1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 36
Текст из файла (страница 36)
в) и (2, 2) = 3, и (2, 3) = 4, и (2, 4) = 5. Два решения в случаях а) и б) обусловлены двумя значениями и(1, 1) в узле (1, 1), равноотстоящем от осей координат о различными даннымн на них. 625. Предположим дополнительно, что граница 8 области 0 и рассматри- ваемые ниже функции и(х, у), Л(х, у) таковы, что справедливы тождества и,Л„+ и„дв — — (ихЛ)х+(изЛ)к — Лби, (х, у) Е О, 0(и,Л)=~(Лхих+Л иа)даду= Л вЂ” дз — ~Ламбаду. (ь) != ди =~ дт и 0 В атом случае, если и(х, у) — решение задачи Диринле Аи(х,у)=0, (х, у)ЕР, и(х, у)=!р(х, у). (х, у)~8, то класс допустимых функций можно представить в виде и (х, у)+ад(х, у), где з — произвольная постоянная, а Л (х, у) — произвольная функция из класса допустимых функций, удовлетворяющая краевому условию Л (х, у) = О, (х, у) ~Ю, Тогда из тождества 0(и+еЛ)= Р(и)+2е0 (и, Л)+ез0 (Л) (еа) заключаем, что 0(и) ~Р(и+зЛ), т.
е. и(х, у) — минимизирующая функция. Пусть теперь обратно: и(х, у) — минимизирующая функция. Из тождества (ев) следует, что 0(и, Л)=0. В противном случае, подобрав постоянную е так, чтобы выражение еР(и, Л) было отрицательным, из тождества (еи) получим противоречие 0(и) > 0(и+зЛ). На основании равенств 0(и, Л)=0, Л(х,у)=0, (х, у)~5, из (з) заключаем, что Л Ьи дх Ыу = О, и откуда в силу произвольности Л следует, что Ли=О, т. е. и (х, у) — решение задачи Дирихле.
626. В классе непрерывно дифференцируемык функций у(х), О~к~!, выполнение условия у (0) =0 гарантирует существование функционала )а. Так как у(0)=0, у(1)=а, то можем написать ! ! 1 )и(У)=~ ( — — — У) хдх+2п~У вЂ” Ых=~ ( — — — У) хдх+Яаз. о о о Отсюда следует, что минимизирующая функция должна быть решением обыкновенного дифференциального уравнения ду и -у=б, дх х т.
е. у=ах", га(п уз=паз. 627. Так как 0 ~ — з!п ха!ну) =2, Н ~ — з(п хз!ну) 1, ~п у ' ~п то для любой допустимой функции и (х, у) имеем 72 0 ~ — з!их з1п у) ) 12 — — 2, т. е. Н(и)~ 2 0(и) Н ~ — з1п х б1п у) 628. В начестве координатных возьмем систему функций (б! п»х), » = 1, 2... По схеме Ритца имеем у„= ~ с» Мп Ах, Минимум выражений 0(ул)= — ~ с»»з, л=1, 2, ..., ияч з 2 ~м »=! и Ъ"ч з а 2 при условии, что Н(у„)= — т. с»=1, реализуется при с,= —, с» О, 2 ~~ и' » = 2, 3, ...
Следовательно, / 2 у„= ггг — з!п х, (пп 0 (у„) = 0 (у) = 1. л 629. Так как в силу задачи 628, ппп — =1, то для любой непрерывно 0 (у) н(у)= дифференцируемой на сегменте О~к~и функции у(х), удовлетворяющей усзювиям у (О)=у (и) =О, имеем оценку Н(у) ~ 0(у). 5 5 630. У1(х)= — х(х — !). 631. и,(х, у)= — (хз — 1)(уз — 1). 2 ' ' ' 16 632. Рассматриваемое уравнение является уравнением Эйлера для функционала 0 (и) = ~ (и„+ иза — 2хуи) ах уу. и Определяя минимум выражения 0(и,) =с',145 — с!72, находим с=б/16. Следо- 5 вательно, и, (х, у)= — ху(х — 1) (у — 1). 16 633.
Систему координатных функций возьмем в виде о»,У— 2»(ргиг) соз»О, о»! — — (ю(р,г)вп»О, », 1=0, 1, ..., где х=гсозО, у=ге!пб, а р»,— положительные нули бесселевой функции Х»(х), аанумерованные по 1 в порядне их возрастания. о»1 и и, являются собственными функциями уравнения Гельмгольца Ьо+р о=Он круге Я. Пусть и „= ~я~~ ~~ (и»1о»1+()»1о»1), л1, и=О, 1, »=О !=О 210 где пап ()щ — произвольные действительные постоянные. В силу очевидных равенств )) (и, и) = ОН (и, о) = РзН(и, о), справедливых для любой пары собственных функций и и о, соответствующих собственным числам д и р, м л |( „=0 (имч) = ~ЧР ~~т Ра| $ (аЪ|за|+Ва|еа|)Г(ХГ(У «=о |=о Очевидно, что при любых т, и минимум етого функционала реализуетсятогда, когда кроме аоз все аз|, ()аг равны нулю и 1 хпсчзз ~ зо(розг) г|тг= ! о причем 1 |п!п" и=г)зз=йпгхзчрзз ~ гlо(розг)пг Роо о и минимизирующей функцией является и о (Розг) УйУ (Р ) 634.
Поскольку () (и) з |п!п — =рзо, Н(и) то для любой допустимой функции из задачи 633 имеем р Н(и)о~0 (и), т. е. С = !(р~~, где ррз — наименьший положительный нуль функции Бесселя |'з(г). Приложения 1. Квадратные матрицы и квадратичные формы Совокупность скалярных величин а»„1, »=1, ..., л, из некоторого коммутативного поля Р, расположенных в виде таблицы а,т ... агп~ Рпз ... лэп называется квадратной малтрицей порядка л нли лхл-катриной, а сами величины а㻠— элеменлшли матрицы а. Множество элементов а», 1=1, ..., л, называется главной диагональю матрицы а. Говорят, что матрица а является треугольной, если ее элементы а», при 1 >» все равны нулю. Треугольная матрица а называется диагональной, если все еп»=0 при 1 ~ ». Диагональная матрица называется единичной, если а»=1, 1=1, ..., л. Единичную матрицу принято обозначать буквами Е или э.
Выражение адт ... аш йе1 а — оез оеп (2) Опт опп называется детерминантам матрицы а. Матрица а называется нееырожденкой или неособенной, если йе1 а Ю О. Для невырожденной матрицы а, определенной по формуле (1), вводится обрашная матрица а-', элементами которой являются величины йе1 а ' ~',»=1, ...,л, (3) где А»; — алгебраические дополнении элементов а;» в детерминанте (2) магри. цы а. Матрица а" с элементами а',=а»» г, »=1, ..., л, называется тралслокироеапкой по отношению к матрице а. Матрица а над полем действительных чисел называется симметричной, если а;»=а»ь 1, »=1, ..., л. Суммой двух лхл-матриц а=((аг»1, Ь=((Ьг»(( называется лХл.матрица с, элементами которой служат величины сг»=-а;»+Ь!ю 212 а произведением этих матриц называется матрица с с элементами с!а= ~~ аПЬ)ь, 1, Ь=!, ..., л.
г=! (4) В силу (4) очевидно, что для лХн-матриц а, Е справедливы равенства аЕ=Еа=а. Произведением скалярной величины Х из поля Р на пхл-матра!)у а называется нХа.матрица с с элементами с!а=Да!э 1. у=1 На основании равенств (4) в силу определении произведения детерминантов заключаем, что если матрицы а и Ь одинакового порядка, то йе1аЬ= йе(а бе1Ь. (б) Из равенства (5) в свою очередь в силу (3) следует, что если матрица а невырождена, то йе! аа- ! = 1. Матрица а называется орл(сгонахьной, если ~Ч~, 'ара э=6;а, !, Л=1, ..., л, 1=1 где (1, 1=у, 6!а г( О, 1 ~ Ь.
Для и-мерного вектора р с компонентами рд, ..., р„ из паля Р примем обозначение р = (рт, ..., Р„). Под произведением скаляра к из поля Р на л-мерный вектор р понимается л-мерный вектор г Хр (дрт, ..., Хр„), а под скалярным (внутренним) произведением двух л-мерных векторов р= = (рт, ..., Ри), д=(дт, ..., 4„) — скаляр Р'Ч= ~л~ ~Р!ур г=! Произведение лхл-матрицы а на л-мерный вектор р=(рт, ..., Р„), по определению, есть вектор у=ар с компонентами л дг= ~~~ а;лрю в=1, ..., л. (б) ь 1 Говоря, что матрица а или вектор р действительны, непрерывны, дифференцнруемы, принадлежат к классу гладкости С<м ">, имеют особенности данного 213 под суммой двух и-мерных вектоРов р=(ры ° .. Рн) Ч=(уы ° Чн) понима. ется н-мерный вектор г=р+Ч=(Р.+Чы " Рп+Чн), порядка и т.
д., мы будем подразумевать, что каждый элемент матрицы а илн каждая компонента вектора р обладает унаэанными свойствами. Точка х=(х„..., х„) евклидова л-мерного пространства Е„с декартовымн ортогональнымн координатами х„..., х„, представляет собой и-мерный вектор, носящий название радиус-вектора. По данному выше определению произведения пХп-матрицы а на л-мерный вектор, выраженного формуламн (6), линейное преобразование в пространстве Е„ л УС= чь„а;ахл, С=!, ..., и, (7) е=! можно записать в виде (8) у=ах. А (х, у) = ~ агзхгуэ !, в=! (9) называется билинейной. Пользуясь понятиями произведения п)(н-матрицы а на и-мерный вектор х в внутренним произведением двух и-мерных векторов, билинейной форме (9) можно придать вид А (х, у) =(ау).х.
Билинейная форма (9) называется квадратичной, если радиус-векторы х=(хт', ..., х„) и у=(у,, ..., у„) совпадают. Для квадратичной формы А (х, х) принято обозначение с;с(х): н сч(х)=А(х, х)= ~~, 'а!эх;хз=(ах) х. (10) !', в=! Матрица а=((ат(( называется патрис(гй квадратичной формы Сг(х). Существует такое невырожденное линейное преобразование х=Ьу (1Ц с пХп-матряцей Ь, в результате которого квадратичная форма (!0) приводится к каноническому виду с',с (х) = С) (Ьу) = сд' (у) = р,' а!Уз, (12) где ссс принимают значения 1, — 1, О.
Прн этом имеет место следующий весьма важный 214 Каждая нз функций уп определенная по формуле (7), представляет собой линейную форму н переменных х„..., х„, Преобраэованне (7) называется нввырождгнным, если матрица а незырождена. Невырожденность линейного преобразования гарантнрует его однозначную обратимость.
Когда матрица а линейного преобразования (8) симметрична нлн ортогональна, преобразование (7) нлн, что то же самое, (8) цазывается соответственно симметричным нли ортогоновьным. Форма второй степени переменных х,, ..., х„, у„..., у„ Закон инерции квадратичных форм. Число отрицательных (положительных) когффициентов (индекс инерции) и чисяо нулевых когффици. ентов (дефект формы) в правой части формулы (в канонической форме) (12) являются инвариантными относительно всех линейных невырожденных преобразований (11).
1!. Принцип Гамильтона При выводе дифференциальных уравненнй математической физики чаще всего пользуются вариационным принципом Гамильтона. Пусть имеется материальная система, положение которой определяется конечным числом пространственных параметров уы ..., цт Закон движения системы нам будет известен, если известны значения этих параметров как функции вРемени 1 из пРомежУтка )ь ~ Гн Гм Кинетическую и потенциальную энергии этой системы обозначим соответственно через т=т(1. уы ..., ут у,, ..., уа) и и=и и, д„..., уа), где де †производн первого порядка от д; по Ь Как известно, кинетическая энергия т представляет собой положительно определенную квадратичиуюформу переменных ды ..., ул с коэффициентами, зависящими от Г, ды ..., дн: и т = ч; т;а (г, у,, ..., уп) угуь.
(1) ь ь=! Допустимыми будем называть движения, описываемые системой функций дгь(1)=д;(Г)+бд;(Г), 1=1, ..., П, (2) где 541(1), 1=1, ..., п,— произвольные достаточно малые величины, удовлетворяющие условиям бас (Га) = дуг Ит) = О, (3) Я~~ дт бит дт (6) 215 Принцип Гамильтона. Движение системы происходит так, что описывагицие его функции дь .. „дл, дают стационарное значение интегралу )= Г~(т — и) йг, (4) ы по сравнению со всеми допустимыми движениями (2). Следовательно, для действительного движения д; = Вд (1), 1= 1, ..., и, необходимо и достаточно, чтобы вариация интеграла (4) равнялась нулю: 6 ~ (т — и) й( = о. (5) ы Пользуясь формулой конечного приращения, в силу (2) из (5) получаем На основании (3) в результате интегрированяя по частям равенство (6) запи. шетси в виде л ) / б дт дт дий — — — — + — ~ бд,иг=О, ддг дат ВЧГ ) ~Ф бо;= — бон 1=1, ..., и.
И бг В силу произвольности величин бдг из (7) получаем г( дт дт ди — — — — + — =0; 1=1, ..., и. (8) Ф Оог дог дог Равенства (8) представляют собой систему дифференциальных уравнений движения нашей материальной системы. Когда функции Т и У явно не зависят от времени ( и система находится в положении равновесия, в силу (1) из (8) получаем — =О, 1=1, ..., и. ди (9) лтг Как известно, выполнение равенств (9) является условием, необходимым для экстремума функции У. Состояние равновесия, определенное значениями фн ..., с„, удовлетворяющими системе конечных уравнений (9), будет усюойчнвым, если функция У для этих значений ее аргументов имеет минимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
