1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 31
Текст из файла (страница 31)
о С помогцью замены переменных 5=У, (=у — к(Ь, и(х, у)=и٠— Ь(, ь) = о'($, !) исходная задача приводится н задаче ойй — о(=0, О < $ < 1, О < ! < 1, . РД, О)гФ Щ, й)=р(Ьй), О~й~(, о (О„() = и ( — Ь(, 0) = О, о (1, !) = и ( — Ь(, 1) =О, 0 ~ ( ~ 1, решение которой (см.
задачу 409) имеет вид Ф о($, !) = Ч»' аа й!и Ьлте "'и', а=! ! аз=2 ~ гр(Ьй) з!ойле»($, й=!, 2, ... о — ( — к+у ~ Р 443. и(х, у)=е ' » е!их. Сделать замену искомой функции по - — к формуле и(х, у) =е о(х, у), в результате чего постановка задачи упро- щается. Ф ~ (к-1) ° Р (»-а)г~ 1 449 и(х У)=*= ~ е !. Р -г гр(з) гга, гр(х) непрерывна, 2 Ь/л( Ф Р вЂ” к а е гр(х) ограничена при — го < к «о. 3 460. Если искать функцию и(х, () в виде и(х, () =е-)"(о(х, (), то для о(х, !) получим уравнение Гельмгольца о»»+Раз+)»го=О, которому удовлет. воряют функции Ха ()( ) соз йгр и /а ()»г) ып Ьгр (см. задачу 227).
461. и(х, у, !)=е-ьгк'з()»г). 462. Параболический. Соответствующая уравнениЮ (6) характерястическая /л гз »» Кгг,.... г.. ».,»Ф~ тг!) ° » ° » Ф г..м (Ф! 173 [л121 са 466. и(х, с)= ~~~~ Ь с[сер„(х). ь=о Ь! -1 се+се!з с, 464. и(х, 1)=е ' ' "' сйп1,х,соз1„х„. 466. Параболический (см. ответ к задаче 462). [лАЧ ~-ч сея 466. и (х, 1) = ~ — АсзРл (х). (2Ь)! ' л 467. и(х, 1)=з!пхсс[сс+созхсз[сс. ГЛАВА )С 466.
требуемый набор имеет вид иь(х, 1)=ос„(х) ех (1), где ос (х), шь (1)— решения обыкновенных дифференциальных уравнений о" (х) + Хо (х) =О, ш" (1)+)яо (1) =О, соответственно, 469. Задача имеет бесконечное множество решений вида пл пл 1 , пл и„(х, 1)=(алсоз — 1+без!п — 11! з!п — (х — Ь), л=1, 2, ..., Ь вЂ” а " Ь вЂ” а 1 Ь вЂ” а где а„, ܄— произвольные действительные постоянные.
460. и (х, 1) = ~я~~ ~(а„соз лс+ Ь„юп лс) з! и лх, а=с где а„= — ! ср (х) а[п лх с[х, Ь„= — ф (х) сбп лх с[х. 2 г 2 Р и л — ил 1 о 461. Да. Чтобы убедиться в атом, достаточно показать, что при ср(х)= =ф(х)=0, О~к~и, задача имеет только тривиальное решение. Известно, что задача [(оши и„.=им, и(х, 0)=ис(х, 0)=0, Оя,ха и, в треугольнике с вершинами в точках А (О, 0), В (и, 0), С(п12, и/2) имеет только тривиальное решение и(х, 1) =О.
Решение и (х, 1) рассматряваемой задачи равно нулю и в треугольнике с вершинами в точках А (О, 0), С(л/2, п12), Р(0, п12), Действятельно, интегрируя очевидное тождество — 2 (ихис)х+(их)с+(ис)1=0 по треугольной области с вершинами в точках А (О, 0), Сч(т, т), Рт(0, т) прн любом фиксированном т, 0 < т < л/2, ввиду того, что и(х, 1)=0 на отрезках АСч и АРт получаем ( из+ из) с[х = О.
ст пч Следовательно, и„=и!=О вдоль РчСт и, стало быть, и(х, 1)=0 в треугольнике АСР. Аналогично доказывается. что и(х, 1)=0 и в треугольнике ВСР„ где Рс=Рс(п, п12). Таким образом, имеем и (х, л12) = ис(х, пс2) = О, 0 ~х ( сс. Повторяя приведенное выше рассуждение, заключаем, что и(х, 1)=0 всюду в полуполосе О~я~я. 1 ьО. 174 462. и„(х, 1) =(а„сов(а+ !/2) 1+Ь„в!п (и-)-!12) 1) з!и (а(- !12) х, где а„, ܄— произвольные действительные постоянные, а=О, 1, ... 1 .
2яа . 2п 4ВЗ. и(х, 1)= — в!п — 1в!и — х. 2па 464. и (х, 1) =~ (а» сов — 1+ Ь„з!и — 11! з!и — х, айп . айп т, йп »=1 л 1 ) 2 Г , йп ' 2 Р , йи а»= — ат ~р(х)в!и — хдх, Ь»= — 6(х)а!и — хй~, =13 о 2!, ап и 5ап , 5п 465. и(х, 1)= — з!п — 1в!п — к+сов — 1в!и — х. ап 21 21 х! 21 21, ап и 21, Зап . Зп 466. и(х, 1)= — вбп — 1 в!и — х+ — з!и — гвгп — х+ ап 21 21 Зал 2! 21 + 4В7. и(х, 1)='сов — 1сов — х+ — в!и — 1сов — х+ аи л 21 . Зап Зп 21 21 3 оп' 21 21 21, 5 оп 5п + — з!и — 1 сов — ха 5ал 21 2! 468.
и(х, 1)= . (2й+!)ап, (2»+1)ап 1 (2»+!)к »=о с а»а~ — Зт ~р(х) соз 2 Г (2»+!)и 4 2й !и 1,) 21 ' (2»+1) ап 3 хФх, Ь»= ! чр(х) сов ( ) хе(х. 21 о о СО Ф 430. и(х, 1) =аз+Ьз1+~~~ (а» сов — 1+Ь»в!и — 1) сов — х, »ап, йап т йл »=! 1 1 ) 1 ! 1 Г 1 Р а,= — ! <р(х)с!х, Ь,= — (6(х)дх 1.) В о о 2 !" йл 2 и йл а»= — (р(х) сов — хах, Ь»= ~ ф(х) сов — х ах 1,) йап а о о М 471. и(х, 1) = ~>' (а» соз аХ»1+Ь» в!и аХ»1) з!и Х»х, »=! ! ! а» = .,„, ~ ы (к) з ! п "ь» х Нх, о 1/Л ЬЛ с12 Ц= — ~ — --с! Хл †неотрицательн корни уравнения 47о. и (х, С) = о (х, С) + нс (х), где Ф о(х, с)= д олсон св!п — х, йап .
Ьп »1 С 1 а»= — со(х) в!п — хс(х; 2 св . Ьп «Г" 1 !у а ( ) = — р! ~ ~ )(р)А~с(у+~в , ~~ с(в)ав Ф+ —, +а. о о 176 с 1 Ьл= ., ~ „р(„),1„Х»„,С„ о ))6!и Хлх!!в — »1пв Хллс(х +»)+ 1(й Хй) Ь 2 (Ьв+Лль) ° Хл †положительн корни уравнения Ь 1я Х1=- Х, 2Ь:кв . )~йв+Лл 472. и(х, 1) — ~ + л в!пайлс сов йлх, а ла'ас Ллс(йв+Лл)+Ь7 л л ° Хл — положительные корни уравнения Х 1и И =Ь Ф 473. и(х, С) ,'Ц (ал сов аХ»С+Ьл в!п аХ»С) (Лл сов Хлх+Ь в!п Хлх), с 1 ал * —, (Лл сов Ллх+ Ь в)п Х»х) ~р (х) с(х, с 1 т с Ф (~~$ в ~ о св(вв- )(в, *л,.~~а вв « ' "Х '.|~"-, о 2 Хл-положительные корни уравнения Ь с!и Ц* Х.
474. и (х, С) = 'Я (ал сов аЛ»с-1- йл в!п аХ»С) (Л» сов Хлх+ Ь и!п Хлх), л 1 1 а»= — ! (Хл сов Ллх+Ь в)п Хлх) йс (х) с(х. !) Фл (х) !(в 41 'с -1 й» = „, (Лл сов Хлх+Ь вся Хлх) вР (х) с(х, '!) Фл (х) !!. = (Лл сов Хлх+Ь в!п Хлх)'с(х= ' () Еапд' Т,(Е)+( — ) Т,(Е)=Ае-е, тз(е)+(ь'-,")'та(е)=о, ь=2, з, ... Из (а) н начальных условий задачи находим Те,(0)=Та(О)=О, Ь=1, 2, Решая уравнения (в) н (г) с использованием условий (д), получим Т (Е)= А / ап 1 .
ап , (е-Š— соз — 1+ — ойп — 1), (ап)е~ 1 ам ! )' Та (1)ме О, Ь= 2, 3, ... (г) (д) !78 ' 479. и(х, 1)= — Ь+ а ! + 4а у г .. з „(Хз„+!созХшетх+Ье!пХз„+!«)создан+!Е, ~"' Хш~~[2Ь+!(Ь~+ Ьш~ы! 1/Х Ь1 где Хз +г — положительные корни уравнения с!яд!= — ( — — — ) . а 2 ~Ь Х)' 480.
ш(х, 1)=(! — — ) )г(Е)-)- — т(1). ш(х, 1) искать в виде в(х, Е)= х~ х 1) (аз«+()„) )ь(Е)+(азх+Оз)т(Е). Потребовав, чтобы ю(х, 1) удовлетворяла (неоднородным) краевым условиям задачи, определить козффициенты им гее ()е. 48!. ш(х, 1)=(х-!) р(Е)+т(1). См. указание к решению задачи 480. Ьх х 482. ш(х, Е) =(1- — ) „(Е)+ —.(Е). !+18 ) !+ ЕЬ 483.
ю (х, Е) = — — р(Е) + («+ — ) т (Е) . Ь ~ Ь) 484. ге(х, П вЂ” (8( ) ) ! ()+( + ) (). См. указание к решению 8+ Ь ( ! + 18) задачи 480. А / е ап 1 . ап ~ . и 488. и(х, Е)= — а~ е- — соз — Е+ — з!п — 1) е!п — х, +(ап)а~ ! ап ! ) ! Решение ищем в виде ряда и (х, е) ю ~ч~, 'ть (е) Фа (х), (а) а=! Ьп где Фа (х) = з!п — х — собственные функции спектральной задачи (Штурма— ! Лиувилля) Ф" +ЬзФ=О, 0 < х < 1, Ф(0)=Ф(1)=0, соответствующие собственнмм значениям Ла=йп/1, Ь=1, 2, ... Для определения козффициеитов Та(Е) РЯда (а) потРебУем, чтобы фУнкциЯ и(х, Е), опРеделЯемаЯ РЯдом (а), удовлетворяла исходному уравнению; получаем Еайпде 1 .
Ьп . и ! Ть (Е)+( — ) Та(Е)1 з!п — «=Ае-ее!п — х. (б) Из б след ет 486. а(х, С)= е ( — !)»+з ( »оп 1 дан ~ . Йа — (Иап) "~ ~ 1 Йап 1 2!А кт (е-с — соз — 1+ — з!и — С~) а!и — х. 4А с"1 1 21 . ап(2»+ !) ), (2»-)-!)и Х [3!и С вЂ” (21 + !) з!п С~ з!и х. 488. Решение задачи ищем в виде ряда и (х, С) = ~~~~сТ» (С) Ф» (х) (а) по собственным функциям Ф»(х) соответствующей спектральной задачи Штур. ма — Лиувилля (Ш вЂ” Л). Чтобы определить собственные функции Ф» (х), ищем (методом разделения переменных) нетривиальные решения вспомогательной задачи осс = азо„х, 0 < х < 1, С > О. и (О, С) = и„ (1, С) =О, С > 0 (б) в ваде Далее разложим функцию 1(х, С) также в ряд по найденным собственным функциям Ф» (х); 1(х, С) = ~,' т» (С) Ф» (х), (г) »=о т»(С)=-11(х,С)з!п — хдх, »=0,1, ...
2 Р, (2»+!)и 21 о Теперь приступим к определению коэффициентов Т» (С) ряда(а). Подставляя(а) и (г) в уравнение исходной задачи, получаем (Т»(С)+~ ~ Т»(С) — т»(С)~аш х=О, »=о откуда где Т»(С)+~~ 21 з! Т»(С)=т»(С),. ' й=о, 1, ... (д) Г(2»+ !) ап)з Аналогично, подставляя (а) в начальные условия исходной задачи, находим Т»(0)=Т»(0)=0, Й=О, 1, ... (е) о (х, С)= Р (С) Ф (х) ф О.
(в) Подставляя (в) в (б) и разделяя переменные, получаем для отыскания Ф(х) следующую задачу Ш вЂ” Л: Ф" (х)+ДзФ(х), 0 < х <С„Ф(0)=Ф'(!)=О, решая которую находим собственные значения»»= — и соответствую- (2»+ !) и 21 щие им собственные функции ,Ф»(х)=з!п х, Й=О, 1, ... (2»+ !) и 21 Решая задачи (д), (е), получаем с с»(с) „, т»(б) з!п 21 (с — з) з, »=о, 1, ... 21 Г (2»+ Ц ал подставляя найденные выршкення для Ф»(х) и т» (с) в (а), находим решение исходной задачи: и(х, 1) — ~' е — ~ т»(З)з!п — (С вЂ” $)сса з!п 21 1 ГГ .
(2»+ Цап Ч! . (2»+ Цл ° 2. Б+тЦ 21 2! х. » о 499. и(к, С)= — — ~ (е- — сов — С+ — е!п — С) соз — х. А С с ал 21 . ал 1 л /ал'! (! 21, ал 21 ) 21 ~ 21 ) 499. и(к, С) = с т щ с — ~/рфсза ст+ — ~ — /»(З)з!п — (С вЂ” $)сса соз — х, ! ! г . »ал 1 йл ил 2 о е »=! с /р !з) = — 1 / (х, з) ссх, /» !9) = — /(х, з) соз — х ссх, д = 1, 2, 1 г 2 Г »л 'о 491. и(х, С) =(! — — ) СР+ — СР+з!пхсозс+ х'! к л) л ( — Ц»3 + — ~~Г, С,з ! ( — Ц" ЗС вЂ” !+сов»С — — з!п»С~ з!п»к. »! Решение искать в виде и(х, С)=ю(х, С)+и(х, С). где э(к, С) подобрать так (см. ответ к задаче 490), чтобы она удовлетворяла краевым условиям задачи.
х! хс 492. и(х, С)=(1 — — ) е-с+ — + — соз2са!п2хл) л 2 — !е-с+»рсоа»С — 12»-)- — ~! з!н»С~ е!п»х. См. указание к решению задачи 491. х 493. и(х, С)=к+С+сов — з!п —— 2 2 В ~ ( — Ц» (2»+Ц, (2»+Ц вЂ” — — — 1 соз — С зсп х. лс, '(2»+Ц См. указание к решению задачи 49!. Аа, х 494. и(х, С)= — е-сс)! —. Решение искать в ваде и(х,с)= 1 зЬ а - (,С)+ -с/(). /1 2 49б. и(х, С)= — ( — +сов — х~ з!п 21. Решение искать в ваде и(х, С)= 2 ~4 о(к, С)+/(х) е!п 21, !30 496. Функция и(к, у) является решением задачи и„„+и, +Ло О, (х, у)!сб, о(х, у) *О, (х, у)ЕС, а функция в(!)-решением уравнения в" (!)+Лв(!)=О.
Налячие набора решений и„(х, у, !) = (а„соз рз!+ Ь„з(п р„!) иа (х, у), где и„(х, у) — нетривиальные решения задачи (34), (35) при Л=р„, а ае и Ь„ произвольные действительные постоянные, позволяет построить решение и (к, у, !) исходной задачи, удовлетворяющее и начальным условиям.
497. В силу едннственностн решения задачи Коши и„„+脄— им=О, и(х, у, 0)=ир(х, у, 0) 0 заключаем, что и (х, у, !)=О в области, ограниченной конусом )lхЪ+ у! — 1 1 и плоскостью ! =О. Интегрируя тождество 2 ( д ) ( д )+д-,~( )+( )1+ (~ )=0 по области 1)т, ограниченной цилиндром хе+уз 1, яоиусом у хт+ут= = 1 — ! я плоскостью ! т, т > О, в силу условяй и (х, у, ») 0 при х'+уз=1, 1~0, и(к,у, !)=О прн С 1- у'х»+ут находим [( — и) +® +( — и) 1 д ду=О, 1-к<яхт+~ < ! т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
