1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Точке так же с( Г „— с((атхз-лз) у„(ах)+ ~хях1»(«х)~ ~~ 2«зх,гй(ах)+2«эхзт (ах)1„(ах)+ +2 хУ .(.~+2.хЧ. т( )~и,( )- -2»«Х„т (ах) Хи (ах)-2лазх/и с (ах) Хи (ах) — 2»сс хуи-1(ах) ил (ах) =2« хий(ах) 63Ь Поскольку в силу задачи 636 с( ( -Р)хр ( )г (Р~)=~[~У (Рх)У т(~) — Рхг (~) Г т(Рх)1, 2«зхГй (ах) = — [(азхт — л') 1й (ах)+ [л1»(«х) ахти+ с (ах)[з), то в результате интегрирования получаем 1 (ссз- [Р) $ х1„(ах) У„(Рх) с(х = О,- е 1 з зх аз1л+с (а) при (и (а) = О, с з(з азий (а) при 1„+т (а) = О. 632. Действительно, если и-комплексный нуль функции Ух(х), то а также будет ее нулем.
Поэтому (см. задачу 631) получаем ! 1 $ хХ„(ах) Х„(йх) Нх = $ х [ У„(ах) [' дх = О, о. о т. е. у„(яву=О тождественно при Очах(1. Отсюда в силу аналвтичвастя У„(пх) следует, что l„(ах) =О для всех значений х (кан действнтельныл, таи и комплексных), что невозможно. Точно так же, допускаи, что ге(а) =,[„+1(п) =0 прн а ~ О, пришли бы к противоречию 1 1х! Уе( )[Вд =О. о Следовательне, 1„(а) и У„+! (а) не могут иметь ебщкх нулей (корней). Отсюда, на основании первого тождества нз задйвн 627, следует, что при любык целик неотрицзтвльшах индексах и и л функции Хе(х) и У„(х) не метут нметь общих нулей (корней).
д' дэ 633. Записывая оператор Лапласа . + — в полярных координатак дх'" ду" г= угхэ+уз, О=агс!6 —: у. х' дз 1 д 1 дз + + дгз г дг,гэ дб*' например, для я„(г, О) получаем ~пе(г. О) — р*п.(г. О)= д, +- д — !1 —,+Ф~ [.(рг)=О, дЧа(рг) 1 д!„(рг) I пз посколысу 1„(х)=1-аУа(1х) является решеняем уравнения 1 ° / лэч ге+ ~п — ~1+ — ) ге (х) *)" 634. Так кзк Г (3+1+ — ) = ~п —, то 1 1 — (23+1)! 2* +13! х1/В+ Вэ 2~1э ~~~И (Л+ + ~/2) =~'х, ж х'"+" — > ( — 1)" = ~ — з!их. (2л+ ~)) лналогнчно получается и второе тождество. 636. Справедливость утверждения следует иэ того, что при замене х= *= сов О, — 1 < х < 1, имеем д 1 д д' сов б д 1 д' — — — — — + —.
да з!пб дд ' дхз э!пэб дб гйпзб дбз ' 6М. Поскольку при х= сов О Те [х) =Т„(соз О) = — [(соз О+(з!п О)" +(соэ Π— !э!п О)") = 1 2 = — 1е~"о+е 'ао]=созлб=сов" О-~ у!созе-зЬл!пэб+... 139 Т„(х)!=хи — ( ) хи-з(1 — хз)+... Иу. Пользуясь формулой для Т„(х) (см. решение задачи И6), получаем Т, (х) = 1, Т, (х) х, Т, (х) =- 2х' — 1, Т, (х) = 4хз — Зх. ЗМ. Пользуясь формулой Ти(х)=созлй (см.
решение задачи 666),'получаем 1 л Зх=~ соз л0 соз гл0 ой=О, л ~ ш. Ти(х) Тм (х) 1 о И9. ()Т,)1= ~ л, ((Ти)(= ~/ —, л=!, 2..., 640. Пользуясь формулой Лейбннна, находнм а=о а=о откуда н следует, что хЕ„(х) + (1 — х) Е„(х) + л(.и (х) = и-! [(л-Й) Й! (л — Й) (Й вЂ” Т)! (л — Й+1) (Й вЂ” Ц! — ( ) — ~х"= и-! =~ ( — Ц» — ", ~(„" ) (л — Й) — (л ",) (Й+ Ц~ = О. ь=! хз Зх' хз 641. Ее=!, Е1=1 — х, Е =! — 2х+ —, Е =1 — Зх+ — — —. 1 2! ' 642. Пусть л < и1.
В результате интегрирования по частям л+! раз получаем и и !' нл е-хЕи(х)Е (х)ох= — ! Е„(х) — (хле-и)йх= о СО Р хи+1 йи-и-1 =( Ц" +1 ~ — Еи(х) — (хле" и) Фх =О. („4.Ц1~ Д,.+1 и Д,„ и 1 о ИЗ. Интегрирование по частям л раз дает р,(и 1 Г е-иЕи(х)г(х= — Е (х) — (хие-и)лх ( Цз» хие"хдх= — л! ~ и дхи о о Г(и+Ц = — =1 поскольку, как известно, Г (л) = ~ х"-ге-" г(х. 190 644, из»=уе†Зугз, иг =хуз — хгз, из =уха †у, з 3 из- — хз — Зхг', паз= гУ' — †, гз, л3 =хрг, из — — х г-- г . Э з 1 з 3 646. У3=в!п ф з!п О (з!пз ф з!п' Π— 3 соз' О), уз»»соз ф $1п О(з!Пзф 3!Пз Π— соаз О), Уз = з!п <р з!пО (созе ~р з!п' Π— созе О), Уз=созна!п О(соз з~р з!п Π— 3 созе О), О (в!пз р з!п" Π— — з О), У ..
1 3 Уз = з1п ф соз ф з1пз О соз О, уз=соей ! соззмшпзд- — соз'О). 3 646. Поскольку функция 1 з/х у г т 1 з — из ~-у., —, — ) = — )з Ор. О) г - ~ г гз гз ) = г» является гармонической, ее множители ю()»» —, Урр, О)=Уа(Ч, О) являются решениями уравнений ы ( ыш') (з ) 12=9, дз ! д ( ЗУ~ а1п О д~рз шпддО ~ дд) --у- — + —, — (а!и Π— 11+12У=О, в чем легко убедиться,: если пользоваться записью оператора Лапласа в сферических координатах. 649.
Справедливость утверждения следует из тождества Ы '+' ыл+ ыл (гз — Ц вЂ” (Гз — 1) + 2! — (!з — Ц вЂ” т (ш+ Ц вЂ” (гз — Ц = О, полученного дифференцированием ш+! раз очевидного тождества (Гз — Ц вЂ” (Гз — 1) = 2ш! (!з — Цл. ыг 660. Справедливость зтих соотношений проверяется легко, если пользоваться представлением Ел(!) из задачи 649. Так, например, в силу указанного представления имеем Р»тт (!) — Р»-т (Г) = ыл 2»+ т (л+ Ц1 Ы㻠— (2(я+ Ц(!з — Цл+4п(я+ Ц !з(!з — Цл г) ыа (!з ц» г 2»-1(л — Ц! й!» Ыл Р (1) + !3(!3 ц» г 2»-г(л — Ц1 Ы!» Ыл — „(!з — Цл "Ь = Рл (!) +2лР» (!) = (1+ 2») Рл (!). 191 551. В справедливости утвержденна легче всего убедиться непосредственной проверкой, т. е, подстановной выражения (36) для Рм(Ц в левую часть уравнения (36).
552. Пусть л! > л. В этом случае, интегрируя л раз по частям, находим 1 1 Р. (Ор. (1) 1=2...„,„! 5ак(ьз-Ц"7Г((з-Цлд!- 1 1 1 ( Цл Л ДВ-В ДЗ — 3 — (1*- Ц вЂ” (П вЂ” Цл Д(= 2В+ВВЗ!л! ~ Д(В-» Дгз» 1 1 ( Цл(2В)! л ДВ-В ~ — (гз — Ц" Д(=О. 2»+Вгл!»1,) Дгл-л 1 '663. При п=гл (см. ответ к задаче 652) имеем 1 1 (2ю» Р з 2 24™(В!Цз,) 2и+Т' — 1 — 1 564. Поскольку (см. ответ к задаче 546) Уз з(~р, й) = з1 и !р соэ р э! па Ф соз Ф, то для Раз(сов 0)=Раз(1) имеем выражение Рзз(соэ Ф) = 15 з!и' б соэ ()=25 (! - оз'й) сов() =151 (1-!з), которое, очевидно. удовлетворяет уравнению (37) при лз 3, л=2.
666. Результат получится сразу, если проднфференпировать и раз урав- ненн« (36), а аатем принять Дло (1) и(ц=-у,—. 666. В справедливости утверждения убеждаемся, если в уравнение нз задачи 666 подставить Гз)-л!з рл (1) 669. В ураанеяии из задачи 566 положить р(Ц=(1 — П) "!~Я" (1). 661. Справедливость утверждения следует из формулы (39), если учесть опенку ) з!- л з ~ ~= ун!ЗТйуЗЮРТ»1. 662. Пусть гл(Ц=а»1»+... +а,— произвольный полипом степени меньгле лз. В результате интегрирования а раз но частям находим 1 1 1 Р ДВ Р, (х) гл(цД( = — ~ гл(1)Д1В(П-цл Ф -1 1 1 ( цлллл! г дл-л — ~ — (1-Ц Д(=О. ,) Дгл-В 1 563.
Справедливость утверждения следует из формулы (39), если положить в ней 0=0 и О =и соответственно. 564. Режет(0)=0, Рзм(0)=( — !)»вЂ” (2т)1 565. Поскольку оператор Лапласа можно внести под знак интеграла, справедливость утверждения следует нз соотношения аз[ Ь1 (а+|х соз 1+|уз!и 1, 1) = (1 — созе! — з|пз 1) — =О, дзз з=г+1х соя !+!уз!п д 566. В соответствии с утверждением задачи 560 имеем и и 1 Р Р ) (г+!х соз 1+!райн 1)" о! — ~ [соз О+| з!п 0 соя (1 ф)] во! 2п,) тм Р = — ~ [сов О+!ми 0 солт]м Лт = герм (сов 0), 2п Л 567. Если искать решение уравнения (42) по формуле (40), в которой - |г яп ! то уравнение (41) примет вид от!+лез=О, решением которого является функция о (1) =с+'~.
о 568, Н„' (г) = —. ~ ехр (г з]т т| — пп) дт) + а> 1 Г о Ю 1 Р ... 1 Р + — ~ ехр( — (гшпя+1пк)ля+ —.~ ехр( — азы)-пт( — !лп)5|), я о о Нв (г)= — —. ~ ехр(гз]|т) — лт))5т)+ <з> 1 à — ОР + — ~ ехр ( — (г з] п з+ гл С) сГз —. ~ ехр ( — г зЬ т| — л|)+ (пп) дт) ° 1 Р, ' 1 Р и |и о о 569.
Х„(г)= — ~ ехр( — ]ге!из+!ле)оз= — ~ соз(гз!п з — пз) сГя.. 2п л и -и о 570. Пользуясь выражением для гв(г) (см. задачу 569), имеем 7 „(г) = — ) соз (г а|п З+ лз) оз = 1 Р о 1 à — соз [г з1п (и — 1) + и (и — 1)] л( = ! Р =( — 1)' — ~ соз(гз!п! — п1)й=( — 1)" Х„(г). а 7 А. в. Ввяадзе, д,Ф. кзлвявчевко 193 571. Утверждение следует из оценки ) сов 1 (~1, справедливой для всех действительных значений 1. 072.
Пользуясь выражением для г'а(г) из задачи 571, имеем л л и(х, у, г)= — еха егхо'1а(г е1еглта(= — ехз ~ егхомай ена(е+й)дф= 1 и . 1 2л 2п = — еьгеГ"ИГ соз(Хрз1пф+тф)дф=еьге™/ и (Хр). х г Ь73. а) Решением задачи 1 дг' ди1 и!!=азии, О~г < й, Г > О, гДе Ьи= — — ~г— г дг ~ дг ) ' и (Р, 1) =О, ! и (О, 1) ( < се, 1 > О, и(г, 0)=А(йз — гз), иг(г, 0)=0, О~г~й, является функция -'® и(г, 1) 8АР'~' — соа Ра, ра — положительные корин уравнения Уейь)=0.
б) Решением задачи 1 д г' ди'т им=а Ли, О~г < Р, 1 > О, где Ьи= — — !(г — ~, г дг ( дг ) ' и(Р, 1)=0, (и(0, 1) ! < со, 1 > О, и(г, 0)=0, иг(г, 0)=(г, О~ге-,й, является функция 0 а=! "а '("") 674. а) Решением задачи ! д г' дий и!=атон, О~г < Р, 1 > О, где Ли= — — ! г — ), г дг(, дг)' и (Р, 1)=0, )и(0, П! <, 1 > О, и(г, 0)=(ггз, 0 -г~й, является функции Ф гана') ° и(г,()=-4(г'йз ра з з е ' '1 г ге 11 — г), , рагз(ра) Рз — положятельные корни уравнения ге (Р)=0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
