1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 16
Текст из файла (страница 16)
536. Пользуясь формулой соваЬ вЂ” сов "Ь вЂ” ( ) сов" 'Ьвш'Ь+..., проверить, что' функция Чебышева ! «« «« Т„(х) = — [(х+1)/Т вЂ” х') +(х — «1/1 — х') ) представляет собой полипом степени и. 537. Построить полиномы Чебышева Т, (х), Т! (х), Т,(х), Т, (х) 538. Доказать ортогональность полиномов Чебышева с ве- сом в интервале ( — 1, 1), т. е. что ! 1/ ! — к' ! () «(х=О, азы. г' ! -х! — 1 86 532. Пользуясь результатом задачи 531, показать, что корни уравнения 1„(х) = О, а = О, 1, ..., могут быть только действи- тельными и, кроме того, уравнения 1„(х)=0 и 1 (х)=0, п, т = О, 1, ..., и Фт, не могут иметь общих корней, отличных от нуля (при а ) О, т > 0).
533. Показать, что функции и„(г, Ь)=1„(рг) сов аЬ, и„(г, Ь)=1„(рг)в1пиЬ, и=О, 1,..., где 1„(х) — бесселева функция с чисто мнимым аргументом, т. е. 1„(х)=! "Х„(1х), удовлетворяют уравнению би — 1««и = О, х'+ у' = г', х = г сов Ь, у = г в)п Ь. 534. Определяя бесселеву функцию 1„(х) для любого ин- декса а'как сумму ряда СО х««+ «ь ««( ) х «( ) в««+«««!«! г(а+!«+!1 « 539.
Вычислить норму ! -! полннома Чебышева Т„(х). 540. Показать, что функции Дл Ь„(х) = — „, е" — „,„(х"е- "), п=0,1,..., являются решениями уравнения Лагерра хе" + (1 — х) о'+ по = О. 541. Вычислить коэффициенты полиномов Лагерра 7.,(х), 1.!(х), 7.|(х), 1,,(х). 542. Показать, что ')е "Е„(х)1. (х)ох=О, пульт. О 543. Показать, что (Ю 1Е„~~'= ~ е "Е„'(х) Йх 1. о 544.
Пользуясь формулами, галл пт (х у г) ~~~ ( 1)л йа (хссут-а) х 0 и>О гипэ1 о~~+а+~ (х~ у г) = ~Х~ ( 1) (2п ! !)! о (х у ) 1)=0 !и 1 лЬО вт найти все линейно независимые шаровые функции степени 3, зависящие от переменных х, у, г. 545. Исходя из формулы н из результатов задачи 544, найти сферические функции Лапласа );» (<р, О), й = О, ..., 6. 546. Показать (выборочно), что сферические функции Лапласа )'~~(~р, 6) (например, ),") удовлетворяют уравнению 1 д2Г 1 д Г . дУ1 — — -(- —.— ~з!и 6 — )+121'=-О.
апэв д~р~ Мод дв ~ дв) 547. Проверить, что выражения Р!(1) =1, 1~!(!)= ~11оя —,! — 1 1 !+1 являются функциями Лежандра первого и.второго рода соответственно, т. е. решениями уравнения Лежандра (1 — Р) и — 21о'+ т (т + 1) и = О (3ЕР при т=1. 545. Непосредственной проверкой убедиться в том, что выражения Р,'(1) =)~~:1, Щ(1)=-,')/т:11я ',+', +=' г — 1 ~ — С ' — 1<1<1, являются присоединенными функциями Лежандра, т. е.
решениями уравнения (1 — Р) и — 2(о' + ~т (т+ 1) — — ", ~ д = О, (37) при и=1, и=1. 549. Показать, что функции нлВ Р„(1)= —,— „~ (Р— 1), а=1, 2, ..., представляют собой полиномы Лежандра, т. е. решения уравнения (36). 550. Для полиномов Лежандра показать справедливость рекуррентных соотношений (п+1) Р„+г(1) — (2п+!) 1Р„Я+пР„г(1) =О, Р (1) 1Р„(1) Р„(1)1 551. Доказать, что при гп=О, 1, ... функции Р.(1)=~'... „° .
° [(1 — 1Р+( — Ц (1+1)Ч (33) а=о ~~ представляют собой полиномы Лежандра. 552. Пользуясь выражением для Р„(1) из задачи 549, проверить ортогональность полиномов Лежандра, т, е. справедливость равенства ~ Р (1)Р„(1)Й=О, тчьп. -1 553. Проверить, что для нормы Р (1) имеет место равенство 2и+1 ' 2 554. Показать, что в выражении сферической функции 1"1(~р, О) из задачи '545, зависящий от 0 множитель, умножен- ный на 15, представляет собой присоединенную функцию Лежандра первого рода Р,'(созб) =Р',(1), т. е. решение уравнения (37) при л2=3, п=2.
555. Проверить, что если о(1) — решение уравнения Лежандр 2 ра (36), то функция у= — „будет решением уравнения (1 — 12)у" — 2(а+1)1у'+(л2 — л) (л2+л+1)у=О. 556. Непосредственной проверкой убедиться в том, что для функции Лежандра второго рода имеет место представление Я (1) — — „— (1 — 1) 1ой — — — Р (г)1од —, — 1(1(1. где т — целое неотрицательное число, представляют собой присоединенные функции Лежандра, т. е. решения урарнения (37). 559.
Проверить, что для присоединенных функций Лежандра второго рода Я"„(1) имеют место представления Яв(1)=(1 1 )™лг 0~(2)2 1 (1( 560, Непосредственной проверкой убедиться в том, что Р (соз6) = — 1(созЬ+121пЬсоз()" й. о (39) 561. Пользуясь представлением (39), показать, что для любого целого т~ )О ~Р„(1)~<1, -1<1<1.
562. Показать, что на промежутке ( — 1, 1) полипом Лежандра Р (х) ортогонален любому полиному степени, меньшей л2. 563, Показать, что Р„(1) =1, Р ( — 1) =( — 1), 2п=О, 1,... 564. Пользуясь результатом задачи 560, вычислить Р„(О). 565, Непосредственной проверкой убедиться в том, что функции и(х, у, г) = ) 1(г+(хсоз1+(ур!п1, 1)г(1, где 7(т, г) †произвольн функция, аналитическая по т и непрерывная по 1, являются гармоническими. 557. Непосредственным вычислением убедиться в том, что функция Р,'(1)=31 $~Т вЂ” 12, — 1( 1 <1, является присоединенной функцией Лежандра первого рода.
558. Пользуясь результатом задачи 555, показать, что функции Рл (1) (1 12)л!2 Р (1) 1 ( 1 ( 1 566. Показать, что имеет место равенство ! Р— ) (г+ тк сов(+ ту шп ()" с(1 = г'"Ры (сов 6) > где к=гсов!рв(п6, у=гв1п<рв(п6, г=гсов6. Решение у (г) обыкновенного дифференциального уравнения г.(р) =р (г) у' +д (г) у' + г (г) р =0 иногда удобно искать в виде интеграла и (г) = К (г, !) о (О »(г, (40) где С вЂ” кусочно гладкий контур, К(г, !) — аналитическая функция перемен. ных г, б удовлетворяющая уравнению с частными производными р (г) Кг,+д(г) Кг+г (г) К=а (!) Кн+Ь (!) К!+с(г) К, а о(!) — решение уравнения (ао)н — (Ьо)с+со=О. 587.
Показать, что уравнение Бесселя г'у" + гу'+ (г' — и') у = 0 имеет решение, выражающееся по формуле (40), в которой К(г !) ~ е ыывс ! и для этого случая выписать уравнение (41) и его решения. 568. Предполагая, что в формуле (40) контур С на комплекс-' ной плоскости переменного 1=5+(т) имеет вид 5=0, — оо < т)<0; — тт<$<0, т)=0; $= — и, 0<т) <оо, (42) 90 или 3=0, — оо < т)<0; 0<3<я, т)=0; $=п, 0<т) < оо, а К (г, !) = — — е-!* "" ' или К (г () = — е.-т* "" ' соответственно, ! ! > я тт найти решения уравнения (42) в виде интегралов.
Эти решения называются функциями Ханкеля и обозначаются Н„"'(г) и Н'„" (г). 568. Пользуясь тем, что функция Бесселя 7„(г) выражается через функции Ханкеля в'виде '(и (г) г Рв (г) +На (гН» на основании результатов задачи 588 показать справедливость интегрального представления бесселевой функции 1„(г) с целочисленным индексом и ,1„(г) = — „т сов(гв1п5 — п$)с(9. ! Г з 570, Показать, что для целых индексов и Х „(г)=( — 1)" Х„(г). 571. Пользуясь представлением 7„(г)= — ~ соз(гз)п$ — пв)й$, ! Г о показать равномерную ограниченность бесселевых функций с целочисленными индексами для действительных значений г.
572. Показать гармоничность функции и (» у г) ЕА и+и э|о С+Мсоэ!)Е1аФО(1 1 о э ~ — зя~ и справедливость равенства и(х, у, г)=е'"*е' 'РХ (Хр) где Х вЂ” действительная постоянная, и — целое число, х=рсозф, у=рз1пф. Методом разделения переменных(с применением специальных -функций) решить следующие задачи: 573. Однородная круглая мембрана радиуса )7 с центром в начале координат и закрепленным краем совершает поперечные колебания в среде без сопротивления. Определить колебания мембраны, вызванные а) начальным отклонением ((г) = А (Я' — г') мембраны; б) постоянной начальной скоростью У точек мембраны. 574. Найти распределение температуры в бесконечном однородном круглом цилиндре радиуса Я, если начальная температура цилиндра равна Уг' для случаев: а) поверхность цилиндра теплонзолирована; б) на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру; в) температура поверхности цилиндра поддерживается равной Т.
575. Начальная температура в однородном конечном цилиндре 0<г<)с, 0<ф<2я, 0<г<1 равна А(Р— г')г. Определить распределение температуры в атом'цилиндре в любой момент времени 1) О, если: а) боковая поверхность и нижнее основание цилиндра поддерживаются при нулевой температуре„а верхнее основание теплоизолировано; б) верхнее основание поддерживается при нулевой температуре, нижнее теплоизолировано, а на боковой поверхности происходит теплообмен с внешней средой, имеющей нулевую температуру.
91 575, Определить распределение .температуры в однородном шаре радиуса 14 с центром в начале координат, если температура поверхности шара поддерживается равной нулю, а начальная температура шара равна Я, 8). 577. Найти стационарное распределение температуры в однородном цилиндре (0<г<)с, 0<ф<2п,0<я<1) для случаев, когда: а) нижнее основание цилиндра имеет температуру Т, а остальная поверхность †температу, равную нулю; б) нижнее основание цилиндра имеет нулевую температуру, верхнее теплонзолировано, а температура боковой поверхности равна 1(г); в) в цилиндре имеются источники тепла объемной плотности Я, и температура поверхности цилиндра равна нулю.
578. В неограниченной однородной пластине О< г < оо, 0<ф<2п, 0<г<1 просверлен цилиндрический канал радиуса 14, ось которого совпадает с координатной осью г. Определить стационарное распределение температуры в пластине, если температура стенки цилиндрического канала равна Т, а грани пластины имеют нулевую температуру. 579. Концентрация некоторого газа на границе сферического сосуда радиуса Я с центром в начале координат равна ) (8). Определить стационарное распределение концентрации данного газа: а) внутри этого сосуда; б) вне сосуда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
