1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Доказать симметричность функции Грина 6(х, у), т. е. что 6 (х, у) = 6 (у, х). 164. Доказать, что для любой гармонической в области Р функции и(х) класса С'(Р(1Я) имеет место равенство — в=о, ди где т — нормаль к 5. 165. Пусть шар ~у — х1<К лежит в области гармоничности функции и(х). Показать справедливость формул, выражающих теорему о среднем: а) и(х)= „, ) и(у)Ю„для сферы )у — х[=Д; ) д-х ~=л б) и (х) = — „) и (у) дт„для шара, ( у — х ~ < К.
1у-к~ <л 168. Из формулы, выражающей теорему.о среднем, вывести принцип экстремума для гармонических функций. 167. Пользуясь принципом экстремума, установить свойство единственности решения задачи Дирихле для гармонических функций с краевым условием (4). 188.
Показать, что при наличии функции Грина 6(х, у) решение и(х) задачи Дирихле с краевым условием (4) в классе С'(Р115) можно выписать в квадратурах: и (х) = — „~ ' ~~ ср (у) сБ„. (8) 169. Проверить, что выражение 6(х, у) =Е(х, у) — Е((х~у,— ) представляет собой функцию Грина задачи Дирихле в шаре )х~ < 1. 170. Пользуясь функцией Грина, вывести формулу Пуассона и (х) = — ) — — -~-„~р (у) ЙЯ„, ! а~=! дающую решение задачи Дирихле с краевым условием (4) для гармонических функций в шаре ~х~ < 1.
171. Построить решение задачи Дирихле с краевым условием (4) для шара ~ х — х, ~ < )г. 172. Вывести из формулы Пуассона формулу, выражающую теорему о среднем для сферы. 2 А. В. Бицадве, д. Ф. квлявнчеико 173. Показать справедливость тождества о где х=(х„х,) — точка круга )х) < 1, а у=(созф, з!п4р) — точка на окружности ) у ~ = 1. 174. Непосредственной проверкой убедиться в гармоничности представленной в шаре ~х~ < ! формулой Пуассона функции и(х) и показать, что !оп и (х) = гр (х,). х х, ~х,~ч1 175.
Показать, что для неотрицательной гармонической в шаре )х! < Я функции и(х) верны оценки гс — ! х ! 'Я+! х ! а - и-~-,-;,.=, (о>< (а<а -,а,„„... (оь 176. Может ли сохранять знак гармоническая в Е„функция, отличная от постояннойр 177. Может ли ограниченная сверху гармоническая в Е„ функция отличаться от постоянной? 178. Показать, что если для непрерывной в области О функ- ции в окрестности каждой точки области О имеет место теоре- ма о среднем, то эта функция гармоническая в О. 179.
Показать, что если для функции и (х) класса С' (О) ди интеграл от нормальной производной —, взятый по любой сфедт ' ре, лежащей в О, равен нулю, то эта функция является гармо- нической в О. 180. В круге х'+у'< 1 найти решение и(х, у) задачи Ди- рихле для гармонических функций, если на окружности х'+у' = 1 и=з!п2гр, О<гр<2п. 181. В круге Р: х'+у'+2х < 0 решить задачу Дирихле: Ли (х, у) = О, (х, у) е О, и(х, у) =4х'+бх — 1, (х, у) ЕдР.
Задача Дирихле ставится не только в ограниченной области. При поста- новке этой эадачи для бесконечной области от искомой гармонической функ- ции требуется, чтобы она при )х! — ьсо была ограниченной, когда и=2, и ! стремилась к нулю не медленнее чем л я, когда л > 2. ! х !а-в 182. Показать справедливость формулы (7) (см. задачу 162) для гармонической функции и(х) в полупространстве х„) О. 183.
Проверить, что выражение 6 (х, у) = Е (х, у) — Е (х, у'), 34 где х=(х;, ..., хл), у=(у„.. „У„), а у' — точка Ел, симметричная точке у относительно плоскости ул ллО, удовлетворяет всем требованиям из определения функции Грина, и вывести из формулы (8) формулу Пуассона л и(х) — Г ~о ) и хл 1 гя '(ут ° г1ул-гл я Ф(уо ° ° Ул-г) =о ~~ (уг хг) +хл ел г=1 дающую решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с краевым условием (4) в полупространстве хл ) О.
184. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа с краевым условием (4) в полупространстве хл < О. 188. Найти гармоническую в полуплоскости у) О функцию и (х, у), если известно, что и (х, О) = „, +, . 186. В полупространстве г < О найти гармоническую функцию и(х, у, г) по краевому условию 1 и(х У )= (1+„е+„з)з!я Пусть Р+ — ограниченная область с границей 5, а Р- — дополнение Р+ ()3 до всего пространства Ел.
Задачи Днрнхле в областях Р+ н Р- принято называть соответственно внутренней и внешней задачами. 187. Показать, что при помощи инверсии х 5=в ) Х')е внешнюю задачу Дирихле можно редуцировать к внутренней задаче. 188. Построить решение задачи Дирихле для внешности круга хе+уз<1 по краевому условию и (х, у) = гр (х, у), х'+ у' = 1. 189.
Найти условие, необходимое для существования решения задачи Неймана с краевым условием (5). 190. Доказать единственность решения внутренней задачи Неймана с точностью до произвольного постоянного слагаемого. 191. Показать, что функция и (х, у) = — — ) 1ой )/гД вЂ” х) з+ (з) — у)е д Я, т)) д5+ С является решением задачи Неймана в круге х'+у' < Яз с 35 краевым условием — =а(х, у), х*+у'=Ю ди(х, у) если функция д удовлетворяет условию ~ дЮ=О.
192. Пользуясь формулой Гурса (1), вывести из формулы Пуассона ол 1 1 х' уо 2л,) ! — 2х$ — 2рх)+хо+го и ( о ь = соз я~, т~ = 3!и !р, формулу Шварца !о (г) = и (х, у)+ !о (х, у) = — „,. ! — ' — + (С. ! Г !+х и(!)д! !! ~=! 198. Найти гармоническую в полукруге !г~ < 1, 1!пг>0 функцию и(х, у), непрерывную в замкнутом полукруге с непре- рывными вплоть до диаметра — 1 <х<1, у=-0 первыми про- изводными по краевым условиям и (х, у) = ~р (х, у), х'+ у' = 1, у > О, '"(х Р) ~ =О 1<я<1 ду (у=о 194.
Найти гармоническую в полукруге ~г~ < 1, 1п!г > О функцию и(х, у), удовлетворяющую краевым условиям: и(х, у)=0, (г(=1, 1п!г> О, и(х, 0)=!р(х), — 1<х<1. 195, Показать, что формула и(х, у)= ол =' ('( 1 1 2л,! ! ! — 2хсоо(6 — 9)+хо 1 — 2г сох(6+<р)+хо ! ' о г'=х'+у*, х=гсоз!р, уе го!и!р, .
а=соей, о)=з!пб, дает гармоническую в полукруге ~ г ~ < 1, 1!и г > 0 функцию, удовлетворяющую краевым условиям и(х,у)=р(9), 0<9<и, и(х, 0)=0, — 1<х<1, где р — заданная непрерывная функция, причем ) (0) = и (! О) = ) (и) = и (О, — 1) = О. 36 9 3. Потенциалы Обеемнмм повмнциалом масс, распределенных по области Р пространства Е„с плотностью )г, называется функция и (х) = ~ Е (х, у) р (у) г(тв, о (9) где Е(х, у) — элементарное решение уравнения Лапласа, а Нтн — алемент объема по переменному у. Он является гармонической функцией вне замкнутой области Р()Я, где 3=дР. В случае непрерывности и ограниченности функции И в Р потенциал объемных масс непрерывен вместе со своими производными первого порядка во всем пространстве Е„. Если же м имеет частные производные первого порядка, непрерывные и ограниченные в Р, то потенциал объемных масс имеет также вторые производные в Р, причем пи= — ы„м(х), хЕР.
где е„— плошадь единичной сферы в Е„. 196. Выяснить поведение потенциала объемных масс при ~х~ — оо. 197. Считая область Р ограниченной, указать условие, достаточное для того, чтобы при о=2 потенциал объемных масс стремился к нулю, когда (х~ — оо. 198, Показать, что выражение и(х) = — — ) 6(х, у)((у)с(т„, о где 6(х, у) — функция Грина задачи Дирихле в области Р, является решением уравнения Пуассона гзи =) (х), х Е Р, (11) и удовлетворяет краевому условию 1ппи(х)=0, х,ЕЯ.
х-~х, 199. Предполагая, что задача Дирнхле с краевым условием 1пп и (х) = ~р (х,), х, Е 5, х-~ ха (12) 1пп и(х)=ср(х,), х,ЕЯ. х -~ хО 200. Обладает ли свойством единственности решение задачи (11), (12)7- 37 для гармонических функций имеет решение, на основании ре-' зультата задачи 198 доказать существование решения и(х) урав- нения Пуассона (11), удовлетворяющего неоднородному краевому условию 201. Показать справедливость равенств — »з., уЕ»(, — ~„/2, уЕ~, О, у Е С (»(() а), где Е (х, у) — элементарное решение уравнения Лапласа, »1 — про- извольная ограниченная область пространства Е„ с гладкой гра- ницей о, а С (»1() о) †дополнен »( Ц о до всего пространства Е„.
202. Для потенциала и(х) объемных масс, распределенных по области Р»: Е„ с плотностью р (х), доказать справедливость формулы Гаусса д ди (х) ~!»к о опз где»1 — любая ограниченная область пространства Е„с гладкой границей о. 203. Может ли гармоническая в области Р функция быть потенциалом объемных масс, распределенных по области Р с не- нулевой плотностью? 204. Найти плотность р масс, распределенных по области Р, если известно, что объемный потенциал этих масс в Р и = (х'+ у'+ г')' — 1. 205.
В условиях задачи 204 найти массу М, заполняющую объем шара х'+у'+г'( г', лежащего в области Р. 206. Найти частное решение уравнения Пуассона аи = =11 ~~.", аьх,, где а„, 1=1, ..., и,— действительные постоян,й1 л ные, ~ а$=А ~0. ь=! 207. Потенциал объемных масс, распределенных по области Р, определяется функцией и(х, у) =-х'у*. Найти массу М, заполняющую квадрат — 1(х(1, — 1(у(1, лежащий внутри Р. 208. Показать, что потенциал и(х, у) масс, распределенных по кругу х'+у' ( 1 с плотностью )» = 1, дается формулой (' — и 1оя г, г ) 1, и(х,у)=~ и где г'=х'+у'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
