1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пусть 9 и 9' — точки пересечения,с дугой 5 выходящих нз точки Р(х, у) характеристик (.т: с — х=! — т и /.з: $ — х=т — ! уравнения (3). Интегрируя тождество (и!)! — (и ) = 0 по области, ограниченной отрезками РЦ, ()'Р характеристик Ьо Ез и частью 9Я' дуги 5, и применяя формулу Гаусса— Остроградского, находим п(Р)= — Р(Я)+ — РЯ')+ — ~ 1соз20Ф(й,т)) — з!п20Ре($, т)))пй, ! 1, 1 г 2 2 2 л где в = соз 8, т) =з(п О. ЗЗЗ. и (Р) = — Р ((/) + — Р (1с ) + 1 1 2 2 0' г ~(, 2,) тЛФ вЂ” $зттч ' 0 где Я, Я' — точки пересечения выходящих из Р(х, 1) характеристик  — х= = ! — т, $ — х='т-1 с дугой 5 кривой С =/(т) (см.
задачу 332). 334. Областью распространения волны является прямоугольник, ограниченнмй характеристиками х — хе- — ! — !е, х — хе=1,— 1, х — х,=! — !о х — хт= — Единственность получается обычным рассуждением, если интегриро. вать тождество (и!)т+(ит)т — 2(ити!)! — 0 по области, ограниченной прямыми в — х=т — 1, с — х=! — т и дугой 5. 333. аз-;Ья — с' < 0; и(х,, хя, !)=С 134 ЗЗВ. и (х, !) = ср ( — ) + ф ( — хю-) — а (О) 337. Область распространения волны ограничена прямымн х — 1=0, х+(=О, х — а=и — (, х — Ь=С+Ь.
338. Интегрируя тождество (их )г + (и„',)т + (и!)г — 2 (и „и,)„— 2 (их,ит)х, = 0 по области, ограниченной конусом 1' ха+ха в=( — ! и плоскостью ! =6, 6 < 1, где 6 — произвольная постоянная, получаем и= и! =0 при ! =6. Отсюда в силу единственности решения задачи Коши (см. задачу 322) убеждаемся в справедливости утверждения. 339. В силу формулы из задачи 303 имеем 1 и (х, у, !) = — (х'+ уз — гз) хуж 18 340. Область распространения волны ограничена конусамн г= — ЗГхз-)-уз, — 6~1~0, Г= — 26+ Г' хз+ уз, — 26~1~ — 6. Доказательство единственности решения получается повторением рассуждений, использованных при решении задачи 322 с заменой начальных условий условием рассматриваемой задачи.
, 34!. нет, так как решение задачи Гурса с данными на смежных сторонах характеристического прямоугольника определяется однозначно (см. задачу ЗЗВ или 337). 342. Нет, поскольку соответствующая однородная задача имеет петри. виальные решения а ( — ) — а ( — ) при х — !Звб, и(х ')= х+! ! х а ( — ) — а( — ) при х — 1~0, где а — произвольная дважды непрерывно дифференцнруемая функция, удовлетворяющая условиям а'(О)=-а (0)=0. 343. Нет, ибо соответствующая однородная задача имеет нетривиальные решения где 'а — произвольная дважды непрерывно дифференцнруемая функция, удовлетворяющая 'условиям а' (О) = а" (О) = О. 344.
Общее решение уравнения (3) (см. (!О)) имеет вид и (х, !) =!г (х+Г)+!з( — !). Отсюда, пользуясь данными задачи на границе области !1, находим и(х, 0)=г,(х)-(-!з(х)=р(х), и (х, лх) = )з (х+ 6х) + )з (х — Ь х) = ф (х). 155 Исключая /д из последних двух уравнений, получаем функциональное уравне- ние вида (14) /з (х) — ' /з ( — х) = ~р (х) — ф ( — „) . Пользуясь формулой (15), запишем решение этого уравнения в виде й /а (х) = ~ (~р (анх) — ф ( — х) ~, т=о 1 — й где а= —. Подставляя найденное выражение для /з в равенства (з), по- 1+А; лучнм Ю -.ч Л / сан /ь(х)=~у(х) — ~ ~~р(а х) — ф ~ + хД.
ю=о Следовательно О> и (х, !) =<р (х+/) — ~ ' ! <р (ааь(х ( щ ф !р (х ! !)~ ~ ) м=о Ю +',), ~ф (и" ( — 1)) — ф,[ —,„( — 1)~ ~. и=о 345. Из общего решения (!О) уравнения (3), записанного в виде н (х, /) = Уд (х+ /) +/з (х — 1), имеем 1 ( — )~6( — )= 6( — )~6 ( — )= ! 1 Отсюда находим, что /,(х)= — х, /з(х)= х.
Следовательно, 2 ' 2 1 ! и (х, 1) = — (х+ 1) + — (х — /) = х. Ф 2 Единственность решения следует из той же формулы. 1' 348. Область распространения волны ограничена прямыми х= — — а, 4 1 5 5 х= — а, х — 1= — а, х+1= — а. 4 ' 4 ' 4 347. и(х, /)= /3 ~~» /Зйю =з!п(х+1) — ьч з!и ~ — /! (х+1)+ чь з!п ~'— /! (х — !)+41. ~5) ~.ю ~, 5) т=О и=О 1 348. Область распространения волны ограничена прямыми 1=0, 1= — х, 4 5 х-1=1, х+1= —. 4' /х+! д /х — Г~ 349. и (х, 1) = ф (х — 1) + ф ( — /! — ф ~ — /! . Область распространения 2 )' волны ограничена прямыми 1=О, х-/=0, х-!=а, х+!=2а, 156 350.
и(х, Г)'= р(х+!) — ~~ »(-[ —,(х+Г)~ — »р [ — „З(х+!)] ~+ з»=о + ~~» (»Р [3~ (х — Г) ~ — ф [ — (х — Г)~ ~. з»=е 1 2 Область распространения волны ограничена прямыми (=О, 1= — х, х — 1= —, 2 ' 3' к+1=1. 1 1 351. и(х, Г)= — (к+Г)з+(х — Г)з+ — (х — Г)з. Область распространения 8 волны ограничена прямыми к=0, х — 1=0, à — х=2, к+1=4.
352. и(х, Г)=шп (! — х). Область распространения волны ограничена пря. мыми х=О, х=г', à — х=1, х+1=4. 353. и (х, Г) = »р (х ~-Г) — ~ ( р (Ез (х ~-гЦ— ь=о — ч» (0" (х — гЦ вЂ” ф (м (ба (х (-г)Ц 1 ф [ю(йь (х — г))Ц, где х=м($) — решение уравнения х+т(х)=$, 0(ь)=го(з) — т[а(зЦ, а Оз(х) =0з-г(х) 0(х), 0»(з)=з. Область распространения волны ограничена прямыми Г = О, Г = г (х), х+ Г =! + т (! ), х — Г = 1. 354. и(х, Г)=х.
Область распространения воляы ограничена линиями и 1 н 1 Г=з!их, Г= — з!их, х — Г= — +=, я+1= — +=. 4 рг2 ' 4 )Г2 . 355. и (х, !) = 8 Н~~~ ~([1 — )» 1+ 0" (х+ !) ) з — [1 — % 1+ Оь (х — Г) 1з), ь=о где 0($)=4(1+в) — 3 — 4, 0»(з)=н, .0з=ба-»0. Область распростране- 1 ния волны ограничена параболой Г= — хя и прямыми 1=О.
х+1=2, 4 -у =3(4. 356. Из общего. решения (!О) уравнения (3), записанного в виде и(х, М) = = 7» (х+!) +)з (х — Г), имеем 1, (2х) =»р (х) — !з (О), 2!з (2х) =ф (х). Отсюда находим х '»"з(х)=<р( — ) — »'з(0), »'з(х)= — ) ф ( — ) дт+)з(0), о х-! Следовательно, и (Х, Г) =»р ~ — 'у!+ — ! ф ~ — ) бт. Единственность решения 2 ) 2 л !2) о следует из атой же формулы. х-г Гх+ г д»'х — ( '! 357 н(х. Г)=ф( — )+ф( — ) — ф (0) — ~ ф(т)»(т. Область распро- 2 ) (, 2 ) о странения волны ограничена прямыми 1 =х, (=О, к — !=а, я+1=26. 157 358. Нег.
Задача имеет решение лишь при условии ~р'(х)=ф(х). Если вто условие соблюдено, то решение задачи имеет вид Ух+!'! и (х, г) = % !х — ) -1(х — г), 2 ) где ) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция, удов- летворяющая условию Г (0) =~у (0). 359. В характеристических переменных я=я+!, Ч=х — Г уравнение (3) принимает вид о5 =О, где о($, т))=и 11 —, — ) .
Функция Римана /а+Ч $ Ч~ 2 ' 2 )' )Г(ь, Ч; ьы Чг) для этого уравнения единственным образом определяется нз условий д)5$м т1; $» Чг) дй(5, г1~, '$м Чд) дз)! Ч ое д~д,) Всем этим условиям, очевидно, удовлетворяет функция )г Д, Ч; $м Ч,) = 1. 368.
Условия задачи Коши по данным на дуге о можно записать в виде (ь. Ч)~ Г ф(Р') — ~ — — + — — =ф(Р') А~ ! д5до дЧ до о ' дУ )а дтдЧ дт д5 и, стало быть, в силу формулы (19) получаем "(с ч)=2 ФЯ)+ 2 ФИ) 2 ~ ф(~)~~~ 1 1, 1 Г ОО где !2 и г)' — точки пересечения прямых за=а, т),=ч с дугой о: з,=ь,(з), Чг=чх (3). Условия же задачи Гуров, например, и (х, х) = т (х), и (х, — х) = ф (х), т (0) = ф (0) для функции о имеют вид о ($, 0) = и ( — , †) = гр ( — ) , о (О, т!) = и ( 1, — †"1 ) = ф ( †"1 ), Поэтому из формулы (18) получаем и(х, Г)= (~,ч)= р( — )+4) ( — ") — р(0)=р("— +-)+ф ( — "2 ) — р(0). 38!.
Запишем рассматриваемое уравнение в характеристических коорди- натах ь=х+г, Ч=я — г: , 3 ~$+Ч $ — Ч~ о. + — о=О, где оД, т!)=и ~ —, — у!. йч 4 2 ' 2 )' Представляя бесселеву функцию Хз (р У ($ — $,) (т1 — Чг)) в виде суммы степен- ного ряда у,ь$ а — ы\» — м)-» У ь 1а (ь — ьг)з (Ч вЂ” Ч )" е=о находим д~~о 3 с. ~) 1а 6-5,)ь(ч-чг)" 5 у дед~ 4 ~ ~4/ (а!)' 4 е=о' 158 Ретение задачи Гуров: а Ь 1 (а-Ц (х+1) (акв) (х-1) ,-т"т'(, ° р( ~')1., в(* — ') ва11 а а - — (х-1) 1»+(т — 1 366 (363).
и(х, ()=е в (Р( — )+е ' ф(х — 1)- 2 ) а ь ь ь (х 1) - — (х-вО 7» (т (366). и(х,()=с + зР( — )+с' (р(х — () — е в вР( — ). 2 2 ) а ь Г (а-ь) (х+1) .+ — ~ /х+( т (367). ы(х, ()=е в в ~е в ву( — )+ а (х-1) (а-Ь) (х-1) +а в Ф (х — 1)-е а вр(» — 1) 369. В переменных с=»+«, 11 =х — у система вапнсываевсв в виде ой+ив — ой+о„=О, ы1 — и„— ой — он — — О, или (и — о)1 — — О, (и+о), =О, Пе. этому и — о=271(т)), и+о=2/(с). Отсюда и(х у) )(х+у)+Ь( -я о(вх, у)=)(х+у) — 6(»-у), 370. и (х, У) — ((р (»+У) +(р (»+У)+т (х — у) — )р (х — У)), 1 о(х, у)= — (1р(х+у)+(р(х+у) — 1р(х — у)+(р(х-у)).
1 () (-) о(х, у)=(р ( — ) +(Р ( — ) — 1р(0). 372. и(х, у)=1р(х+у)+)Р ( — ) — (Р ( — ), о (», У) = р (»+У)+ (р ( — 2") +(р ( 2 у) — (р (0) — (р (0). 373. н(, у)=О ("+2«)+6( — у)-О ("=,У) ° о (х, у) = вР ( †) †1Р(х-у) +)Р ( †) +6 (0) †вР(0). /х+у') ' 7» — у) = ~2) 2 374. п(х, у)=Ь((х+у)+)в (х — у), о (х, у) = /1 (х+ у) — (в (х — у), еде 11 (т) '~)~~ (-.1)" 1 1р ( — ) + вр ( — ) 1, 11 (т) = (р (т)-11 (т). ~ ~3) ~ "Л' ь=е 373. Характеристический детерминант длн рассматриваемой системы имеет вид ~ " "в~=аде )в б А.
В. Ввавдва, Д. Ф. Квааввчсваа 161 откуда следует, что для гнперболичностн этой системы необходимо и достаточно условие а > 0; В результете неособой замены независимых переменных ль=х+ Уау, т)=х — Уау система принимает вид Уаиб+ Уаи„+о! — о„=О, Уаи! — Уаи -)-о -(-о =О, нли ч $ ч ( У а и+ о)! = О. ( У а и — о),! = О. Следовательно, Уаи+о=21,(т)), Уаи — о=27(ч). Тогда 1 и(х, у)==()(»+ Усу)+/т(х — Уау)), Уа о(», у)= — 7(х+ Уау)+),(х — Уау). 378. и(х, у)= ! ~Уа<р(»+Усу)+ф(» Уау) — ф(0)~, о(х, у)= — Уа<р( +) у +1) У у У )+ аб(0).
377. азах+ ()здь — рзсз О. 37 . 8. Вемена переменных Е= — х, т)= — у, Ь= — гг и(х, у, г)= 1 1 1 а ' Ь ° = и (аь, Ь1), сь) =о (ь, г), ь) принодит рассматриваемое уравнение к уравнению о!!+очи — обб— - О, решением которого является (см. задачу 2б3) функция ( Гзл гзл+т О($, т), Ь)=~ ' С вЂ” Ллс !я, Г), 0)+ — алс ($, т), 0) )((2л)1 ' ' (2и+1)1 4 ' ' / ' откуда находим Ф 1 йхл г дх дх ' <л1 / х л о лЬч 1 гхл+т г х дх Ь дх 1~л! l х .ь" х с'"чт (2л+1)1 ~ дхх+ духГ' ~ а ' Ь !' 379. и (х, у, г) = хх — у'+ -(-хуг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
