1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. и(х, у, т)= ' ' ~ =О. Повторяя зто рассуждение прн 1>1, ди(х, у, !) ! д1 $ 1=т заключаем, что и(х, у, !)=0 в полуцнлнндре О~ха+утес!, 1~0. 498. Пусть о(х, у) — решение задачи '(34), (35). Интегрируя тождество (д )'+(й)' („д!)+д (ид ) по области О, получаем ! ь,~.,)ьь=" ь — ~ ь ь о=1(~~о, г в о откуда получаем требуеь!ое утвержденяе, 499. Если о» (х, у) и о„(х, у) — соответствующяе Л» и 1. (Л» ~ Л„) собсть венные функции задачи (34), (Зб), то в результате интегрирования тоисдества д ( до ди»1 д ( ди ди»'1 дх ( дк дх ) ду ( ду ду ) — (о„— - о. 1+ (о„"-о.— ~=о»йо„,-о„,бо» получаем (о» бом-о бо») дх ду=(Л„,=Л») ~ и»о„,дх ду О, 6 о б90.
а) Решением задачи им=а'(икх+и„„), 0 < х < з, О < у < р, ! > О, и (О, у, !) = и (з, у, Г) = и (к, О, !) = и (х, р, Г) = О, ! > О, и (к, у, 0) = з!п — х е!п — у, иг(к, у, 0) =О, 0 < х < з, 0 < у < р, 191 является функция З'Р+р~апя, пх . Яу и(х. у, 1) =сов Р в)п — з(п —. ЯР з р б) Решением задачи ии=аз(и„„+и ), 0 < х < з, 0 < у < р, 1 > О, и(0, у,г)=и(я, у, 1)=и(х, О, 1)=и(х, р,1)=0, 1 > О,' 1 и(х, у, 0)=0, ия(х, у, 0)= — б(х — хя) 6(у-уз), 0 < х < я, 0 < у < р, является функция и(х, у, 1)= дяяхз .
ляяуз 41 у з р . I ГВ и ~ йи ли в 1 и в ~ п / ~ ~ 3 - — Ъ. в(п ~ )/ -у+ — ая1 в!и — хвш — у, ~У °, )' где р — поверхностная плотность массы мембраны. в) Решением задачи ни=а'(и„„+и„„)+-е-язв!и — "у, 0 < х < з, 0 < у < р, 1 > О, Р Р и(0, у, 1)=и(я, у,1)=и(х, О, 1)=и(х, р, 1)=0, 1 > О, и (х, у, О) = ия(х, у, О) = О, О < х < з, О < у < р, является функция 2я ч~ I (.~.йи и(х, у, 1) =з(п — у аа ( е-' — соз аиыа1 + — з(п аяша!) шп — х, апыа ) я й=! ( — ()" +Я2з йз 4 где аа= ыа= — я+ —,, р — поверхностная плотность яра((+азпзыаз) ' з' Р' массы мембраны. 80!.
а) Решением задачи и!!=аз(ихх+ияз), О < х < Я, О < У < Р, 1 > О, и(0, У, 1)=и„(Я, У,1)=и(х,О, 1)=ия(х, Р,1)=0, 1>0, и (х, у, 0) =Азу, ия (х, у, 0) =О, 0 < х < я, 0 < у < р, является функция и(х. у, 1)= — аь„сов~ап1г1, + —,1 з!и — хв(п чч 1 - /(2й+ !)я (2л+!)я 1 . (28+!) и, (2л+!) и 4зз 4рз ) 2з 2,о у а, =о ( — !)" + "64зрА из (2й+ ))з (2и+ ! )Я ' б) Решением задачи и!1=а'(и„„+и ~), 0<х<я, 0<у<р, 1>0, и (О, У, 1) = их (Я, У, 1) 4 Ш (Х, О, 1) = ия (Х, Р, 1) = О, 1 > О, 1 и (х, у, 0) =О, ия(х, у, 0) = — 6(х-х,) 6 (у — у,), О < х < з, О < у < р, р является функция и(х, у, 1)= ч-е .
/ ап (2й+ !) (2и+ !)з ~ (2й+ !) и . (2и+ !) и — аь„з(п ~ — — у — + и ра,/ 2з 2р 1~ з)п хзш — у, а, =в )82 (2»+1) пхе . (2п+1) пуе 61 з!и 2з з!и где а»а —— р-поверхностная ность массы мембраны. ('-'— ""')' 2!А а-ю ( — 1)~+~, 1, . Ьп 602. и(х, Г)= — ~ — е' ' з!п — х. 2 Ь ' ' ! »=1 Г1*" !1-.)' 603. и(х, Г)=~~! а»е з!п — х, И д Г . (2»+1)к 21 4 »=о 2 Г . (2»+1)и где а»= — т 0 (х) з!п — е — — х бх. о плот- *гь ! 608. и(х, !)= ~ь~ а»е " (Л»созЛ»х+Ьз!пЛ»х), »=! ги ~Ь Ье) Л, где ໠—, ~ — +, з!и Л»!), Л» — положительные корня '! (Ь +Л,')+ 2Ь ~Л» 2Л» 1УЛ Ь) уравнения с!6Ц= — ~ — —— =2~» Л)' г(а»п')з 600. и(х, !)= — ~~), ( ~ <р(з) з!и ! $~$)е '-' ' '' " з!и — х.
»=1 евпв - ( — +!3 , е!' 610, и(х, !)=е ' ~ з1п 2! х. ~('""1' 511. и(х, !)= ~~~ о»е " соз — х, Ф »=о ао = — ~ о (х) дх, а»= — ~ 0(х) соз — х Нх, »=1, 2, =1,) ' =!.) 183 -Г! — '"'"'" Р ~ »=о 506. и(х, !)=У. Ь'+Л» Г -ам»»зГ 506. и(х, г)=2~ !(, з з, о(~р($) совл»зЩ~ е " соз),»х, ,') ! (Ь +Л»з)+ЬЗ Л»-положнтельные корни уравнения Л !6 Л(=Ь.
602. и(х, Г)=2У~ . гьп +Л» е е'!41Ф»(х), , Л» Г)(Ьз+Л»з)+Ь3 где Ф»(х) = Л» соа Л»х + Ь з!и Л»х, Л» — положнтельные корни уравнення Ь!6и= — Л. 1 -(а!ай+6] ! 612. и(х, 1)=2йи г „1 „, „6) йуе Фй(х), йы! где Фй (х) = ай соэ Хйх+ Ь э!и Лйх, Хй — положительные корни уравнения Ьс(бМ а.
м 613. и(х, 1)чм — х+Т+ — Я -т [(-!)ли Т[е а!и — х. ги — т) 2 т! !'. йи 1 ес й= ! а !ай+! ° а~я~ 614. и(х, 1)=в(х)+~, айе е' э!па — — -х, й е "['2 ! где в(х) = — а ~ ~~ ! !аМ ~ бр+-у ~ [са) гть+чх ай — [!р(х)-вГх)) э!п — хах. 2 (2й+1) и 21 616. и(х, 1)=ох+ 46 !ай+ты Ф аа (А о) 1 Е1 (А — д)а"с 1 ! ° 1 (2й+1) и 2 иа ыэм (2й+ !)' соэ — х.
йыО и-йт 616. и (х, 1) = х+Т + 1+ 16 "Е,м,5втн!~-~й' уй+л' [)+( —;") аА х 616, и(х, 1)= — е-!э1п-+ а соэ— 2 тс ГТ ( — 1)йЛаа1 -е ей! (26 -1-1) и 1 + ~ + е э!и эхх, Где Вй~ — я, е!а уй !'Э ~й 1 — ав*,1 х1 а й=о 9=0, 1,,;, Решение задачи искать в виде и(х, 1) 1(х)е"1+о(х, 1), требуя при этом, чтобы о(х, 1) удовлетворяла однородным уравненнш и краевым условиям. а'А, / А А1 аэт '1 Т 619. и(х, 1)= — 1э ~ — ха — Ах+ — ~1+ — ха— 21 ~ 21 З 1~ 21 Ю г айя "~ з (т 21 -[, ! )'[ — б +айна ~;, йе'[АР-[А!э+(-!)йт(айи)а[с ' ' [ соа й=! Решение задачи искать в виде и(х, 1)=в(х, 1)+о(х, 1), где в(х, 1) взи!ь в виде в(х, 1) (а,ха+фгх)А1+(паха+Рак)т, подобРав постовнные п„[1,, и„[)а так, чтобы в(х, 1) удовлетворяла краевым условиям задачи.
020. а) Решением задачи 1 д l диЪ из аз ба, 0 Ст < )1, где Ьи=-и — ~ тз — ), . =тдт~ д)' и()2, С)=0, !и(0, С)) < зо, С > О, и(т,б) Т, О~т < )1, является функция и(т, С)= — ~ — з 2)!Т (-1)»+з ! й с )2 =а 2 »=, Чтобы получить вто решение, перейдем к новой нензвестной функции о(т, С) = ° ги(т, С), в результате чего исходная задача редуцируется к задаче от а'отт, 0 < т < )2, С > О, о(О, С)=о()1, С)=0, С > О, о(т, 0)=Тт, 0 < т < С!. б) Решением задачи 1 дг дич ис=азС»и, О~т < Я, С > О, где 'йи=-»- — ( т' — ) ° г дт ~ дт)' Ли ()2, С)=у. С > О, и(т,О)=Т, О~т < )2, является функция д)( т ЗазС ЗС!з — Зтз'1 и(т С)=Т+ — ~ — —— Л~в ИИ где Рз-положительные науки УРавненна !2 Сз Р.
621. в) Решением задачи ис ав(их„+а„„), б < х < р, 0 < у < з, С > О, и„(0, у, С)=и(р, у„С)=0, 0 < у< з, Р> О, и(х,О, С)=и(х,з, С)=0, 0<х<р, С>0, и(х, у, 0)=С(х, у), 0 < х < р, 0'< у < з, является функции и(х, у, С) = ~Г, а»„з»з з!п — усов х, — еза~~„с . Ля (2л+1) я » 1,»=о з 2р 3 где а»„= — ~ С(х, у) в!и — усов 4 Г Г . Ля (2а+1)и в йзяз з — ) 2р хдхду, а»з= -в-+ з о ( (2"+ч'~ б) Решением задачи из=аз(и„х+а„„), О < х < р, О < у < з, С > О, и(б,у, С)=0 и (р,у, С)+Ли(р,у,С)=0, 0<у<в, С>0, и(х, О, С) и(х,з, С) О, 0<а<у, С>0, и (х, у, 0) = С (х, у), 0 < х < р, 0 < у < з, является функция ам т (2л+ Цл и(х, у, С)= ~ игле ' е1прахсоз у, в=С, в=о 4(Ьз+Рг) рр, (2л4-цл где аз„= „...
! 1(х, у)е!прахсов ~(р(Ь~+р~~)+Ь~ 3 ~ 2з ' гз з у тог =)тз+ (2п+ Цзлз + 4,, рз — положительные корни уравнения Ь16рр= — !с. 622. Решением задачи и!=ив(ихх-(-игу+иге)-()и, О < Х, У, г < 1, С > О, и(0, у, г, С)=и(1, у, г, С)=0, 0'<у, г<1, С>0, и (х, О, г, С) =и(х, С, г, С) =О, 0 < х, г < 1, С > О, и(х, у, О, С)=и(х, у, С, С)=0, О < х, у < 1, С > О, и(х,у,г,О)=У, 0<х,у,г<С, является функция и(х, у, г, С)= 64У С~ ! -плащ! ! (2Ь+Цлх . (2ш+Цли . (2и+Цлг в!п в!п е!п з,л,о о Ага з= И2Ь+ Ц (2ш+ Ц (2л+ Ц) а'л' ыв „=(3-(- —,[(2Ь+Цз+(2ш+Цз+(2и+Цз), Р-козффициент Распада. 623.
а) и(х, У)=~~~~,азв!п (2Ь+Цл (22+ Цл 2р х зЬ вЂ” у, 2р Ря — — — зЬ 2 (2Ь+Циз Р (2Ь+Цл ~ С(х) з!п хдх. р 2р о 2р о 6) и(» ) (Р — 2А)У ( А 23 лз г= о (2Ь+ Ц'зЬ (2Ь+Ц лг р в) и(х, у)=У+ + — ТзЬ вЂ” у — сЬ-' — ) ! — + Т зЬ вЂ” ) сЬ вЂ” у ! в!п — х2р) 2р ~ 2р (2Ь+ Ц лз 4У ~чсЬ-т 2р „(26+Цл,„(2Ь+Цл„ л ~:м 2Ь+1 2р 2р й=! б24.а) и(х, у)=,7 азе гс в!п — у. с~ — х . (2Ь+.Цл г=о 21 21 186 2(Ь~+)(й) о б) и(х, у)»» лгй 2 ) У(в)соахйв((В е ~й«соа)(йу! ,, ~1(Аз+Я+А 3 где Хй — положительные корин уравнения Х !6 И =А.
Ь / аек 626. а) и(г, (р)= — в-~ г — — ) сов(р, =Ь а~ «1 1и Ь ВЬ« / а« д б) и(г, (р) =А — + — !~ге — — й) вп2!р 1п— Ь в) (г. т) = () +,~~, ~~ — —,) сов!р+у — р ~~'+ —,) зрл2(р. Ю йи 2Аи чч ( — 1)й+ / г ! а . Ь(ир 626. а) и(г, и)= — ги ~ — ) з!и —, Я о (2й+ !! а (2й+ Ц и б) и(г, !р) = л айг за соз !р, й=о (2й+ 1!» ай= — )7 2" ~ 7((р) соа 2 — — Р ' (2й+1) и а .!( 2% рй. о 627. Действительно, 7»-! («)+Х»+! («) = х»- ! (Гтч х»-1+«й 1 2»-1(л — !)! + й и 2""1+2 (й — 1)!(и — 1+й)! ( й л+й ) чьч ( !)й й=1 2» Г «» ч'ч х»+ей 1 2» = — ! — ! «(-'!' —— « — — ! — ' (4 х 1 2"и! л' ( 2" +з Ь1(л-)-й)! ~ й=( Аналогично проверяются остальные два тождества.
626. Поскольку ф! Гй . 2" (Ь) 2' о 1 Ф хзй ! «зй хйй (-1)й — 1 — Ф= ч'( — 1)й — =7 (х). (2й)!,) у 1 12 Л ° 2!а(й!)й о а=о 629. Первое тождество проверяется так же, как и тождества иэ задачи 627. Далее имеем 1 7» (х) = — 71 (х) = — — (7» (х) — 72 («Н 2 Последнее равенство следует нз второго тождества из задачи 627. 187 636. Справедливость обоих тождеств проверяетсв непосредственно иа основание тождеств вз задачи 627. Дебствктеаьно, учитывая что ул (ах) = Уи -т (ссх) — — и и («х), л — ! Ги(«х) = ~и 1(ах) ~и(«х)~ имеем лх (х [Р,Г» (ах) 3» (Рх) — «3» ([Ь) Хи (ах)1) = с( с( ( Гл =- с(Р~Г„(ах) у Х (Рх) — У ~т (Рх)~— Г и алии(Рх) ~ — „ии(ах — слит(ах) [~~ =ахи(Рх) Хи+с(ах)-Ни(ах) Ги+т(Рх)+ + х [азУи+с (ах) Хл (Рх) +«Р Ги (Рх) 1ие т (ах) -3Ил+с (Рх).Г (ах)-с4У» (ах) Г„+т 0Ь)) = ~,(Рх) Г +т( )-РУ (а ) Г +т (Рх)+ +азх)и(Р+л(ах)-— " +~»+с(ах)1 + +«Рхги+с(ах) à — Хи(Рх)- lиит(Рх)~— Гл аРхул+т (Рх) ~ — 3»(ах)- Ги+т (ах) [[— „,, )Г,,„, 3 Г л+1 Рх (а' — [Р) х,/и (ах) Хи (Рх).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
