1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 12
Текст из файла (страница 12)
脄— и„+аи„+ — „и=О, а=сопз1. ь 366. 脄— иа+Ьи,— 4 и=О, Ь=сопз(. а~ Ь' 367. и,„— и„+аи„+Ьи, + 4 и — 4 и=О, а = сопз1, Ь = сопз1. 368. Для уравнений из задач 365 — 367 найти решения, удовлетворяющие условиям и (х, 0) = ~р (х), и (х, х) = ф (х), ср (0) = ф (О). 369. Показать, что общее решение системы ди до ди до — — =О, — — =0 дх ду ' ду дх имеет вид и(х, у)=р(х+у)+),(х — у), о(х, у)=)(х+у) — р,(х — у), где р и (л — произвольные непрерывно дифференцируемые функции. Для системы из задачи 369 построить решения, удовлетво- ряющие соответственно условиям: 370. и(х, 0)=~р(х), о(х, 0)=-ф(х). 371.
и(х, х)=-<р(х), о(х, — х)=ф(х), х)0. 372. и(х, 0)=ср(х), о(х, — х)=ф(х), х)0. 373. и(х, 0)=<р(х), о(х, х)=ф(х), х>0. 374. и (х, 0) = ~р (х), о (х, — х/2) = ф (х), х) О, <р(0)=0, ф(0)=0, где ~р и ф — заданные непрерывно дифференцируемые функции. 373. Показать, что система ди ди ди 11О а — + — =О, — + — =0 дх ду ' ду йп будет гиперболической тогда и только тогда, когда а > 0 и при а=сонь( > 0 ее общее решение имеет вид и(х, у)= =~(х+)' ау)+=) (х — )'ау), )а 1 'о(х, у) = — 1.(х+$ ау)+ ~1(х — 'у'ау), где ( и (1 — произвольные непрерывно дифференцируемые функции. 378. Определить решение системы из задачи 375, удовлетво- ряющее условиям и(х, =х)=ар(х), о~х, — =х)=ф(х), х>0, 1 г 1 где вр и ф — заданные действительные непрерывно дифференци- руемые функции.
377. Найти условие, связывающее-действительные постоянные а, Ь, с, при котором уравнение гиперболического типа имеет решение вида и (х, у, г) = ( (свх+ ру+ уг), где а, (), у — действительные постоянные, а à — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция. 378. Показать, что уравнение из задачи 377 имеет решение и п=в п=в где т и т — полиномы. 378.
Для уравнения из задачи 377 найти решение задачи , Коши с данными и(х, у, 0)=х' — у', и,(х, у, 0)=ху. 380. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция в 4 и 1 в в В и(Х, У)= ~т~Х-(- — ( У)в (21 ))~(а (1 1) ва(( ( зг ®. ) у ) т ~Х ( ( у) в (2( )) Г а () 1) в В(Г' О является решением задачи Коши с данными и(х, 0) — т(х), =т(х), 0(х(1, для уравнения Трикоми уи„„+и„„=О при у(0. 381. Показать, что функция и(х, 1) =1 (1+ах)+ср(1+Ьх)+ф(1+сх), где 1, ср, ф — произвольные трижды непрерывно дифференцируемые функции, является решением уравнения гиперболического типа дзи дзи дзи дзи д, — (а+Ь+с) д —,дс+(аЬ+ас+Ьс)д дс,— аЬс дс — — О.
382. Для уравнения, рассмотренного в 381, решить задачу Коши с данными и (х, 0) = сР, (х), и,(х, 0) = сР, (х), и,с (х, 0) = сР, (х). 383. Определить тип системы и„„+и „вЂ” 2о„„=-О, и показать, что ее решением являются функции и(х, у) =(х — у) ср(х+у)+(х+у) ср, (х — у)+ср(х+у)+фс(х — у), о(х, у) =(х — у)ср(х+у) — (х+у)ср,(х — у)+ср(х+у) — срс(х —,у), где ср, ср„зр, срс — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. 384.
В угле, ограниченном прямыми у= хс2, у= — х/2, х > О, найти решение рассмотренной в задаче 383 системы, если известно, что и (х, х,с2) = т (х), и (х, — х/2) = ч (х), о(х, х!2)=т,(х), о(х, — х12)=тс(х), х>0, т(0)=т(0), т,(0)=тс(0), где т, т„т, тс — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции. 385. Для системы из 383 построить решение задачи Коши с данными и(х, 0)=-т,(х), о(х, 0)=тз(х), и (х, 0)= ис(х), о (х, 0)=-тз(х). 63 386.
Определить, для каких значений действительных посто- янных а, Ь, с, й система аи„+ Ьиц+ йсо„= О, ао„+ Ьо„+ — и„= 0 является гиперболической, и построить ее общее решение. 387. Выяснить, для каких значений постоянных а, Ь, с, Й, обеспечивающих гиперболнчность рассмотренной в задаче 386 системы, прямая у=О может служить носителем данных Коши для этой системы. 388. Построить решение задачи Коши и(х, 0)=р„(х), и„(х, 0)=а„(х) для уравнения Лапласа и„„+ и,„= 0 в предположении, что р„(х) и а (х) — полиномы степеней и и т соответственно. 389. Для уравнения Лапласа и„„+и„„=О построить решение и(х, у) задачи Коши и(х, 0)=0, и„(х, 0) =~— '„ и показать неустойчивость полученного решения.
390. Пусть  — область плоскости х, 1, ограниченная отрезком А(0, 0) В(1, 0) прямой 1=0 и характеристиками х+1=0, х — 1 — 1 = 0 уравнения (3). Показать, что регулярное в области 6 решение и(х, 1) уравнения (3), непрерывное в Т) и равное нулю на характеристике х+1=0, достигает своего экстремума в 17 на отрезке АВ. 391. Показать что задача Коши и (х, 0) = ф (х), и„ (х, 0) = ф (х), 0 < х < 1, для уравнения Фи„,+уи„„+ — и„=О 1 при у < 0 поставлена некорректно. 392. При у < 0 для уравнения из задачи 391 найти решение и(х, у), удовлетворяющее условиям и(х, 0)=х(х), 1пп ( — у)-'1' ( ' ")=т(х), 0<х<1. 393.
Показать, что общее решение уравнения 1 脄— у脄— ~ иа — — О, у>0, имеет вид и (х, у) = ~, (х+ 2у'/' ) + ~, (х — 2у'1'), где(, и 7, †произвольн дважды непрерывно дифференцируемые функции. 394. Найти решение и(х, у) рассмотренного в задаче 393 уравнения по условиям и(х, 0)=т(х), 0<х<1, )1пп и„~< оо. д ее 395. При у) 0 найти решение рассмотренного в задаче 393 уравнения по условиям и(х, 0)=т(х), 1пп уы' — =т(х). ди е„ее др 396. Показать, что общее решение уравнения гиперболического типа деи ден ден — 2 — + — =0 дхе дхе дуе ду~ (21) имеет вид и(х, у)=(х+у)~р(х — у)+(х — у)ф(х+у)+ер,(х — у)+ф,(х+ у), где ~р, ер„ер, ф,— произвольные четырежды непрерывно дифференцируемые функции.
397. Для уравнения (21) найти решение задачи Коши по условиям и (х, 0) = т (х), ие (х, 0) = О, иее (хе О) Оэ инну (хе ) 393. Определить решение и(х, у) уравнения (21) по условиям и(х, х)=т,(х), и(х, — х)=т,(х), (д — + д ) ~ =те(х), ( — — ) ~ =та(х), х)~Оэ т,(0)=т,(0), т,'(0)=т',(0), т',(0) =т,(0) =т,(0); т,'(0) =т,'(0). 399.
Показать, что общее решение уравнения д'и даи дхе дхдуе — — =0 (22) имеет вид 3 А. В. Вннахее, д. Ф. Каненнеенее и(х, У)=1',(х+У)+~е(х — У)+~е(у) где ~„~„1,— произвольные достаточно гладкие функции. 400. Корректно ли. поставлена задача для уравнения (22) с данными и (х, 0) = <р, (х), и„ (х, 0) = ~ре(х), и„„ (х, 0) = <ре (х)? 401. Определить решение и(х, у) уравнения (22) по данным и(0, у)=ер,(у), и,(0, у)=ер,(у), ихх(0, у)=ере(у). Глава 1Ч Уравнения параболического типа $ 1. Уравнение теплопроводности Кзк уже было отмечено в $ 4 гл. 1, изучение явлений переноса (пере.
дача тепла, дяффузия и др.) при определенных допущениях приводит к урзвнению теплопроводностн л ~~»' их „. — и!=о, (1) ! чы и)з —— ф. (л) Наряду с первой краевой задачей (2) для уравнения (!) ставится также вторая краевая зздзчз, или зздзчз К ош и — Д ир и хл е: требуется определить регулярнее е полупрастранстег ! > О решение и(х, !) уравнения (!), удоелгтеорлющег условию и (х, 0) = ф (х), еде ф (х!... „х„) — ладанках функция. 402.
Определить уравнение, которому удовлетворяет функция о(в, Ч)=и(Ч, $ — ат1), где а — постоянная, а и(х,1) — решение уравнения (!). 403. Показать, что функция и(х, !), определенная как сумма ряда »» !« и(х, !) =~~, — 1д»«т(хю ..., х„), «=о (4) бб являющемуси типичным примером параболических уравнений. Пусть область Р пространства (х, !) обладает тем свойством, что онз в пересечении с плоскостями 1=Т, Течь,Т~Т„дает односвязную и-мериую облзсть в прострзнстве переменных хы ...,х„.. Обозначим через Я боковую поверхность области Р и нижнее ее основание !=Те. Под первой краевой задачей, или зада чей Ди ри хле, для урзвнения (1) понимается следующая задача: найти регулярное е области Р еплоть до ге егрхнего основания 1=Т« решение и (х, !) уравнения (!), когда наперед заданы его значения иа бй допускающего почленное дифференцирование нужное число раз, является решением уравнения (1).
404. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция ~ (х; — ю)' о о Е(х, !)= „,ехр 1 (о — уо) в(! — го) где у;, ..., у„— действительные параметры, при ! > !о является решейием уравнения (1). (Эта функция называется фундаментальным решением уравнения (1).) 405. Показать, что наряду с и(х, !) и функция и(Хх, Хо!) является решением уравнения (1) при )о=сонэ! всюду, где она определена.
406. Доказать, что для уравнения (1) в области Р имеет место принц и ц экстремума: регулярное в области Р решение уравнения (1), непрерывное в Р 03, своего экстремума достигает на Я. 407. Установить свойство единственности решения задачи (1), (2). 408. Показать, что в призматической области Р: 0 < ! ( Т, О<х, < !о О < х, < 1„функция I П /о х 1 .
(х,п . !х,п и(х,, х„!) =ехр ~ — яо ~ —,+ — о~ !1 абп — з1п — ' ~(о )е ) где ! и ! — натуральные числа, является решением уравнения (1) при п=2 и удовлетворяет условиям и (х,, х„О) = з!и — ' з!и — ', и)о = О, й о где а — боковая поверхность области Р. 409. Построить регулярное в прямоугольнике 0 < ! ( Т„ О <х< и решение и(х, !) уравнения 脄— и,=О (4') по краевым условиям и(О, !)=и(п, !)=О, О<!<Т„ и(х, 0)=ср(х), О<х<я, где ор †заданн достаточно гладкая функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
