1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2'. Асимптотические разложения Еа (г) а=ох где аа — заданные числа. Если для любого фиксированного л имеет место равенство [пп г" [1 (г) — Еа (г)[ = О, г ЕЕ, г ~Ф (43) то говорят, что ряд пе+ — „'+" +ф+" (44) В приложениях весьма важно иметь точное, в определенном смысле, представление о поведении функции вблизи интересующих исследователя точек (например, о поведении специальных функций вблизи их особых точек). С втой целью используются так называемые асимпщотлческие рлзлолсения функций.
Обозначим через Е множество точек плоскости иомплексного переменного г, для которого бесконечно удаленная точка является 'предельной точкой. Пусть на Е задана функцяя 1(г). Рассмотрим конечную сумму независимо от того, сгодятся он иля нет, является асимлглотичесним размь жснизм функции 1(г) на Е, н пишут ОО 1(г)- а=о '" Имея точное представление о функции 37(г), с помощью (43) получаем важные сведения о поведении функции г(г) на множестве Е вблизи бесконечно удаленной точки.
Из.равенства (43) для определения коэффициентов асимптотического разложения (44) получаются формулы аз= "'п 1(г) 7-7 О а„= 1!ш г" (! (г) — 5„, (г)), л = 1, 2, ... 580. На множестве Е=(0 < г ( оо) найти асимптотическое разложение функции е-*. 581. Показать на примерах, что один и тот же ряд может служить асимптотическим разложением для различных функций. Пользуясь интегрированием по частям, показать справедливость асимптотических разложений: ОО \О 2а+'газе" Е = (О < г < оо), г- оо, ОО 17(! 1 1 583.
1 е* ' — — + — г(7< 7 Е= (О < г <со), г — оо. ОО ОО 584. ~ + Й о З=1 г — оо, ~агдг~<п — 6 < гг. ОО ОО 585. ~ е-1!7-' Й - ез ь .4 7 Г(а — й+!) ' 7 З=1 0 < г < оо, г — + оо, а — действительное число. ОО Ю 586. ~! Ое!!г(! — ~~7' ( + ) 7 Г (а) (!г)з з=о 0<г<оо, г — +оо, а)0. 587. Основываясь на результате задачи 582, получить асимптотическое разложение функции ошибок О ОО 7 ' г™ = е'г(т-е * ~ч 3, 0<г<~, г + у — „~ „(з „) г 93 588, Отделяя действительную н мнимую части и результате задачи 588, найти аснмптотическне разложения при,б- -(-оо для интегралов Френеля: Ю о а) ) созйзМ; б) ) з(п8зИ.
С помощью интегрирования по частям получить асимцтоти- ческие разложения для следующих функций: 589, Е((г) = ) — с(3 †интегральн показательная функция, =3~ — оо<г<О, г — — оо. 599. С((г)=) — д$ — интегральный косинус, Гсов 5 О ( г ( оо, г - со. з 591. 81 (г) =) — г($ — интегральный синус,  — оо(г(оо, (г! — оо. С целью получения асимптотических разложеиий для отдельных классов функций чаще всего палье)ются методом перевала и методом Вавсона.
Ниже приводится основное содержание метода Ватсона. Пусть на сегменте 0 ~ г ~ зГ, О < Ф ~ ео, 'задана непрерывная функция Ф(г). Функция Р(з), представленная интегралом, м Р(г)=~ г ф(Ое"зг"Ш, сс > О, т > — 1, о является аналитической. Если на некотором сегменте ОеК)~ад~дГ функция Ч(Г) является суммой степенного ряда, т. е. о (О = ~ сзтз, се Ф О, з=о и для фиксированного значения з=г, > 0 имеет место оценка Гм(~р()) ) е-*На сЦ < Д( = сопз(, о то на множестве Е=(0 < з < со) при з — ео асимптотическое разложение функции Р(з) дается формулой я+И.1 .
(45) па т а где Г-гамма функция Эйлера. 94 Для получения асинптотического разложения функции Ф ! — лп Р(е)= ~ ~р(!)е з й, А=соне!)О, л при условии, что о(!)= ~ч)' ,с«!«, с, ~ О, О~(~а~!п(п(А, )у), «=о достаточно представить Р(2з) в виде и л Р (2з) = $ !р (!) е-л!» й! -1- ~ !р ( — !) е" л!' й! о о и по.чьзоваться формулой Ватсона 3»+1 й=о й=о 2й Пользуясь методом Ватсона, показать справедливость сле- дующих асимптотических разложений: 592. е * — '>' ( — 1)» —, Г ! й! . (2пй)! з» «=о 0 < ( < оо, 0 ( г < оо, г — оо, и > 0 (целое число).
! 595. ~( 'е л«а »Р У о 0<(<1, 0<г<оо, г- оо, Р>0. 594. ') з(п(е '! с(1 О, А >О, Л(>0, -А 0(г<оо, г — оо. з м зй+ ! 595. ) соз(е ' с(( )Г2п~Ч~~ ( — 1)" ' "', г -! «=о †!<(<2, 0<г<оо, г- оо. 596. При г - оо, О ( г < оо, найти асимптотическое разло- жение функции Ф Р (г) ) е-л ! о 597. Показать, что л е ' ~е! д$ = —,[1+о(1)~ при г- оо. о 95 й 3. Метод интегральных преобразований По определению функция ь Р(г)=$К(г, Г)/(Г)бГ а называется интегральным преобразованием (образом) функции /(Г), причем /(г) называется оригиналом своего образа Р(г), а функции к(г„1) — ядром интегрального преобразования.
Интегральное преобразование над некоторым классом функций /(г) определяется выбором ядра к(г,' 1) и промежутка интегрирования (а, о). Пусть заданная действятельная или комплексная функция /(г) действительного переменного Г, О~ 1 < со, удовлетворяет условиям: 1) /(г) — непрерывная всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода; 2) существуют постоянные М > О и $г > О такие, что 1/(г)) < мгггг для всех В зтих предположениях интеграл ОР Ра=~ ~г/(Г)б/ о существует для всех Ь с действительной частью ЯеЬ >$в и представляет собой аналитичесиую функцию комплексного переменного Ь=В+гг) в полу- плоскости йе~ > гьв.
Функция Р(Ь) называется преобразованием Лапласа функции /(Г), а сама /Я вЂ” функцией-оригиналом. При определенных условиях оригинал /(Г) по известному образу РЯ определяется с помощью обратного преобразования Лапласа; /(Г)= — ) г(г+гпг~Р(а+(г)) бг), 2п и (46) Р (т)) == в '" г/ (1) б/. Г 2п,) (47) Для существования преобразования Фурье в случае выполнения условия 1) достаточяа абсолютная сходнмость интеграла $ /(г)бг. Ф где постоянная а > йв.
Когда функция /(г) определена для всех действительных значений г, вводится преобразование Фурье Обрашрнив преобразования Фурье (47) дается формулой 1(Г)= вч Р(Ч)бЧ ПО (48) Заметим, что если 1(1)-четкая функция, то преобразования Фурье (47) и (48) переходят. во взаимно обратные так называемые косинус.преобразования Фурье н Р (Ч) = )/ — ~ соз ЧГ !(1) бг, о н 1(г)= ~ — ~ созЧ)Р(Ч)бЧ, /2 ( о а есле 7(1) нечетна, то соответственно — в синус-преобразования фурье ОР Р (т1) = ~ — ) з1п ЧЬ1(1) Й, /2 ( о н 7(1)= у — ), з(пЧ1 р(Ч)бЧ. /2 à — У и.) о Среди других интегральных преобразований отметим преобразования Хан. явля (или Фурье — Бесселя): е п Р Я м о е: Оп (Ч) = $ 1/и (Чг) У (1) бт, о об Ратное: У(1)= $ Чу„(Ч() Цп(Ч)бЧ о и преобразование Мгллина: прямое: О(г)=$ (в 'б(1)й, Вег=Ь, о ьвьн обратное: у(1) —.
~ г-вб(г)бг, 1>О. 1 2яй ь-гн а(х)и „+ь(х) игг+с(х) их+И(х) ив+в(х) и=О, и(х, 0)=юр(х), иг(х,0)='ф(х), и(0, 1)=7„(1), и(1, 1)=)в(Г). (49) 4 А. В. Баевдве, Д. Ф. Кеаавачеаао 97 Интегральные преобразования позволяют получить решения ряда задач математической физики. В качестве примера, пользуясь интегральным преобразованием Лапласа, определим в полуполосе 1 > О, 0 < х < 1 решение и(х, Д смешанной задачи: Пусть параметр 9 и класс функций, в котором ищется решение и (х, Г) этой задачи, таковы, что существуют интегралы Ю о(х, Д=~ е (Хи(х, 1)бт, о (50) и и Рт (Ь) = ) е ь~и (О, С) б(, Рэ Я) = $ е ~'и (1, Г) И о о и законны операции о.
(х, ь)= ~ с -г'и„(х, Г)аГ, о (х Ь)=~а г'их (х, Г)бт, о $е й иг(х, Г)й=а ь'и(х, Г) ~ +~ ') е Г и(х, М)бх=эо(х, () — и(х, О), (51) о о Таким образом, решение смешанной задачи (49) редуцировано к отысканию решения и(х, ь) (зависящего от параметра ь) краевой задачи (52), (53) для обыкновенного дифференциального уравнения (52). Построив решение о(х, ь) задачи (52), (53), искомое решение задачи (49) можно получить при гюмощи обратного преобразования Лапласа Ф и(х, Г)= — 1 о(х, а+(т))е1а+1ч)'ат), а > фз. 2и,) е В приложениях при решения конкретных задач для уравнений с частными проязводными предпочитают пользоваться преобразованием Фурье, ибо выполнение условий, гарантирующих существование обратного преобразования фурье, во многих случаях является естественным.
При этом весьма полезную роль играет понятие свертки. саершход г е ф функций 1(х) я р (х), заданных в интервале -оь < х < со, называется интеграл ~ 1(Г)~р(х — Г)бГ, т. е. Хер= 1 1(Г)Ч>(х — Г)а1. (54) 98 $Е ьГитт(Х, Г)аГ=~ЗО(Х, Ь) — Эи(Х, 0) — ис (Х, 0). о Умножая обе части уравнения и два последних условия задачи (49) на е йг и интегрируя по промежутку (О, оэ) изменения 1, в силу (49), (50) и (51) получаем задачу а (х) о„„+с (х) о„+ [е(х)+ Ьа (х)+ ЬаЬ (хЦ о= = ЬЬ (х) <р (х)+Ь (х) 1р (х)+д (х) <р (х), (52) о(О, В)=Р,(5), о(1, ~)=Рз(5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
