1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 14
Текст из файла (страница 14)
)» < ..., !!ш к»= со, »-ьт а система линейно независимых собственных функций Хс(х), Хз (х), ... полной. Ниже речь будет идти именно о таких случаях, Обозначим через Т»(С) соответствующее к=к» общее решение обыкновенного дифференциального уравнения (8) при и(С) > 0: ТС»(С) = и» Т»! (С) + р»Т»з (С), (12) где а», [)» — произвольные действительные постоянные, а т»,(с) и т» (с)— решения уравнения (8), удовлетворяющие условиям Т„(О) = 1, Т'„(0) =О, Т», (О) =О.
Т'„(О) = !. (13) При а (1) на О, 5 (1) > 0 общее решение Т» (х) уравнения (8) берется в виде Т» (!) = и»Т»д (1), (12') где (13') Т (О) = 1. Очевидно, что функция и(х, 1) вида и(х, 1)= ~~' Т»(1) Х»(х) »=! (14) в случае равномерной сходнмости ряда в правой части этого равенства и рядов, полученных из него почленным дифференцированием нужное число раз, является решением уравнения (!), удовлетворяющим краевому условию (2). Потребовав, чтобы представленная формулой (14) функция и (х, 1) удовлетворяла и начальным условиям (3) или (4), получаем ~»', дд»Х» (х) =др (х), ~~~ [3»Х» (х) =ф(х) »=! »=! илн соответственно а» Х» (х) = ф» (х) . »=! (15") Когда система собственных функций (11) является полной н ортонормированной для определения коэффициентов а», [)», ц», из (!5) и (!5") имеем а» = ~ др (х) Х» (х) дтх, 5»= ~ др»Х» (х) бтх (16) а а е»= ) ф (х) Х» (х) ~тх () 6") а Подставляя найденные значения а», [)», а» из (!6) и (!6') в (12) и (12') соответственно, находим Т»(1).
Следовательно, формула (14) дает решение сформулированной выше смешанной задачи. При л=! уравнение (9) представляет собой линейное обыкновенное дифференцнрльное уравнение А (х) Х"+! В (х) Х' + [С (х) + Ц Х = 0„ А (х) =А,д (хд), хд=х, область 11 совпадает с полуполосой 0 <'х <1, 1 > 0 и краевое условие (10) записывается в виде адХ'(0)+Ь,Х(0)=0, а,Х'(1)+Ь»Х(1)=0, (18) где аю Ь», »=1, 2,— постоянные, ибо в этом случае краевое условие (2) имеет вид ади,(0, 1)+Ь,и(0, 1)=0, а,и„(1, 1)+Ь,и(1, 1)~0.
(!9) (17) 75 Спектральная задача (17), (18) носит название задачи Штурма — Лирэилля (или, короче, задачи Ш вЂ” Л). Исследование задачи Ш вЂ” Л (!7), (!8) в общем случае затруднительно. Оно сильно осложняется, когда в отдельных точкак интервала изменения переменного х коэффициент А (х) равен нулю.
В атом случае становится необходимым ввести в рассмотрение специальные функции. Когда а=! и козффицненты уравнения (1) постоянные, решение задачи Ш вЂ” Л (!7), (18) строится явно. Так, например, в случае уравнения колебаний струны 1 и„л — — у и!с= О, а= сопя(, а В зтих же предположениях в случае уравнения теплопроводности а 脄— и!=О 3 собственными функциями являю(ся опять Ха(х)=з!и Ьх, 2=1, 2, ..., а Т (С)=аае "'С, поскольку в рассматриваемом случае уравнение (8) имеет вид Т'+аздзТ=Ос Метод разделения переменных позволяет строить решения смешанных задач и в тех случаях, когда уравнение и краевые условия являются неодно.
родными. Ограничимся рассмотрением смешанной задачи 1 — — =Пх, С). аз атил(0, С)+Ьти(0, С)=р(С), ааих(1 С)+Ь*и(С, С)=т(С), аа+ Ьа ~ О, Ь = 1, 2, и (х, 0) = ~р (х), иг (х, 0) = ф (х), (22) (21) Прежде всего заметим, что при некоторых дополнительных предположениях относительно а„Ьм аз, Ьз постоянные ум уз, у,, бм бю бз можно подобрать так, чтобы в результате замены искомой функция и(х, С)=и(х, С)+ш(х, С), где га(х, С)=(у,х'+Тех+уз) р(С)+(б,х'+б,х-(-бз) т(С), задача (20), (2!), (22) будет редуцнрована к смешанной задаче для уравнения 1 о„— зосс=г" (х, С) (М') уравнения (8) н (17) имеют еид Т'(С)+аз).Т=О, (8') Х" (х)+АХ(х)=0, 0< х<1.
(17') Ради простоты рассухсдения будем считать, что в краевых условиях (18) аз=аз=О, Ьс=Ьз 1, 1=и, т. е. Х(0)=0, Х(п)=0. (18') Спектр задачи (17'), (!8') совпадает с последовательностью натуральных чисел, а система линейно независимых собственных функций Ха(х)=з!пйх, 2= 1, 2, ..., является полной в интервале (О, и). Решение же Та(С) уравнения (8'), соотеетствуюжее й=дз, дастся формулой Ть (С) = аа соз аЬС+ ба юп аЬС. с однороднымн краевыми условнямн лгох(0, Г)+Ь,о(0, Г)=0, а,о„(1, 1)+Ь о(1, Г)=0 (21') и начальными условиями о(х, 0)=~рг(х), и!(х, 0)=фг(х), где Р( г) — /(х г) + 1 а! (22') !р! (х) = ф (х) — ш (х, О), ф,(х) = ф (х) †в!(х, О).
Предположим, что существует полная ортонормнрованная система линейно независимых собственных функций Х»(х), »=1, 2, ..., задачи Ш вЂ” Ри Х" +лХ =О, (23) агХ'(О)+ЬгХ(0)=0, азХ'(1)+Ь,Х(1)=0. (24) Представляя функции Р(х, 1), !р! (х) и фд(х) в виде сумм рядов <В Р(х, 1)= '~~~~ ~с»(!) Х»(х), (25) »=! !р, (х) = ~ч~~ ~б»Х» (х), ф, (х) ~, "е»Х» (х), (26) »=! »=! будем искать решение задачи (20'), (21'), (22') в виде О о (х, Г) = ,'У, 'Т, (Г) Х» (х).
»=! (27) Р (х, Г), !рг(х), фд(х) и о (х, Г) из (25), (26) н'(27) (22'), получаем ! — — з Т» (!) Х» (х)~ =~хм, с» (Г) Х» (х), (28) »=! Ф О г(»Х» (х), ~~' Т»(0) Х»(х) = ~~~~~ е»Х» (х). (29) »=1 »=! Подставляя выражения в уравнение (20') и условия Ф ,'~'„~т» (г) х,.(х) »=1 Ф О Т» (О) Х»(х) = ~ »=! »=! На основании (23) перепишем равенство (28) в виде 0 О> ~~', (т» (г) + азл»т» (г)) х» (х) = — а! ч~~~ с» (1) х» (х). »=1 »=! (28") решение которой строится в квадратурах. Подставляя найденные значения Т»(х) в правую часть (27), при соблюдении условий, налагаемых на функции Р, ф! и ф,, обеспечивающих равномерную сходимость ряда ~ Т» (1) Х» (х) и рядов, полученных из него почленным »=! 77 В силу линейной независимости системы Х»(х), »=1, 2, ...„из (28') и (29) для определения функций т» (г) получаем задачу т»(г)+азл»т» (г) = — азс» (г), Тг, (О) =г(», Т» (О) =е», дифференцированием достаточное число раз, получаем решение задачи (20'), (21'), (22').
Когда правая часть уравнения (20) является фунхцией лишь перемен. ной х, т. е. 1(х, 1) — = 1(х) и в краевых условиях (21) правые части р=рз, т=тз постоянны, причем а,Ь,— а,Ь,— Ьзьз( и О, (30) в результате замены искомой функции а(х, 1)=о(х, 1)+в(х), где и" (х) =1(х), азв' (О) + Ь,оо (О) = рз, ахи' (1) + Ьзи (1) с из, (31) задача (20), (21), (22) редуцируется к смешанной задаче для однородного уравнения 1 окк отг =0 аз с однородными краевыми условиями ахок(0, !)-;'Ь,о(0, 1)=0, азо„(1, 1)+Ьзо(1, 1)=0 и с начальными условиямн о (х, О)= в (х) — в (х), от(х, 0) = ф (к). Задача же (31) при соблюдении условия (30) всегда имеет решение. Методом разделения переменных пользуются также и при построении решений определенных классов уравнений эллиптического типа. 1'.
Задачи для волнового уравнения 458. Построить набор решений и(х, 1) уравнения колебаний струны и„„=и„в виде и(х, 1)=о(х)го(1). 459. В полуполосе а < х < Ь, 1 ) 0 построить решение краевой задачи и„„=ивы и(а, 1)=и(Ь, 1)=0. Единственно ли ее решение? 460. В полуполосе 0 <х< и, 1>0 решить задачу и„к=мам и(0, 1)=и(п, 1)=О, и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=ф(х), где ф(х), ф(0)=ф(я)=0, ф" (О) = ф" (и)=0 и ф(х), ф(0) = = ф(п) = О,— достаточно гладкие функции (основная смешанная задача).
461. Обладает ли свойством единственности решение задачи 460г 462. В полосе 0<х<п, — оо <1< оп найти собственные колебания (гармоники),'соответствующие краевой задаче и„,=ивы и(0, 1) и„(п, С)=0. В полуп9лосе 0 < х < 1, 1 > 0 для уравнения и„= а'и„„ решить смешанные задачи со следующими условиями: 463. и(0, 1)=и(1, 1)=О, и(х, 0)=0; и,(х, 0)=в!п — х.
464. и(0, 1)=и(1, 1)=О, и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=»)»(х). 465. и(0, 1)=и„(1, 1)=0, 5я и и(х, 0) =в!и 21 х' и»(х, 0)=сов з! х 466. и(0, 1) =и„(1, 1) =О, »»' . Зя и (х, 0) = х, и, (х, 0) = в!и —., х + в(п — х. 487. и„(0, 1)=и(1, 1)=0, »» Зя зя и (х, 0) = сов †, х, и,(х, 0) = сов — х + сов †, х. 488. и„(0, 1)=и(1, 1)=0, и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=»!»(х). 469. и„(0, 1)=и„(1, 1)=0, и(х, 0)=х, и,(х, 0)= !. 470.
и„(0, 1)=и„(1, 1)=0, и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=»р(х). 47!. и(0, 1)=и„(1, 1)+Ьи(1, 1)=0, и (х, 0) = ф (х), и,(х, 0) = »(»(х), Ь > О. 472. и„(0, 1)=и„(1, 1)+Ьи(1, 1)=О, и(х, 0)=0, и,(х, 0)=1, Ь>0. 473. и„(0, 1) — Ьи(0, 1) = и„(1, 1) =О, и (х, 0) = ф (х), и,(х, 0) = »Р (х), Ь > О. 474.
и„(0, 1) — Ьи(0, 1) =и„(1, 1)+Ьи(1, 1) =О, и (х, 0) ф (х), и,(х, 0) = »р (х), Ь > О. В полуполосе 0 < х < 1, 1 > 0 решить смешанные задачи: 475. им=а-'и„„+1(х), и(0, 1) =а, и(1, 1) =р, и (х, 0) = и, (х, 0) = 0.. 476. ии — — а'и,„+7'(х), и„(0, 1)=а, и„(1, 1)=(), и (х, 0) = ф (х), и, (х, 0) = ~» (х). 477. им=а'и..+1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
