1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 15
Текст из файла (страница 15)
и„(0, 1) — Ьи(0, 1) =и, и(1, 1)=р, и(х, 0)=ф(х), и,(х, 0)=»(»(х), Ь>0. 478. и„= а'и„„+1 (х), и„(0, 1) = а, и„(1, 1) + Ьи (1, 1) = р, и (х, 0) = и, (х, 0) = О, Ь > О. 479. им=и и (0,1) — Ьи(0, 1) =сс, и„(1, 1)+Ьи(1,1) = — »х, и(х, 0)=0, и,(х, 0)=0. Пользуясь заменой и'(х, 1) =о(х, 1)+и(х,!), подобрать функ- цию ю (х, г) так, чтобы приведенные ниже задачи редуцировалнсь к задачам для неоднородного уравнения — о„= г' (х, 1) с одно- родными краевыми условиями н соответствующим образом изме- ненными начальными условиями: 489.
и„,=им, и(0, 1)=р(К), и(1, 1)=ч(1), и(х, 0)=<р(х), и,(х, 0)=ф(х). 481.'и„„=и„, и„.(0, Х)=и(1), и(1, 1)=т(Е), и(х, 0)=<р(х), и,(х, 0)=0. 482. и„„=им+~(х, Е), и(0, 1)=р(1), и„(1, 1)+йи(Е, 1)=т(1), й> О, и (х, 0) = О, и, (х, 0) = ф (х). 483. и„„=им+~(х, 1), и,(0, У) — Ьи(0, Ю)=)г(1), Ь>0, и„(1, 1)=т(У), и (х, 0) = <р (х), и, (х, 0) = ф (х). 484. и„,=им. и„(0, 1) — йи(0, 1)=-р(1), и„(1, Ф)+ди(Е, Е)=ч(1), й>0, а>0, и(х, 0)=0, и,(х, 0)=0.
В полуполосе О <х <1, 1> 0 решить смешанные задачи для уравнения и„= а'и„„+((х, 1) с начальными условиями и (х, 0)=0, и~(х, 0) =0 и следующими граничными условиями: 485. и (О, 1) = и (1, 1) = О, ( (х, 1) = Ае ' з)п — х. 486. и(0, М)=и(1, Ю)=0, 7(х, Е)=Ахе ~.
487. и(0, ()=и,(1, 1)=0, 7(х, 1)=Аз(п(. 488. и(0, Ю)=и„(1, Ю)=0. 489. и„(0, 1)=и(1, 1)=0, ((х, 1)=Ае 'соз —,х. 490. и„(0, 1)=и„(1, 1) =О. Решить следующие смешанные задачи: 491. и„„=иго и(0, 1)=Р, и(п, 1)=(з, и (х, 0) = з)п х, и,(х, 0) = О, О < х < п, 1 > О. 492. и „=и„, и(0, 1)г а ', и(п, 1)=Ю, и(х, 0)=з(пхсозх, и,(х, 0)=1, 0<х<п, 1>0. 493. и„„=ии, и(0, ()=1, и„(п, Е)=1, и (х, 0) = з)п — х, и,(х, 0) = 1, О < х < и, Е > О, ВО 494. и„=а'ихх, и„(0, 1) =О, х Аа сь— а и(х, 0)= —, и, »Ь— а 0<х<1, и» (1> 1) х Аа сп— а (х, 0)= —— зь— а 495. ии — — а'их„+з!и 21, и (О, 1)=0, их(1, 1)= — з!п — з!п21, 2 2! и(х, 0)=0, и,(х, 0)= — 2соз —, 0(х< 1, 2» 496.
Указать задачи, к которым при разделении переменных и(х, у, 1)=о(х, у)ш(1) редуцируется смешанная краевая задача их»+ 脄— ии = О, (32) и(х, у, 1)=0, 1)0, (х, у)ЕС, и (х, у, 0) = <р (х, у), и,(х. у, 0) = ф (х, у), (х, у) Е б, где б — 'область плоскости переменных х, у с границей С, а ~р (х, у) и ф(х, у) — заданные непрерывные функции. 497. Доказать единственность решения смешанной краевой задачи (32), (33), см. 496. Для задачи ох»+о»»+Ли=О (х~ у) ЕО (34) о(х, у) =О, (», у) ЕС, (35) где 6 †плоск область с границей С, а Л вЂ параме, пока- зать, что: 496.
Собственные числа положительны. 499. Собственные функции о,(х, у) и о„(х, у), соответствую- щие собственным числам Л„и Л, Л„~Л„, ортогональны, т. е. ~о„(х, у)о (х, у)ахду=О. а 500. Пренебрегая реакцией окружающей среды, определить поперечные колебания прямоугольной мембраны 0< х< е, 0 <у< р с жестко закрепленным краем для случаев, когда: а) начальное отклонение мембраны равно з!и — х зш — у, а на- Б Р чальная скорость равна' нулю; б) в начальный момент 1 =О мембрана получает поперечный сосредоточенный импульс 1 в точке (х„у,), 0 < хр ( 3 О ( у ( рх а начальное положение — покой; в) колебания вызваны непрерывно распределенной по мемб.
ране поперечной силой с плотностью 1(х, у, 1)=е 'хз!и — у. 2а Р 8! 501. В прямоугольной мембране 0<х<з, 0<у<р часть границы х = з, О < у < р и у = р, 0 < х < з свободна, а остальная часть закреплена жестко. Пренебрегая реакцией окружающей среды, найти поперечные колебания мембраны, вызванные: а) начальным отклонением Аху; б) поперечным сосредоточенным импульсом 1, сообщенным мембране в начальный момент 1=0 в точке (х„у,), 0 <х, <з, 0 < уо < Р 2'.
Задачи для уравнений параболического типа В полуполосе 0 < х < 1, 1> 0 для уравнения и,=а'и„„решить смешанные задачи со следующими условиями: 502. и (О, 1) = и (1, 1) = О, и (х, 0) = Ах. 503. и(0, 1)=и„(1, 1)=0, и(х, 0)=ср(х). 504. и„(0, 1)=и(1, 1)=0, и(х, 0)=А(1 — х). 505.
и„(0, 1) = и„(1, 1) = О, и (х, 0) = У. 506. и„(0, 1)=и„(1, 1)+Ьи(1, 1)=0, и(х, 0)=юр(х), Ь') О. 507. и„(0, 1) — Ьи(0, 1)=и(1, 1)=0, и(х, 0)=У, Ь) О. 508. и„(0, 1) — Ьи(0, 1) =и„(1, 1)+Ьи(1, 1) =О, и(х, О)=и, Ь>О. В полуполосе 0 < х <1, 1> 0 решить следующие смешанные задачи: 509. и,=а'脄— ри, и (О, 1) = и (1, 1) = О, и (х, 0) = <р (х). 510. и, =а'и „вЂ” ри, и(0, 1) =и„(1,1) =О, и(х, 0)=з(п —.
511. и,=а'脄— ри, и„' (О, 1) = и„(1, 1) = О, и (х, 0) = ~р (х). 512. и, =а'脄— ри, и„(0, 1) — Ьи (О, 1) = и„(1, 1) =О, и (х, 0) = (1, Ь ) О. 513. и, = а'и„„, и(0, 1) =7, и(1, 1) =У, и(х, 0) =О. 514. и,=а'и„„+~(х), и(0,1)=0, и„(1,1)=д, и(х, 0)=*(р(х). 515. и, =, а'и„„, и„(0, 1) = и„(1, 1) = су, и (х, 0) = Ах. 516. и,=а'и„„, и(0, 1)=Т, и„(1, 1)+Ьи(1, 1) =У, и(х, 0)=0, Ь> О. 517. и,=а*脄— ри+ айп —, и(0,1)=и(1,1)=0, и(х, 0)=0. 518. и, =а'и„„, и(0,1)=0, и„(1,1)=Аз ~, и(х, 0)=,Т. 519, и,=а'и„, и„(0,1)=А1, и„(1, 1)=Т, и(х, 0)=0. .
520. Начальная температура однородного шара О < г < )с радиуса Я с центром в начале координат равна Т. Найти температуру шара для случаев, когда: а) поверхность шара поддерживается при температуре, равной нулю; б) внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности а. 521. Начальная температура бесконечного прямоугольного стержня 0<х<р, 0<у<а, — оо < г< ос является произвольной функцией 1(х, у).
Определить температуру в стержне, когда: ' а) часть поверхности стержня х=О, 0 <у < а теплоизолирована, а остальная часть его поверхности поддерживается при нулевой температуре; б) на части поверхности х = р, 0 < у < з происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру, часть у=О, 0 < х < р — теплоизолирована, а остальная поверхность стержня поддерживается при нулевой температуре.
522. В кубе 0<х, у, г<1 происходит диффузия вещества, частицы которого распадаются со скоростью, пропорциональной его концентрации. Определить концентрацию вещества в этом кубе, если начальная концентрация вещества в нем постоянна и равна У. Концентрация вещества на границе куба поддерживается равной нулю. 3'. Задачи для эллиптических уравнений 523. Найти решения и(х,у) уравнения Лапласа в прямоугольнике 0 < х < р, 0 < у < з, удовлетворяющие соответственно краевым условиям: а) и (О, у) = и (р, у) = О, и (х, 0) =О, и (х, з) =1(х); б) и„ (О, у) = и„(р, у) = О, и (х, 0) = А, и (х, з) = Вх; в) и(О,у)=У, и (р, у)=0, и„(х, 0)=Тейп — "", и(х, з)=0.
зр 524. Найти решения уравнения Лапласа в полуполосе 0 <х< со, 0<у <1 соответственно по краевым условиям: а) и(х, 0)=и„(х, 1)=0, и(0, у)=1(у), и(ос, у)=0; б) и„(х, 0)=й„(х,1)+*ли(х, Е)=0, и(0, у)=1(у), и(ао,у)=0, Ь)0. 525. Найти гармонические функции и(г, 5р) внутри кольна а< г <Ь, удовлетворяющие соответственно краевым условиям: а) и(а, ф)=0, и(Ь, гр)=созгр; б) и (а, ~р) = А, и (Ь, гр) = В а!п 2ф; в) и, (а, гр) = г) соз 5р, и (Ь, гр) = (',)+ Т з!и 2ф.
526. Найти гармонические функции в круговом секторе 0 < г < г(, 0 «р < а, удовлетворяющие соответственно краевым условиям: а) и (г, 0) = и (г, гх) = О, и (Я, 5р) = А~р; б) и (г, 0)=и(г, гх)=0, и()(, ф)=((гр). $2. Специальные функции. Асимптотические разложении 1в. Задачи с использованием специальных функций Как уже было отмечено выше, при решении ряда смешанных задач с одним пространственным переменным часто приходится иметь дело с обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями второго порядка, коэффициенты которых ири старших производных в отдельных точках рассматриваемого интервала обращаются в нуль. Решения зтнх уравнений принято называть слециавьныии функциями.
К такому классу обыкновенных дифференциальных уравнений относятся, например: 1. Уравнение Бесселя хзо +хо +(хз — рз) о=о, р=соп51, решения которого называются бесселевыми или цилиндрическими функциями порядка р. х. Уравнение Чебышева (1 — хз) о" — хи*+яви=о, л=сопз1, решения которого называются функциями г!вбышдва. 3. Уравнение Лагерра хо" +(! — х) и'+ко=о, к — соне!, решения которого называются функциями Лагврра. - 4.
Уравнение Лежандра (1 — х')о' — 2хд" +ш(ш+Цо=о, а=сонь!, решения которого называются функциями Лежандра. б. Уравнение для присоединенных функций Лежандра (1 — хз) е" — 2хо" + ( ш(ш+ 1) — 1 о=о, 1 — х'! т = сонь!, л сапы. 527. Показать, что для бесселевых функций ОР ха+ йз 1л(х)= ~~~~( — !) з~+чч,~(„! а)~, л=), 2,... имеют место тождества 1 ( х ) + 1 ( х ) Ж 1 ( х ) 529. Показать, что 1;(х) = — 1,(х), 1,(х) -- [1.
(х) — 1,(х)). 530. Проверить справедливость тождеств (а' — Я х1„(ах) 1„' ([)х) = = — „[х1„(ссх) — „1„([)х) — х1„(рх) — „1 „(ах)~, 4 И Н 2а~х1„'(ох) = — „((а~х' — л') Р„(ах) + [ х — „„1„(ах) ~ ~, где а и р — постоянные, а п) — !. 53!. При п > — ! показать, что: если 1„(и)=1„([!)=О, то ~ х1„(ах) 1„(3х) г(х = О, о 1 ) х1'„(ах) ох = — 1'„,;(а); о ггФР а если 1„+,(а)=0, то 1 ~ х1'„(ах) йх = - 1'„(о). о 1„, (х) — 1„+, (х) = 21'„(х), х1„'(х) = — х1„+, (х)+ а1„(х). 528.
Проверить справедливость интегрального представления для бесселевой функции 1 о вывести формулы У ! (х) = !гг — в1пх, / 2 1 !'(х)= ~ — совх. / 2 2 535. Показать, что заменой х=совЬ уравнение Чебышева (1 — х') о" — хо'+ а'о = 0 приводится к виду «г««« — +и'и =О, «ИР где и (Ь) = о (сов Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
