у)= -ии части непрерывны вместе с их первыми производнымн н удовлетворяют условиям Коши †Рима и„— Уз=«„„+«г«=О, ив+У„=« — «„„=О.
145. Действительная и (х, у) и мнимая о(х, у) части аналитической функ. ции ) (г) = и (х, у) «го(х, у) связаны между собой уравненнями Коши — Римана «„— от — — О, «з+«,=О. Позтому выражение Но=ох»(к+сиду= — ин»(к+их»(у является полным дифференциалом, так как («„)х+(«з)з — — Ь«=О. Следова тельно, криволинейный интеграл ~ По= ~ — иг»(а+их»гу от произвольной фиксированной точки (хз, уз) до переменной точки (х, у) в односвязной области 11 не зависит от пути. В качестве пути интегрирования можно брать, например, прямолинейные отрезки, соединяющие точки (хз уз), (х, уз) и (х, уе) (х, у) и лежащие в области 11, илн ступенчатую ломанув с конечным числом звеньев, соединяющую точки (хз, у,), (х. У), В рассматриваемом случае г.
а »»»=* — »»»- (»~»»-(»,— »»»»~~с= хч Ю» = хз — Зхуз+1(Зхзу — уз)+1( — Зхзур+узз+С), где — Зхзуз+уз+С вЂ” произвольная действительная постоянная. з з 146. )(г)=е" Ыпу — »етсозу+1(ет»созуз+С). 147. ) (г) ~з)п хей у+1 сов х зЬ у+1( — соз газ)» уз+С), 148. и(х, у)=хзу — хуз+Су+Сз, где С и Сз — произвольные действитель- ные постоянные, 149. «(х, у, г)=хгехсозу — гуе" айну+аз — х'+»р(х, у), где»р(х, у) — произвольная действительная гармойическая функция.
1ЗО. Гармоническая в области 0' функция и(х, у) аналитична в этой области, т.е. в некоторой окрестности каждой точки (хм уз)ЕР она разла- гается в ряд по степеням х — хч и у — у,. Поэтому можно считать, что функция и(х, у) аналитически продолжается для комплексных значений х и у.
Для дейстантельнык х, у имеем )(г)=«(х, у)+Ь(х, у), 1(г)=и(х, у) — (о(х, у), т, е. 1 (г) = 2« (х, .У) — 1 (г) . Если в атом равенстве считать х и у комплексными, величины г=х+(у, г+г г — г г=х — (у уже не будут сопряженными и, так как х= — —, у = —, ° то 2 ' 21 / г+г г — гЛ 1(г)=2« ~ —, —,) — 1(г), 2 ' 21 ) откуда при г= ге получаем формулу Гурса » гтгз г гад /(г)=2«( —, — ) — и(хз, уо)+(С> где С= 1шу(зе) — произвольная действительная постоянная.
Требуемое равенство получается, когда ге — -О. 16!. (146): 1(з)=хе+!С; (!46): 7(з)=-и«+!(1+С); (147): /(з)«« =з!п г+ !С. !62. Так как «-1 Ю г хза За+1 Е „=Е- и = ч ( —.1)з [ —" аз+ге+ «Ьз+1т (26+ !)! с= ! з=о Ю Г » за-3 за-1 и =~~ ( — 1)а [ Ьвк+ — дат~= «««„~ 1 ~ (26 — 2)! (2й — !)! З=1 (' »'з За+1 ! (2Д)! (2»+1)! 'Г ( 1)з( " Дз+,( а о то Ьн О.
163. В результате замены уз = ха/'гг~ аз !, й = 1,, и, получаем « « ~ч~~~ ази = ш '~~,' о„„= О, откуда следует, что и (х1, ..., х„) = 'з*з, зззз =о(хд угта1 ~, .... х«/3~) а„!). 164. Справедливость утверждения следует из того, что з результате замены искомой функции и=аз«+ "зо(х, у) рассматриваемое уравнение переходит в уравнение до=О. 166.
При х ~ у имеем Е = — )х — у)- — л(х — у)-«-з(х! — у!)з, 1=1...„п. «Г«1 Следовательно, « и!»' У( "— л(» — у) " з ~~~' (х! — Уг)з«« — л)х у)-«п(х у)-« 1=! 166. Поскольку Е(х, у) является функцией только расстояния )х — у !=1, то, польауясь записью уравнения Лапласа в сферических координатах с началом в точке х=у, находим, что при г ~ О Е(г) является решением обыкновенного дифференциального уравнения — ~г«-1 — ) =О, т. е. Е=С(г«-з+ +С1 при п > 2 н Е=С !ойг+С1 при о=2, где С и С,— произвольные постоянные. д 1 167. р(М«) — . По определению диполя для его потенциала вдч )М вЂ” Ма! точке М ~ М", М", Ме имеем !!т ,...,',(М ~(-(~ М()«« 1 ( 1 1 = р (Ме) 1!т !ы ы"! о !М' — М" ( ! )М" — М( )М' — М! ) д 1 = 1" ( з) дт ( М вЂ” Мз ) 124 166.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
