Главная » Просмотр файлов » 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839

1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 7

Файл №843928 1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (Бицадзе, Калиниченко 1977 - Сборник задач по уравнениям математической физики) 7 страница1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928) страница 72021-07-10СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Доказать симметричность функции Грина 6(х, у), т. е. что 6 (х, у) = 6 (у, х). 164. Доказать, что для любой гармонической в области Р функции и(х) класса С'(Р(1Я) имеет место равенство — в=о, ди где т — нормаль к 5. 165. Пусть шар ~у — х1<К лежит в области гармоничности функции и(х). Показать справедливость формул, выражающих теорему о среднем: а) и(х)= „, ) и(у)Ю„для сферы )у — х[=Д; ) д-х ~=л б) и (х) = — „) и (у) дт„для шара, ( у — х ~ < К.

1у-к~ <л 168. Из формулы, выражающей теорему.о среднем, вывести принцип экстремума для гармонических функций. 167. Пользуясь принципом экстремума, установить свойство единственности решения задачи Дирихле для гармонических функций с краевым условием (4). 188.

Показать, что при наличии функции Грина 6(х, у) решение и(х) задачи Дирихле с краевым условием (4) в классе С'(Р115) можно выписать в квадратурах: и (х) = — „~ ' ~~ ср (у) сБ„. (8) 169. Проверить, что выражение 6(х, у) =Е(х, у) — Е((х~у,— ) представляет собой функцию Грина задачи Дирихле в шаре )х~ < 1. 170. Пользуясь функцией Грина, вывести формулу Пуассона и (х) = — ) — — -~-„~р (у) ЙЯ„, ! а~=! дающую решение задачи Дирихле с краевым условием (4) для гармонических функций в шаре ~х~ < 1.

171. Построить решение задачи Дирихле с краевым условием (4) для шара ~ х — х, ~ < )г. 172. Вывести из формулы Пуассона формулу, выражающую теорему о среднем для сферы. 2 А. В. Бицадве, д. Ф. квлявнчеико 173. Показать справедливость тождества о где х=(х„х,) — точка круга )х) < 1, а у=(созф, з!п4р) — точка на окружности ) у ~ = 1. 174. Непосредственной проверкой убедиться в гармоничности представленной в шаре ~х~ < ! формулой Пуассона функции и(х) и показать, что !оп и (х) = гр (х,). х х, ~х,~ч1 175.

Показать, что для неотрицательной гармонической в шаре )х! < Я функции и(х) верны оценки гс — ! х ! 'Я+! х ! а - и-~-,-;,.=, (о>< (а<а -,а,„„... (оь 176. Может ли сохранять знак гармоническая в Е„функция, отличная от постояннойр 177. Может ли ограниченная сверху гармоническая в Е„ функция отличаться от постоянной? 178. Показать, что если для непрерывной в области О функ- ции в окрестности каждой точки области О имеет место теоре- ма о среднем, то эта функция гармоническая в О. 179.

Показать, что если для функции и (х) класса С' (О) ди интеграл от нормальной производной —, взятый по любой сфедт ' ре, лежащей в О, равен нулю, то эта функция является гармо- нической в О. 180. В круге х'+у'< 1 найти решение и(х, у) задачи Ди- рихле для гармонических функций, если на окружности х'+у' = 1 и=з!п2гр, О<гр<2п. 181. В круге Р: х'+у'+2х < 0 решить задачу Дирихле: Ли (х, у) = О, (х, у) е О, и(х, у) =4х'+бх — 1, (х, у) ЕдР.

Задача Дирихле ставится не только в ограниченной области. При поста- новке этой эадачи для бесконечной области от искомой гармонической функ- ции требуется, чтобы она при )х! — ьсо была ограниченной, когда и=2, и ! стремилась к нулю не медленнее чем л я, когда л > 2. ! х !а-в 182. Показать справедливость формулы (7) (см. задачу 162) для гармонической функции и(х) в полупространстве х„) О. 183.

Проверить, что выражение 6 (х, у) = Е (х, у) — Е (х, у'), 34 где х=(х;, ..., хл), у=(у„.. „У„), а у' — точка Ел, симметричная точке у относительно плоскости ул ллО, удовлетворяет всем требованиям из определения функции Грина, и вывести из формулы (8) формулу Пуассона л и(х) — Г ~о ) и хл 1 гя '(ут ° г1ул-гл я Ф(уо ° ° Ул-г) =о ~~ (уг хг) +хл ел г=1 дающую решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с краевым условием (4) в полупространстве хл ) О.

184. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа с краевым условием (4) в полупространстве хл < О. 188. Найти гармоническую в полуплоскости у) О функцию и (х, у), если известно, что и (х, О) = „, +, . 186. В полупространстве г < О найти гармоническую функцию и(х, у, г) по краевому условию 1 и(х У )= (1+„е+„з)з!я Пусть Р+ — ограниченная область с границей 5, а Р- — дополнение Р+ ()3 до всего пространства Ел.

Задачи Днрнхле в областях Р+ н Р- принято называть соответственно внутренней и внешней задачами. 187. Показать, что при помощи инверсии х 5=в ) Х')е внешнюю задачу Дирихле можно редуцировать к внутренней задаче. 188. Построить решение задачи Дирихле для внешности круга хе+уз<1 по краевому условию и (х, у) = гр (х, у), х'+ у' = 1. 189.

Найти условие, необходимое для существования решения задачи Неймана с краевым условием (5). 190. Доказать единственность решения внутренней задачи Неймана с точностью до произвольного постоянного слагаемого. 191. Показать, что функция и (х, у) = — — ) 1ой )/гД вЂ” х) з+ (з) — у)е д Я, т)) д5+ С является решением задачи Неймана в круге х'+у' < Яз с 35 краевым условием — =а(х, у), х*+у'=Ю ди(х, у) если функция д удовлетворяет условию ~ дЮ=О.

192. Пользуясь формулой Гурса (1), вывести из формулы Пуассона ол 1 1 х' уо 2л,) ! — 2х$ — 2рх)+хо+го и ( о ь = соз я~, т~ = 3!и !р, формулу Шварца !о (г) = и (х, у)+ !о (х, у) = — „,. ! — ' — + (С. ! Г !+х и(!)д! !! ~=! 198. Найти гармоническую в полукруге !г~ < 1, 1!пг>0 функцию и(х, у), непрерывную в замкнутом полукруге с непре- рывными вплоть до диаметра — 1 <х<1, у=-0 первыми про- изводными по краевым условиям и (х, у) = ~р (х, у), х'+ у' = 1, у > О, '"(х Р) ~ =О 1<я<1 ду (у=о 194.

Найти гармоническую в полукруге ~г~ < 1, 1п!г > О функцию и(х, у), удовлетворяющую краевым условиям: и(х, у)=0, (г(=1, 1п!г> О, и(х, 0)=!р(х), — 1<х<1. 195, Показать, что формула и(х, у)= ол =' ('( 1 1 2л,! ! ! — 2хсоо(6 — 9)+хо 1 — 2г сох(6+<р)+хо ! ' о г'=х'+у*, х=гсоз!р, уе го!и!р, .

а=соей, о)=з!пб, дает гармоническую в полукруге ~ г ~ < 1, 1!и г > 0 функцию, удовлетворяющую краевым условиям и(х,у)=р(9), 0<9<и, и(х, 0)=0, — 1<х<1, где р — заданная непрерывная функция, причем ) (0) = и (! О) = ) (и) = и (О, — 1) = О. 36 9 3. Потенциалы Обеемнмм повмнциалом масс, распределенных по области Р пространства Е„с плотностью )г, называется функция и (х) = ~ Е (х, у) р (у) г(тв, о (9) где Е(х, у) — элементарное решение уравнения Лапласа, а Нтн — алемент объема по переменному у. Он является гармонической функцией вне замкнутой области Р()Я, где 3=дР. В случае непрерывности и ограниченности функции И в Р потенциал объемных масс непрерывен вместе со своими производными первого порядка во всем пространстве Е„. Если же м имеет частные производные первого порядка, непрерывные и ограниченные в Р, то потенциал объемных масс имеет также вторые производные в Р, причем пи= — ы„м(х), хЕР.

где е„— плошадь единичной сферы в Е„. 196. Выяснить поведение потенциала объемных масс при ~х~ — оо. 197. Считая область Р ограниченной, указать условие, достаточное для того, чтобы при о=2 потенциал объемных масс стремился к нулю, когда (х~ — оо. 198, Показать, что выражение и(х) = — — ) 6(х, у)((у)с(т„, о где 6(х, у) — функция Грина задачи Дирихле в области Р, является решением уравнения Пуассона гзи =) (х), х Е Р, (11) и удовлетворяет краевому условию 1ппи(х)=0, х,ЕЯ.

х-~х, 199. Предполагая, что задача Дирнхле с краевым условием 1пп и (х) = ~р (х,), х, Е 5, х-~ ха (12) 1пп и(х)=ср(х,), х,ЕЯ. х -~ хО 200. Обладает ли свойством единственности решение задачи (11), (12)7- 37 для гармонических функций имеет решение, на основании ре-' зультата задачи 198 доказать существование решения и(х) урав- нения Пуассона (11), удовлетворяющего неоднородному краевому условию 201. Показать справедливость равенств — »з., уЕ»(, — ~„/2, уЕ~, О, у Е С (»(() а), где Е (х, у) — элементарное решение уравнения Лапласа, »1 — про- извольная ограниченная область пространства Е„ с гладкой гра- ницей о, а С (»1() о) †дополнен »( Ц о до всего пространства Е„.

202. Для потенциала и(х) объемных масс, распределенных по области Р»: Е„ с плотностью р (х), доказать справедливость формулы Гаусса д ди (х) ~!»к о опз где»1 — любая ограниченная область пространства Е„с гладкой границей о. 203. Может ли гармоническая в области Р функция быть потенциалом объемных масс, распределенных по области Р с не- нулевой плотностью? 204. Найти плотность р масс, распределенных по области Р, если известно, что объемный потенциал этих масс в Р и = (х'+ у'+ г')' — 1. 205.

В условиях задачи 204 найти массу М, заполняющую объем шара х'+у'+г'( г', лежащего в области Р. 206. Найти частное решение уравнения Пуассона аи = =11 ~~.", аьх,, где а„, 1=1, ..., и,— действительные постоян,й1 л ные, ~ а$=А ~0. ь=! 207. Потенциал объемных масс, распределенных по области Р, определяется функцией и(х, у) =-х'у*. Найти массу М, заполняющую квадрат — 1(х(1, — 1(у(1, лежащий внутри Р. 208. Показать, что потенциал и(х, у) масс, распределенных по кругу х'+у' ( 1 с плотностью )» = 1, дается формулой (' — и 1оя г, г ) 1, и(х,у)=~ и где г'=х'+у'.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,68 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее