1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

(а' — Ьх) гх 382. и (х, 1)= 132 аз (а — Ь) (а — с) ЬЗ +(Ь вЂ” а) (Ь вЂ” с) Рч с' (с-а) (с-Ь) х+— х+— ( -'- л л 'г х+ — ) — (Ь+с) ) ~рх(т)бт+Ьс ') Ит~<рз(т!)Итт + о ,о о х+ ь х+ —, (х -)- ь' +т) — (.~Л ) лил~. ! л(лд б+ о о о »+в х+— (х —.— с с ч *+г)-( ° +л ~ лл)а+л ) а*) ллэл~. о 383. Система гнперболичиа, так как норнн карактеристического детерминанта !' Лз+1 2Л ] 2Л Лз+1 ~ все действительные. В результате неособой замены переменных 5 =х+у, д] = = х — у она приводится к виду «Н+ичч об!+о„п=б иа1 ипч оИ они=9 нли (и+о)„„=О (и — о)43 — — О. Отсюда следует, что и+ о =2с)9 (3)+2др ($) — = ФИ (д)) +2дрд (д)). Позтому и(х, у) =(х — у) ср(х+у)+(х+у) др,(х — у)+др(х+у)+дрд (х — у), о(х, И=(х — у) ~р(х+у) — (х+у) суд(х — у)+др(х+у) — дрд(х — у). 384.

и (х, у) = [т [2(х+УН+тд [2(х+уН— 3(» — И вЂ” с ~ — (х+у)~ — тд~ — (х+у)~ ~+ + т[2(х — уН вЂ” с,[2(х — уН вЂ” т ] — (х — у) ~+тд ~ 3 (х — у)]~+ 3(х+у) l +16 ]9т $3 (х+У) ~ + 9тд $ — (х+У)~ — я [2(х+УН вЂ” тд [2 (х+УН~+ + 619' ! (х И] 9тд [ з (х У)~ т]2(х УН+" [2(х УН)' 3(х — И 1 о(х, у)= с[я[2(х+УН+тд]2(х+УН— — т ~ — (х+у)1 — т, ~ — (х+у)1~— 3(х+у) [ — '[т [2 (х — уП вЂ” тд [2 (х — УН вЂ” т ~ — (х — у)1 + яд ~ — (х — у) ~ ~ -[ +16 ~~т ] 3 (х+у)] + 9тд ] 3 (х+у)1 — т [2(х+уН вЂ” тд [2 (х+УП~— — — 9т ~ — (х — у)1 - 9т, ф (х — у) ] — т [2 (х — уН+ тд [2 (х — УНф 383.

и(х, у)= (х-у) — — с[сд (х+ У)+та (х+У) — тд (в+У) — тз (х+У)]д+ (х+у) г + — 1тд (х — у) — тз (х — у) +яд (х — у) — тз (х — у) зт+ 1 +- [т, (х+у)+т, (х+у) +т, (х — у) — т, (х — УП— — — [тд (х+у)+тз(х+у) — т, (х+у) — тз(х+у)]— (я+ у) ( — И вЂ” — [тд (х — у) — тз (х — у) + тд (х — у) — тз (х — у)1, 163 бч о(х, у) = — [гтг (х+у)+та(х+у) — тг(х+у)-та (х+у)т) (х-у) ° — — [та (х — у) — тз (х — у) + тг (х — у) — т, (х — у)1 + (х+у) 4 1 + — [тг (х+у)+та (х+у) — тг ( — у)+та (» — у))- 2 — — ~тг (х+У)+та (х+У) — тд(х+У) — та(х+У)т)+ (х+у) ° 4 + — [гтг (х ~ — У) — га (х — У) + тг (х — У) — тз (х — У)~.

(х — у) 4 386. Система гиперболическая при любых действительных и, Ь, с, Ь, когда а' — с' и Ь не обращаютПн в нуль одновременно, поскольку корни карактернстического детерминанта ! иЛ вЂ” Ь ЬсЛ с ~=(...и) Л. 2.,Л+Ь. — Л аЛ вЂ” Ь! Ф действительны, причем ду Ь ду Ь Лг= — = ° Ла= — = — с. дх а — с' дх а+с' В характеристичесни» переменных $=(а — с) у-Ь», т) =(а+с) у — Ьх рассматриваемая система имеет вид, и,— ич+Ьо,+хоп=О, и,+ич+Ьой — Ьоч-О, или (и+ Ьо)1 — — О, (и - Ьо)„= О.

Следовательно, и+до=% (т)), и — до= 21 (с). Поэтому общее решение системы дается формулами и (х, у) =1[(а — с) у — Ьх)+гг [(а+с) у-Ь»), 1 1 о (х, у) = — — ) Ца — с) у — Ь») + — [г [(а+ с) у — Ьх). Ь 387. Прямая у=о может служить носителем данных Коши и (х, 0)=т(х), о(х, 0)=та(х) прн всех действительных аначенняк и, Ь, с, Ь при условии, что Ь~О, 3~оз. 388.

Решение можно построить по формуле (2) гл. П. Оно имеет внд сч Г ута <за> уса+я <за> ым ~ 2(Ь)! " (2Ф+ Ц! а>о Ряды обрываются, начиная со значений Ь, удовлетворяющих условиям 23 > л и 23 > ш соответственно. зп лу а!и лх. 369. Решение дается формулой и (х, у) = з, которая получается из формулы (2) гл. П в предположении, что и(х, 0) =*т'(х) =О, — '~ =т (х)= —. ди(х, у) ! з!плх ду ![а=о л Неустойчивость полученного решения следует вз того, что для достаточно боль. шого и функцию т(х) можно сделать квк угодно малой, тогда как и(х, у) не огранвчеиа при и†ез. 399.

Любое решение и (х, 1) уравнения (3), обращающееся в нуль на ха- рактеристике »+! =0, в силу формулы (1О) имеет внд и(х, с) =Г(х+1)-1(0). Отсюда видно, что значенве и (хы гс) = ! (хд+сс) — ! (0), принимаемое функцией и(х, !) в точие (хс, сс) области !) (в том числе экстремальное), принимается ею н в точке (хс+!с, 0) отрезка АВ. 2 391. В результате преобразования (неособого при у < О) $ =» + — ( — у)з/з, 3 с) =х — 3 (- у) ~ уравненве приводятся к виду «1, —— О, откуда следует, что 3 з его общим решением является функция и (х. у) =)с "х + — ( — у)з!' 1 +Гз [» †( — у)'!* ~ ° где Гс (!) М Гз(!) — проязвольные дважды непрерывно дифференцяруемые функ- ции. Чтобы функция и(х, у) удовлетворяла начальным условиям Коши, не- обходимо я достаточно выполнение равенств (О < х < !) 6(х)+1з(х) =9(х), Иш (-у)с!зс( — Гс ~х+ — ( — у)зй1-(-Гз 1х — — ( — у)з!з~=ф(х).

Последнее равенство невозможно, если ф(») фО. Когда же ф(х) О, 0 < х < 1 ° решеняе сущостаует, но ово не единственно, поскольку ° этом'случае «(». у) =суй+ у(-у)~1*~-6 [х+-( — у)З!'1+5 [~ — -( — у)з!'~ где Гз(!)-произвольная дважды непрерывно диффрренцнруемая функция. 392. и(х, у)= — т [х+ — ( — у) ! 1+-т ! х — — ( — у) ! 2!— 1 Г 2 з 1 1 Г 2 $1 2 ~ 3 ~ 2 ~ 3 к+ — с-з!з!з з 2 ! з>згз 2 з 393. В результате замены переменных з=х+2у'!з, с)=х — 2усГз урав- ненне приводится к виду и!ч=О, интегрируя которое находим и(х, у)=)с(»+23!!з)+!з(х — 2ус!з).

391. и(х, у)= — т(х+2у')з)+-т(х-2у'гз), к+ зас!з 396. и(х, у)= — т(х+2у~~~)+ — т(х-2у~~~)+ — ~ т$)дь к- ззс/з 399. Заменой переменных я=»+у, т)=х — у уравнение (21) приводится к эквнвалентному уравнению дси — =о, Яздт)з интегрируя которое находвм общее решение «(». У)=яф(Ч)+9!(Ч)+Чф(В)+фзФ=(х+У)ф( — У)+ф!( -У)+ + (х- у) ф (х+ у) + фз (х+ у).

397. Пользуясь общим решением уравнения (2Ц (см. задачу 393), получаем хю (х)+юг (х)+х1Р (х)+фа (х) =т (х), 1Р (») — х~р"'(х) — ~р' (х) — зр (х) + хф" (х) + ф' (х) = О, — 2<р' (х) — 2ф" (х)+яр" (х)+хф" (х)+ер" (х)+ ф", (») = О, Зф" (х) — Зф" (х) — хфо ' (х) + хф"" (х) — <р'," (х) + ф;" (х) = О. Определяя из атой системы равенстафункции ср(х), 1Р(х), ~рд(х), фз(х), находим 1 1 1 1 и(х, у) = — т (»+у) + — т (х — у) + — ут" (х — у) — — ут" (х+ у). 2 2 4 4 1 ух — у~ 1 /х+у'1 ух — у'1 398.

и (х, у) = — (х+ у) тз ~ — ) + — (х- у) тз ~ — ) +та — + 2 ~ 2 ) 2 ~ 2 ) 1, 2 ) +та ~ †) — (х' — у') т'(0) — — т'(0) — — т (0) — тз(0). 1, (х -1- у), (х — у) 2 ) 4 з 2 3 з д / д'и дзи Х 399. Записывая уравнение (22) в виде — ~ †††) О, заключаем, дх ~ дхз дуз ) 脄— и„„= — )з (у), (е) где Рз(у) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция. Поскольку одним из частных решений уравнения (э) является Рз(у), а общим решением соответствующего (э) однородного уравнения в силу формулы (10) является выражение Р,(х+у)+уз(х — у), где Рз и Рз-произвольные трижды непрерывно дифференцируемые функции, то и (х, у) =уз(»+у)+уз (х — у)+уз (у).

400. Нет. Пользуясь формулой, дающей общее решение уравнения (22) (см. задачу 399), получаем Р! (х) + /з (х) + /з (0) = ~Р! (х), Рз (х) — Р' (х)+ Р' (0) = фа (х), /з (х) + Р,' (х) + Рза (0) = фз (х). Из написанных равенств следует, что рассматриваемая задача не может яметь решения, если ф" (х) ~ фз(х) — Рз(0). Когда же ~р,"(х) ~фз(х) — Р," (0), то 1 1 Г 1, 1 !г (х) = — т! (х)+ — ) тз (!) 41 — — !з (О) х — — 1з(0)+С, о х 1 1 1, 1 !з(»)= — ч'!(х) — — тз(!) дг+ 2 !з(0)х — 2 /з(0) — С, где С вЂ произвольн постоянная.

Следовательно, искомое решение хез 1 1 1 «(х, у) = — <Р! (»+У)+ 2 фз (х — У)+ — 1 7! (1) Й+!з (У) — !з (0)У вЂ” Р,(О) «-у ие едкнственно. 266 в+х 401. и (х, р) =!р! Ы+ 2 ~ фо (С) дС+ 1 С' к+э а- + — дт )фо(С)дС+ — 1 дт ~фо(С)дС— о о о — — ~д ~р,(С)дС вЂ” — ~д ~ф,(С)дС 1 1 о о о о (см. задачу 399). ГЛАВА!»С Са Са =~~" — ', бь+» -'Ь' — 'ба+! =О.

ло С»1 404. При С > С, имеем С=! Е л ŠŠŠ— ЕС=- — — + огх 2 С С ,1(С С )о о о Ч)., (х! — рС)'+ + — — —, у (Хг-уг)о=О. и Е Е 2 С вЂ” Со 4(С вЂ” Со)о 2.4 С=! 406. Ограничимся рассмотрением максимума. Пусть М =!пах и (х, С), (х, С) Е Ро дР, т=гпах и (х, С), (х, С)ЕЗ, регулярного в Р и непрерывного в Р()дР решения и(х, С) уравнения (1). Предположим, что т < М. Тогда значения М функция и(х, С) достигает в некоторой точке (хю Со)~Р, где О < Со~Т», М=и(хо Со).

Построим функцию о о (х, С) = и (х, С) + — ~~У, (хг-хо!) о, Сю! где оС вЂ” диаметр области Р. Так как Ч) (х; — хос)о~о(о и т < М, то, оче. С=! видно М вЂ” т С 1» М 1) о(х, С) ~т+ — = (1- — ) т+ — < М прн (х, С)ЕЯ, 2в '» 2лС 2п 2) о(хо Со)=М. 167 402. аоойй+2аойч+о „вЂ” ой — — О. Полагая в уравнении (1) я=1, х=хт, сделать преобразования х=»1, 1=$-ат), о(в, т)) и(т), в-аг)). 403. Прн соблюдении условий, гарантирующих равномерную скодимость ряда (4) и рядов, полученных из него почленным дифференцированием один раз по С и дважды по х, для суммы и(х, С) этого ряда имеем о в Ы Е -г.

чч Са о-ч Са-» и -мс=~ — йа+»т — ~ — Лат х,.хС ~„~ М 2 (й — Ц1 С=! а о ь 1 Из 1) и 2) слеаует, что функция о(х, С) принимает свое маиснмальное значение, как и и(х, с), не на 5, а в некоторой точке (х', с") ~ Р, где О < С'~ Тс. В этой точке о,, ~ О, ос ) 0 (ос =О, если С' < Т, и ос ) О, если С С Се=Т,), откуда следует, что в точке (х', С') должно быть и ~я~~ ~О« „— ОС чц О. С С (е) С другой стороны, учитывая выражение для е (х, С), находим « « М вЂ” ш М вЂ” лс о — ос= % и + — -ис= — т->О «с«с л з «с«с бз г( С= ! С=! в точке (х', С*), что противоречит (е).

Характеристики

Список файлов книги