1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 5
Текст из файла (страница 5)
мн в точках х и х+Лх. В элемент %7 за время ЛЕ втекает количество тепла ([= Е'Ех+Оз+Е)з Цх — приток тепла через сечения х н х+Лх, который, согласно закону Фурье, дается формулой Е), = НЬЯи„ ) (х+ Лх, Е') — (йЯих) (х, Е')[ ЛЕ = ~ — (йЯи„) 1(х', Е') Лх ЛЕ, Гд ~ дх х'~(х, х+Лх), Е'Е(Е, Е+ЛЕВ ЕЕз — приток тепла через боковую поверхность, ов пропорционален (по закону Ньютона) разности температур: Оз=[ка(и,— и))(х, Е)Л»ЛЕ, х~(х, х+Лх), Е~(Е, Е+ЛЕ); наконец, Е)з возникает вследствие действия источников тепла, причем Е2,=(дЯ)(х, Е)Л»ЛЕ, хЕ(х, х+Лх), ЕЕ(Е, Е+ЛЕ).
Следовательно, ЕЕ=(~дх(йЯи»)1(»" Е)+[на(ио — и)1(х, Е)+(54(х,'Е)~ЛхЛЕ. (23) Это количество тепла расходуется на нагреванне элемента йг от температуры и (х, Е) до и (х, Е+ЛЕ), и поэтому его можно записать в виде (срЯ) (х ) [и (х', Е+ЛЕ) — и (х", Е)) Лх =(срЯиг) (х", Е ) Лх ЛЕ, х" Е(х, х+Лх), Е" ~(Е, Е-[-ЛЕ). Приравнивая (23) к (24) и сокращая полученное равенство на ЛхЛЕ, в пре- деле при Лх — О, ЛŠ— ьО получаем дифференциальное уравнение для и(х, Е): д (срЯиЕ) (х, Е)= — [(йЯих) (х, Е)] — [ка(и — из)) (х, Е)+(Яд) (х, Е).
(25) В частности, когда с, р, й, к, а, 5 — постоянные, уравнение (23) принимает внд иг=изи.„— Ьи+[(х, Е), 7(» Е)+наив(Е) ср ' срЯ' ' срЯ При решении задачи об определении температуры и(х, Е) в стержне в момент времени Е > О, наряду с дифференциальным уравнением, следует знать начальную температуру прн Е=О стержня, а также краевые условия, определяющие тепловой режим на концах стержня. Краевые условия можно 21 получить, если, как и при выводе дифференциального уравнения, подсчитать баланс тепла для элементов )Ра и Ятг стержня, примыкающих к соответствующим концам.
Аналогично, основываясь на законе Нернста о потоке вещества через поверхность, ставятся задачи о диффузии (об определении концентрации вещества) в трубке. Предположим, что газ находится в некотором произвольном пространственном объеме Я, заполненном пористым веществом. Пусть и=и(х, Г) — концентрация газа в точке х=(хы х„хэ) в момент времени г, Р=Р(х) — коэффициент диффузии, с=с(х) — коэффициент пористости среды, который равен отношению объема пор к рассматриваемому объему, л=с (х, Г) — объемная плотность источников вещества, т — единичный вектор внешней нормали к поверхности, ограничивающей Р. Для вывода уравнения диффузии выделим произвольно внутри () некоторый объем У с достаточно гладкой границей Я и подсчитаем баланс аещесшва в этом объеме за произвольно взятый доста.
точно малый промежуток времени (г, Г+ЛГ). По закону Нернста количество вещества, проходящего через элемент поверхности 43 в направлении нормали т к дд за единицу времени равно ди дГ) = — Р (х) — дд. дт При выводе уравнения диффузии следует учесть, что: 1) количество вещества, поступающего в объем У через Ю за время АП равно с+ лг или, пользуясь формулой Гаусса — Остроградского Р— дд=~ б1т(Рйгад и) дУ, ди дт г+ы Цт — — ~ дг ~ б!ч (Р ягад и) дУ; г у 2) от источников вещества (например, при наличии химической реакции с выделением вещества) в объем У за время АГ поступает количество вещества т+м Р,= ~ дг~р(х, г)дУ, с 3) вследствие приращения, получаемого функцией и(х, Г) за время И: и (х, э+ Лг) — и (х, г) ш ит (х, г) ь(, общий приток вещества в объеме У дается формулой г+лг а.= ) а) ...м. С Следовательно, С)с+ Ос+ Ов= ~ с(С ~ (гпсч(0йгад и)+Р— сис) с()с=в.
с Отсюда, считая подынтегральиое выражение непрерывной функцией и пользуясь произвольностью объема и и промежутка времени (С, С+АС), следует, что всюду в я для любого С (С > О) подынтегральное выражение равно нулю, т. е. сит = сич (О ига 6 и) + г". (26) Уравнение (26) является искомым уравнением диффузии. Если среда однородная, то величины с и В постоянны н уравнение (26) принимает вид вс г" ис= — авЛи+С, о'= —, с' с' При исследовании явления диффузии, наряду с уравнением диффузии, следует выписать начальное распределение концентрации вещества (например, при С=О) и краевые условия, определяющие диффузионный режим на границе рассматриваемого объема О. Аналогично, основываясь на законе Фурье о потоке тепла, выводится уравнение теплопроводности.
122. Боковая поверхность однородного стержня (0<х(1) теплоизолирована, а его начальная (при ( =- 0) температура равна Чс(х). Сформулировать задачу об определении температуры и в стержне при с > 0 для случаев, когда: а) концы стержня теплоизолированы; б) иа концах х = 0 и х = ( стержня, начиная с момента 1= О, поддерживаются тепловые потоки с) (с) и () (() соответственно; в) на концах х=О и х=( стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средами, примыкающими к этим концам и имеющими температуру т(() и О(1) соответственно; г) на конце х = 1 стержня имеется сосредоточенная масса и из того же материала, что и стержень, и этот конец теплоизолирован, а на конце х= О, начиная с момента с = О, поддерживается температура )с(Г); д) на обоих концах стержня имеются одинаковые сосредоточенные массы т из того же материала, что и стержень, причем конец х = 0 теплоизолирован, а на конце х= 1, начиная с момента ( = О, поддерживается тепловой поток с)(с).
123. В трубке длины 1 постоянного сечения 5, однородно заполненной пористым веществом, происходит диффузия газа с начальной (при ( = 0) концентрацией ср(х). Поставить задачу об определении концентрации и газа в трубке при ( > О, считая боковую поверхность трубки газонепроницаемой, для случаев, когда: а) на конце х== О, начиная с момента с = О, поддерживается концентрация газа, равная )в(с), а конец х= 1 газонепроницаем; б) на конце х=- О, начиная с момента 1 = О, поддерживается поток газа с)(с), а конец х = 1 перекрыт пористой перегородкой, 23 т. е.
на этом конце происходит газообмен с внешней средой по закону, аналогичному закону Ньютона для конвективного тепло- обмена, причем концентрация газа во внешней среде предполагается нулевой. 124. Однородный стержень (0(х(1) постоянного сечения Я имеет начальную (при 1=0) температуру ф(х). На поверхности стержня происходит конвективный теплообмеи по закону Ньютона со средой, имеющей температуру и (1), а его концы х = 0 и х = 1 зажаты в массивные клеммы с заданными теплоемкостями С и Я соответственно и достаточно большой теплопроводностью. Сформулировать задачу об определении температуры и при 1) 0 в этом стержне для случаев, когда: а) стержень нагревается текущим по нему постоянным электрическим током силы 1; б) начиная с момента 1=0, в стержне действуют тепловые источники объемной плотности Р(х, 1); в) тепло в стержне поглощается пропорционально и, в каждой его точке.
125. Трубка (0(х(1) постоянного сечения 5 наполнена газом, начальная (при 1=0) концентрация которого ф(х). Поверхность и торцы трубки пористые, так что через них происходит обмен концентрацией (по закону, аналогичному закону Ньютона для конвективного теплообмена) с внешней средой. Концентрация газа во внешней среде равна п(1). Поставить краевую задачу об определении концентрации газа и при 1 ) 0 в трубке, когда: а) частицы газа распадаются (например, неустойчивый газ), причем скорость распада газа в каждой точке полости трубки пропорциональна корню квадратному из его концентрации; б) частицы газа размножаются со скоростью, пропорциональной произведению ииг в каждой точке полости трубки. 126.
Однородный шар радиуса )с с центром в начале координат нагрет до температуры Т. Поставить краевую задачу об остывании шара для случаев, когда: а) в каждой точке этого шара вследствие химической реакции поглощается количество тепла, пропорциональное температуре и в этой точке, а поверхность 3 шара теплоизолирована; б) в шаре имеются тепловые источники постоянной мощности Я, а на его поверхности 5 происходит конвективный теплообмен с внешней средой нулевой температуры.
Задачи, приводящие к уравнениям эллвптического типа. К уравненяям эллиптического типа приводит изучение установившихся (стационарных) процессов. Так, например, если в рассмотренных выше задачах считать, что искомые величины не зависят от времени, то полученные для их определения уравнения (когда число пространственных переменных больше единицы) все являются эллиптическими. 127. Поставить краевую задачу об определении. установившейся (стационарной) концентрации неустойчивого газа в цилиндре радиуса г, и высоты Ь, если в цилиндре имеются источники газа (вследствие химической реакции) постоянной мощности Я, а скорость распада газа пропорциональна его концепт. рации и, для случаев, когда: а) на основаниях цилиндра г= О и г =й концентрация газа поддерживается равной нулю, а боковая поверхность цилиндра газонепроницаема; б) основания г= О и г=й цилиндра пористы (через них происходит диффузия по закону, аналогичному закону Ньютона для конвективного теплообмена), а иа боковой поверхности поддерживается нулевая концентрация газа, при этом концентрация рассматриваемого газа во внешней среде равна нулю.
128. Пусть и (х, у) и о(х, у) †компонен скорости плоского установившегося потока несжимаемой жидкости в точке (х, у); 0 — произвольная односвязная область плоскости потока, ограниченная гладкой кривой Б с нормалью т и касательной а. Пользуясь выражениями ) (исоа»х+осозту)дЯ соответственно для потока жидкости через контур Я и для циркуляции жидкости вдоль 5 (в предположении отсутствия источников и циркуляции)„показать, что величины и и о удовлетворяют системе уравнений и„+ пт —— О, и„— о„= О, а каждая из этих величин — уравнению Лапласа. 129. Показать, что потенциал скоростей ~р(х, у) и функция тока $(х, у), определяемые из равенств ~р„=и, <рт —— о, ф„= — о, ф„=и (и и о — те же, что и в задаче 128), являются решениями сйстемы Коши — Римана р„— Р„=.
О, р„+ф„= О, а каждая из этих величин удовлетворяет уравнению Лапласа. 130. Определить физический смысл равенства ф=сопз1, где ф(х, у) — функция тока (см. задачи 128 и 129). 131, Пусть в состоянии изгиба мембрана находится в равновесии, т. е. функция и, изображающая изгиб мембраны, не зависит от времени, и поэтому в выражении (17) остается только потенциальная энергия У. Следовательно, если пренебречь степенями и„, и„ выше второй, функция и(х, у) в силу принципа Гамильтона должна минимизировать интеграл Дирихле 0(и)= ~$ (и„'+и„') Ихду, а где 0 — область, занятая мембраной в состоянии покоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
