1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Следовательно, функция (/(х, С) при х)0, С)0 явлнется искомым решением, т. е. и(х, С) =У (х, 1). Чтобы преобразовать полученное решение к виду, приведенному в ответе,. рассмотрим случаи: 1) х>0, х — а1 >О (1<х/а). Поэтому и(х, 1)= х а а+а ((-т) ( х+а ((-т) 0(х, ()= — ~ ~ г" (г,т)((хат+ — ~ ~ 1(г, т)тгА= 1 Г Г 1 2а 2а О х-а О-т] х х-а О-т) а х (— !— а «. а х+а ((-т) à à — !( — г, т)((гА+ — )Г - ~ )(г, т)((г((т+ ! — 2..) 2а,) О х-а ((-т) о о ( х+а и-т) 1 ~ ~ (замена в первом ) х х-а ((-т) а х а х+а О-тЛ х+а ((-т) 1 2а — ) (г, ) ((г бт+ — ~ ') 1(г, ) ((г (( .
2а а ((-т)-х х х-а ((-т) (в а г хеа ((-т) — )(г, т) Ыг((т, х > О, 1 <- —, ! Г Г х ,),)О, х (в а а ((-т]-х х+а 0- т) — + ~ !(г, т)дгбт+ О О о С х+а ((-т) + — ~ ) ~(г,т)бздят, х>0, 1>-, 1 Г Г х х х-а ((-т) —. а 294. и(х, () = Чтобы получить этот вид решения, продолжим функцию ] (х, 1) относительно точки х=О по переменной х четно на всю ось х, т. е. построим функцию .г" (х, 1) = =( /(х. 1), х>0, 1( — х, (), х<0, и рассмотрим задачу Коши: у((=ОЧ/„„+Г(х, Г), ' — со < х < ао, ( > О, ()(». О)=()((х, О)=О, — ° <х< 149 Далее использовать процедуру, изложенную в ответе к задаче 293, учитывая, однако, четность функции г" (х, Г) по переменному х. 295.
Решение искать в виде и(х, С)=о(х, ()+ю(х, (), где о(х, 1) и ш(х, 1) — решения задач 291 и 293 соответственно. 296. Решение искать в виде и(х, ()=О(х, ()+ю(х, 1), где о(х, 1) и ш (х, () — решения задач 292 и 294 соответственно. 297. Так как режим на границе вызывает волну, раснространяющуюся от края (х=О) в направлении оси х, то решение задачи ищем в виде прямой волны и(х, С)=/(х — а«). Из начальяого условия получим и(х, О)=/(х)=0, х> О, откуда непосредственно следует справедливость условия и«(х, 0) = — а/*(х)=0 при х > О. Из краевого условия находим и(О, «)=/( — а«) = =Р(С), С > О. Таким образом, /(г) =0 при г )О и /(г) = р( — г/а) при а~О, и, следовательно, -(' О, 0< «~х/а. и(х, С)= р (« — х/а), С ~ х/а О, О<«~х/а, «-х/а — а ) т (з) йз, С =ь х/а.
о 293. и (х, С) = Решение, как и в предыдущей задаче, следует искать в виде прямой волны и(х, С)=1(х — а«). О, 0 < С~х/а, 299. и (х, С) = — ае" ш - а«~ ~ еа"'н (з) с«з, С 'ль х/а. о Так как источником колебаний служит возмущенный край (х=.О), то решение задачи ищем в виде прямой волны и(х, «) =/(х — а«). Из начального условия находим и (х, О) =/ (х) =О, х > О, откуда непосредственно следует, что и«(х, 0) =О, так как и«(х, 0) = — а/' (х) =О, х > О.
Из краевого условия находим и „(О, С) — пи (О, С) = /' ( — аС) — й/ ( — а«) = н («), С = О, или /' (г) — /г/ (г) = = н ( — — ~, га О. Интегрируя последнее уравненйе, получим а / -г/а /(г) = — аеаг ~ гагик (з) Нз, г ~ О. о Таким образом, О, г > О, /(г) = — аг~ ~ е'"'н (з) Нз, г~ О. о )50 Полагая здесь г=х — а«, получим приведенный выше ответ.
300. Решение искать в виде и(х, С)=о(х, С)+ш(х, С)+г(х, С), где о(х, «), ш(х, С), г (х, С) — решения задач 291, 293 н 297 соответственно. 301. Решение искать в виде и(х, С)=о(х, С)+ы(х, «)+г(х, С), где о(х, С), м(х, «), г (х, С) — решения задач 292, 294 и 298 соответственно. ! 302. и(х, С)=ху« — — хуИ. -6 303. Действительно, если ш(х, у, «) — однородный полипом степени и — 2т~О, то, ввиду того, что по свойству однородных функций хш +уши+ + Сш«=(а — 2гл) м, имеем ! ) шрзн=2гл (2л — 2гл+ !) шрзм-и ран (-) и, (*) Ф Рассмотрим функцию из (х, у, С)=о+ ~ Аарза()во, где Аа — постоянные, ' ь =! а о — однородный полипом степени л.
Пользуясь соотношением (э), можем написать Д и! = Д о+ ~ ~А» (2» (2л — 2»+ !) рэ"-э Д" о+рэ" Д"+ ! о), »=! В предположении, что 2»(2л — 2»+1) А»= — А»,, й)2, 2(2л — !) Ад= — 1, получаем Ди,=0. Если теперь принять До=Ф. и=из+о, то получим Ди=Ф, что и требовалось. 304. См.
задачу 135. 305. Их всего семь: хэ+Зхгэ, азу+у!э, хуэ+хСэ, уэ-).3уСэ, хэС-(- — Сз 1 3 уэС+ Сэ хуС 1 8 800. При я= 1 их число равно двум. Когда же я ~2, искомые многочлены могут быть получены из формулы (7) в виде Ю и(х, ... х, С)= г — о"'х '...х " и а лэ(2 )! ию = 0 О (2ш+ 1)! т=! где х,'... х„", х",' ... х„" — линейно независимые одночлены степеней й и С»+л — ! Уй - — 21 й — !. Поскольку их числа равны соответственно ~ ) и ~ '1л — ! ) 1п — 1 то число ! искомых полиномов определяется формулой ~ »+и — !) (й+л — 2) э 309 й= ' 31! Х "'ь ="'э+! ° ! э+э' 812.
Если искать решение и уравнения (5) как функцию г, С, то в этом случае (см. задачу 132, г) уравнение (5) можно записать в виде откуда находим (см. задачу 259) ги(г, С)=Сг(г+С)+Сэ(г — С). л 'ц В дэ 314.. Пользуясь записью оператора Лапласа т — в сферической системе ! дхэс координат, получаем выражение и(х,, х„хэ С)=Д(!р(г+С)+ф(г — СП= 1 С да дэ г ~ дг' дгэ =2г з(гр'(г+С)+ф'(г — С)! являющееся решением уравнения (5) (см. задачу 312.) 151 315.
Пользуясь представлением решений вада и (г, !) уравнения (5) (см. задачу 3!2), получаем г+г (г+1) ср(г+!)+(г — 1) вр(г — 1) 1 2г 2г,) г-г При решении задач 316 — 321 лучше пользоваться формулой (7), в которой положить т(х)=и(х, 0), т(х)=ид(к, 0). ввв 1 вв вз вв 316. и=хдххв+хдхвхв(+ — (хдхв+хдхв+хвкв)гз+ 3 -'; — (кд+хз+кз) !в+ — П. ! в в в 1 15 Нб 317. и =хд~+кв+хв+Згв+ кдхв1. 318. и=эх' сов хв+Г (хд — хвв).
319. и=хд+хв+1+21в. 320.'и=е ' ейт+е-х эЫ, 32!. и = —,' хд — Гв 322. Достаточно показать, что решение и(х, 1) однородной задачи и, +и — и!в=О и (х 0)=ив (х О) 0 тождественно. равно нулю. Пусть (хдв, хвв, !в), Гв > О, — произвольная точка, а К вЂ кон переменных х„ хв, С ограниченную конусом К и плоскостью 1 =О. Интегрируя по области дэ очевидное тождество (их,)г+(их,)д +(йд)д — 2 (и!их,)х,— 2 (иди„,)„,=0, пользуясь при этом формулой Гаусса — Остроградского н равенствами и (хд, х, 0) = = ид (хд, кв, 0) = О, получаем 1 — ((их,чв — идчд)'+(ихвчв — идте)') ба =0 тв гс где тв — — 1/ Гг 2, т, +таз=та. Следовательно, на К Равны нУлю внУтРенние пРоиэводные их,тв — идт, и ихвтв — идчв, а это означает, что и=сонэ( на К, т. е.
и=Она К. В силу произвольности точки (хы хз, 1) заключаем, что и(х„хм!) =0 в в всюду в области определения (распространення) волны. 323. т (тд+тв+та) 324. Нет, ибо рассматриваемая функция не удовлетворяет волновым уравнениям. 325. Скорость волны равна аг'3/ 3. 326. Параллелограмм, ограниченный прямыми: х — 51=!д, к+51=(в, к+51=(д, х — 51=!в. 327. Область, ограниченная конусами: )гктд+кв=! — 1, 0~1~1, Ухд-(-ха=4 — К 0~1~4, )г хд+квв — — 1+1, — 1~1~0, )г хд~+хвв=4+1, — 4~1~0. 152 323. Область, ограниченная конусами: 329. Общая «областьз .'влияния состоит из двух областей, ограниченных прямыми х — != — 1, х+/=1, / > 1; х — !=1, к+1= — 1, ! < — 1, 330. Так как прямая х — !=О яиляется носителем данных ди и(к, к)=/т(х), — =<Р1(х), дт то в силу (10) /(2х) + гр(0) = /т(х), )/ 2/'(2к) = ~р((х) или /(х) = ('х ) 1 (х1 = /з ( — 1! — ~р(0), /'(х)= — ~рт (.— 1 .
Следовательно, задача будет иметь решение, лишь когда /з (х) 1/ 2 ог (к). При соблюдении этого условия, решение задачи дается формулой и (х, !) =/г ( — ) — ~р (0)+ ~р (х — г), /х+ И 2 / где гр — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, и, стало быть, оно не единственно. 1 331.
Носителем данных Коши могут служить прямые /= — к лишь при и )й( ~ 1. а) Предполагая, что й > О, й ~ 1, т =(1/ и' 2, 1/~ 2) и носителем данных 1 является отрезок АВ прямой 1= — х, где А='А(0, О), В=В(1, 1/й), и й ди ~ и ~ = /г (х), — ~ = уз (х), 0 ~ х и, 1, !АВ дч !АВ нз формулы (10) получаем / ~ — х)+ <р ~ — х) =/,(х), )/ 2/' ~ — х) = <р„(к), 0 ~ х ~ 1. , /й+! Следовательно х /(х) == ~ уг ~ — т) ит+/(0), )/ 2й ~3+1 о — х ь-! / й Д 3+1 Г ~р (х) =/г ( — х ) — ' ( ~р, (т) Ыт — /(О), й)' 2,) о 153 и.искомое решение записывается в виде — 1х+ 11 а е+1 п(х Г)=1 ~ (х — )!+ — ) т (т)" .
й+1 г йф' 2 з — 1х- Г) е-1 б) Областью зависимости для точки (х, /) является пересечение отрезков Г й 1 0 Г й АВ и СР, где С=С ~ — (х — г), — (х — !)~, Р=Р ~ — (х+1). — — (й+! 1 й+1 — (х+1)~, прямой х=М. Области влияния ограничены прямыми соответ- 1 1 огненно х+!=О, х=й!, х — 1=! — и х — !=О, х=йг, х — 1= — С й ' ' я Областью определения является прямоугольник, ограниченный прямымн ! 1 х — !=О, х — 1= — — !, х+!=О, х — 1=! —. й в) Устойчивость решения следует из формулы, дающей зто решение.
332. Носителем данных годится любая дуга 5 рассматриваемой окружно- сти, расположенная внутри ее дуг с концами в точках А(1/)/ 2, 1/У 2) и В( 1/У 2, 1/$' 2), В ( — 1/ )/ 2, 1/ )Г 2) И С ( — 1/ )г 2 — 1/ )/ 2) . С ( — 1/ )~2, — 1/ У 2) и В (1/ )Г 2, — 1/ У 2), В (1/ У 2, — 1/ $' 2) и А (1/ $~ 2, 1/-'г' 2) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
