Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 12

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 12 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 122021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

脄— и„+аи„+ — „и=О, а=сопз1. ь 366. 脄— иа+Ьи,— 4 и=О, Ь=сопз(. а~ Ь' 367. и,„— и„+аи„+Ьи, + 4 и — 4 и=О, а = сопз1, Ь = сопз1. 368. Для уравнений из задач 365 — 367 найти решения, удовлетворяющие условиям и (х, 0) = ~р (х), и (х, х) = ф (х), ср (0) = ф (О). 369. Показать, что общее решение системы ди до ди до — — =О, — — =0 дх ду ' ду дх имеет вид и(х, у)=р(х+у)+),(х — у), о(х, у)=)(х+у) — р,(х — у), где р и (л — произвольные непрерывно дифференцируемые функции. Для системы из задачи 369 построить решения, удовлетво- ряющие соответственно условиям: 370. и(х, 0)=~р(х), о(х, 0)=-ф(х). 371.

и(х, х)=-<р(х), о(х, — х)=ф(х), х)0. 372. и(х, 0)=ср(х), о(х, — х)=ф(х), х)0. 373. и(х, 0)=<р(х), о(х, х)=ф(х), х>0. 374. и (х, 0) = ~р (х), о (х, — х/2) = ф (х), х) О, <р(0)=0, ф(0)=0, где ~р и ф — заданные непрерывно дифференцируемые функции. 373. Показать, что система ди ди ди 11О а — + — =О, — + — =0 дх ду ' ду йп будет гиперболической тогда и только тогда, когда а > 0 и при а=сонь( > 0 ее общее решение имеет вид и(х, у)= =~(х+)' ау)+=) (х — )'ау), )а 1 'о(х, у) = — 1.(х+$ ау)+ ~1(х — 'у'ау), где ( и (1 — произвольные непрерывно дифференцируемые функции. 378. Определить решение системы из задачи 375, удовлетво- ряющее условиям и(х, =х)=ар(х), о~х, — =х)=ф(х), х>0, 1 г 1 где вр и ф — заданные действительные непрерывно дифференци- руемые функции.

377. Найти условие, связывающее-действительные постоянные а, Ь, с, при котором уравнение гиперболического типа имеет решение вида и (х, у, г) = ( (свх+ ру+ уг), где а, (), у — действительные постоянные, а à — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция. 378. Показать, что уравнение из задачи 377 имеет решение и п=в п=в где т и т — полиномы. 378.

Для уравнения из задачи 377 найти решение задачи , Коши с данными и(х, у, 0)=х' — у', и,(х, у, 0)=ху. 380. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция в 4 и 1 в в В и(Х, У)= ~т~Х-(- — ( У)в (21 ))~(а (1 1) ва(( ( зг ®. ) у ) т ~Х ( ( у) в (2( )) Г а () 1) в В(Г' О является решением задачи Коши с данными и(х, 0) — т(х), =т(х), 0(х(1, для уравнения Трикоми уи„„+и„„=О при у(0. 381. Показать, что функция и(х, 1) =1 (1+ах)+ср(1+Ьх)+ф(1+сх), где 1, ср, ф — произвольные трижды непрерывно дифференцируемые функции, является решением уравнения гиперболического типа дзи дзи дзи дзи д, — (а+Ь+с) д —,дс+(аЬ+ас+Ьс)д дс,— аЬс дс — — О.

382. Для уравнения, рассмотренного в 381, решить задачу Коши с данными и (х, 0) = сР, (х), и,(х, 0) = сР, (х), и,с (х, 0) = сР, (х). 383. Определить тип системы и„„+и „вЂ” 2о„„=-О, и показать, что ее решением являются функции и(х, у) =(х — у) ср(х+у)+(х+у) ср, (х — у)+ср(х+у)+фс(х — у), о(х, у) =(х — у)ср(х+у) — (х+у)ср,(х — у)+ср(х+у) — срс(х —,у), где ср, ср„зр, срс — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. 384.

В угле, ограниченном прямыми у= хс2, у= — х/2, х > О, найти решение рассмотренной в задаче 383 системы, если известно, что и (х, х,с2) = т (х), и (х, — х/2) = ч (х), о(х, х!2)=т,(х), о(х, — х12)=тс(х), х>0, т(0)=т(0), т,(0)=тс(0), где т, т„т, тс — заданные дважды непрерывно дифференцируемые функции. 385. Для системы из 383 построить решение задачи Коши с данными и(х, 0)=-т,(х), о(х, 0)=тз(х), и (х, 0)= ис(х), о (х, 0)=-тз(х). 63 386.

Определить, для каких значений действительных посто- янных а, Ь, с, й система аи„+ Ьиц+ йсо„= О, ао„+ Ьо„+ — и„= 0 является гиперболической, и построить ее общее решение. 387. Выяснить, для каких значений постоянных а, Ь, с, Й, обеспечивающих гиперболнчность рассмотренной в задаче 386 системы, прямая у=О может служить носителем данных Коши для этой системы. 388. Построить решение задачи Коши и(х, 0)=р„(х), и„(х, 0)=а„(х) для уравнения Лапласа и„„+ и,„= 0 в предположении, что р„(х) и а (х) — полиномы степеней и и т соответственно. 389. Для уравнения Лапласа и„„+и„„=О построить решение и(х, у) задачи Коши и(х, 0)=0, и„(х, 0) =~— '„ и показать неустойчивость полученного решения.

390. Пусть  — область плоскости х, 1, ограниченная отрезком А(0, 0) В(1, 0) прямой 1=0 и характеристиками х+1=0, х — 1 — 1 = 0 уравнения (3). Показать, что регулярное в области 6 решение и(х, 1) уравнения (3), непрерывное в Т) и равное нулю на характеристике х+1=0, достигает своего экстремума в 17 на отрезке АВ. 391. Показать что задача Коши и (х, 0) = ф (х), и„ (х, 0) = ф (х), 0 < х < 1, для уравнения Фи„,+уи„„+ — и„=О 1 при у < 0 поставлена некорректно. 392. При у < 0 для уравнения из задачи 391 найти решение и(х, у), удовлетворяющее условиям и(х, 0)=х(х), 1пп ( — у)-'1' ( ' ")=т(х), 0<х<1. 393.

Показать, что общее решение уравнения 1 脄— у脄— ~ иа — — О, у>0, имеет вид и (х, у) = ~, (х+ 2у'/' ) + ~, (х — 2у'1'), где(, и 7, †произвольн дважды непрерывно дифференцируемые функции. 394. Найти решение и(х, у) рассмотренного в задаче 393 уравнения по условиям и(х, 0)=т(х), 0<х<1, )1пп и„~< оо. д ее 395. При у) 0 найти решение рассмотренного в задаче 393 уравнения по условиям и(х, 0)=т(х), 1пп уы' — =т(х). ди е„ее др 396. Показать, что общее решение уравнения гиперболического типа деи ден ден — 2 — + — =0 дхе дхе дуе ду~ (21) имеет вид и(х, у)=(х+у)~р(х — у)+(х — у)ф(х+у)+ер,(х — у)+ф,(х+ у), где ~р, ер„ер, ф,— произвольные четырежды непрерывно дифференцируемые функции.

397. Для уравнения (21) найти решение задачи Коши по условиям и (х, 0) = т (х), ие (х, 0) = О, иее (хе О) Оэ инну (хе ) 393. Определить решение и(х, у) уравнения (21) по условиям и(х, х)=т,(х), и(х, — х)=т,(х), (д — + д ) ~ =те(х), ( — — ) ~ =та(х), х)~Оэ т,(0)=т,(0), т,'(0)=т',(0), т',(0) =т,(0) =т,(0); т,'(0) =т,'(0). 399.

Показать, что общее решение уравнения д'и даи дхе дхдуе — — =0 (22) имеет вид 3 А. В. Вннахее, д. Ф. Каненнеенее и(х, У)=1',(х+У)+~е(х — У)+~е(у) где ~„~„1,— произвольные достаточно гладкие функции. 400. Корректно ли. поставлена задача для уравнения (22) с данными и (х, 0) = <р, (х), и„ (х, 0) = ~ре(х), и„„ (х, 0) = <ре (х)? 401. Определить решение и(х, у) уравнения (22) по данным и(0, у)=ер,(у), и,(0, у)=ер,(у), ихх(0, у)=ере(у). Глава 1Ч Уравнения параболического типа $ 1. Уравнение теплопроводности Кзк уже было отмечено в $ 4 гл. 1, изучение явлений переноса (пере.

дача тепла, дяффузия и др.) при определенных допущениях приводит к урзвнению теплопроводностн л ~~»' их „. — и!=о, (1) ! чы и)з —— ф. (л) Наряду с первой краевой задачей (2) для уравнения (!) ставится также вторая краевая зздзчз, или зздзчз К ош и — Д ир и хл е: требуется определить регулярнее е полупрастранстег ! > О решение и(х, !) уравнения (!), удоелгтеорлющег условию и (х, 0) = ф (х), еде ф (х!... „х„) — ладанках функция. 402.

Определить уравнение, которому удовлетворяет функция о(в, Ч)=и(Ч, $ — ат1), где а — постоянная, а и(х,1) — решение уравнения (!). 403. Показать, что функция и(х, !), определенная как сумма ряда »» !« и(х, !) =~~, — 1д»«т(хю ..., х„), «=о (4) бб являющемуси типичным примером параболических уравнений. Пусть область Р пространства (х, !) обладает тем свойством, что онз в пересечении с плоскостями 1=Т, Течь,Т~Т„дает односвязную и-мериую облзсть в прострзнстве переменных хы ...,х„.. Обозначим через Я боковую поверхность области Р и нижнее ее основание !=Те. Под первой краевой задачей, или зада чей Ди ри хле, для урзвнения (1) понимается следующая задача: найти регулярное е области Р еплоть до ге егрхнего основания 1=Т« решение и (х, !) уравнения (!), когда наперед заданы его значения иа бй допускающего почленное дифференцирование нужное число раз, является решением уравнения (1).

404. Непосредственной проверкой убедиться в том, что функция ~ (х; — ю)' о о Е(х, !)= „,ехр 1 (о — уо) в(! — го) где у;, ..., у„— действительные параметры, при ! > !о является решейием уравнения (1). (Эта функция называется фундаментальным решением уравнения (1).) 405. Показать, что наряду с и(х, !) и функция и(Хх, Хо!) является решением уравнения (1) при )о=сонэ! всюду, где она определена.

406. Доказать, что для уравнения (1) в области Р имеет место принц и ц экстремума: регулярное в области Р решение уравнения (1), непрерывное в Р 03, своего экстремума достигает на Я. 407. Установить свойство единственности решения задачи (1), (2). 408. Показать, что в призматической области Р: 0 < ! ( Т, О<х, < !о О < х, < 1„функция I П /о х 1 .

(х,п . !х,п и(х,, х„!) =ехр ~ — яо ~ —,+ — о~ !1 абп — з1п — ' ~(о )е ) где ! и ! — натуральные числа, является решением уравнения (1) при п=2 и удовлетворяет условиям и (х,, х„О) = з!и — ' з!и — ', и)о = О, й о где а — боковая поверхность области Р. 409. Построить регулярное в прямоугольнике 0 < ! ( Т„ О <х< и решение и(х, !) уравнения 脄— и,=О (4') по краевым условиям и(О, !)=и(п, !)=О, О<!<Т„ и(х, 0)=ср(х), О<х<я, где ор †заданн достаточно гладкая функция.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее