1625915355-f05215b85c5ab8e38579ffe8382f7839 (843928), страница 35
Текст из файла (страница 35)
о Используя граничное условие и (О, Г)=р(Г) и предполагая, что фунхция и и ее производная по х стремятся достаточно быстро к нулю при х — ч-со, имеем Ф 1/2 ( Г2 ра Уг(с, г)=аз 1 — иххз1п ххбх=аа ~/ — ихз(пах~ Г и,) — У ° ° ! о Ю Ю вЂ” а гах — $ ~ и созкхбх= — а 1гг — 6 ~ и„соввхдх= ~2 ( ~г ) х Уи 3" о о = — ах~г — 6(исозях1 +В и(х, 1)з(пзхбх1= =аа )/ — ьр (Г)-азтьзУ ($ О. хаким образом, исходная задача редуцируется к задаче Уг+аз$тУ =аз У вЂ” $Р(~), У ($, О)=0, -/ 2 из которой находим У (к, г) = аа У~ 2 т ~ е е Р (г т)р (т) Нт.
о 202 Пользуясь обратным синус-преобразованием Фурье, имеем ! Ю и(х, С) = )сс — ~ (С ($, !) з(п4хс(ь,= — ~ р(т) с(т ~ $е а»<с т) з<п$х(($ о о о ~Π— "' "-" ~ )*) -*) -" "-*'- )*~с~= .(с-) !»= 3 о 'о с й х (' р(!)с(т (' »*<с ) л,) (! — т),) о о Отсюда, с учетом равенства (е) из решения задачи 602, получаем решение задачи )) (т) се (с т) 1 (с — )"* преобразованием Фурье; см.
также решение задачи 604. (х-»)' (х+») ° 1''- (аз (с-с) еав <с-т) 1, с 6 606. и (х, С) =— 1 Г 2а)с л,) )/~ — т о о х х 607. и(х, у, С)= (х-»)'+(а-ч)' е <р(хь Ч)с(»с<Ч. Воспользоваться кратныл< (двумерным) преобразованием Фурье, которое опре- деляется формулами Ф И Е (ь, Ч) = ~ ~ е (»х+ч")1(х, у)((я((у, 1 ( )/2л) е -е — х О м с(х, у)= ~ ~ ес<»х)чз)ст(з, т()ссь((ч. 1 ()с 2л)з 606.
и(х, у, !) = с Оэ ш (х»р е(у ч)а 1 Г с(т Г ( сав (! т) ( ( ~ е 7 (ь. Ч. т) с(» с(Ч о -ОР -й См. указание к решению задачи 607. 609. и(х, у, С)= Семи< хе ~*- ьн (»ы) 1"'1~' "' ' '"' 1'"'"'""' 203 х и(х, С)== 22аа»' л „! ! 605. и(х, с)= — = ( )сл,( )с~ — т о х~ им(с-т) е с(т. Воспользоваться косинус- Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром — е -з)п ут) -сха К (х, у; $, т)) = = ! У 2. при — со < х < со, 0 < у < со. 610. и (х, у.
1) = у (' бс (2а Ухп)з 3 (1 т) сх (х-Ь' З' са'((-т) Е е о — Э См. указание к решению задачи 609. 611. и (х, у, 1) = а ю (х-$)сх(З-Ч)* (х — $)с+(а+Ч)* , ~ 4~~е " +е ' 1Е(ь т))(ЕЧ. -а о Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром Ун-К +а) У=У. Отсюда У(Е, )=Се(1*'а*)ив У хьс+аз Так как у > О, то в силу того, что У (~, у) — О, (, — со, должно быть С = О, т е У (~. У)= — х х . Следовательно, р (1) Ез+аз ' ! Г У (х, у) = — — ! Е (х — $) з)п а$ с(й, а~ о 613.
и(х, у)е Ае и сов 2х — — ха(их. См. решение задачи 612, -з В 2 614. а) Математическая постановка задачи и(=азиях, 0 < х < 1, 1 > О, и(+О, 1)=б(1), и(1 — О, 1)=0, 1 > О, и(х, +0)=0, 0< х < Е. Пользуясь преобразованием Лапласа по переменной В са У (х, Ь)= ~ е ь~и(х, 1) (ЕЕ, о редуцнруем эту задачу к задаче У„„— —., У=О, 0 < х <1, У(+0(Ц=), У(Š— О,Ь)=0, аа 204 К(х, у; в, )))= гзг — е 1 сову)) -1 х )' 2п при — со <х< со, 0<у< со.
612. Пусть У (~, у) и Р(Ь) — образы по Лапласу функций и(х, у) и Е(х) соответственно относительно переменной х. Тогда исходная задача преобразуется к уравнению решая которую находим .й — '" р~ У(х, ь)= зй — 2» Для получения искомого решения и (х, 1) (оригинала функции У (х, ~)) преоб. разуем У(х, Ь). Имеем е « — е У (» ь) = 21 у— ! — Е а е — е -( )~ )~ е «Фо е " — ~ е «Фо «Ф! ! ак как при й > 0 изображением (по лапласу) функции ф (2, 1) = е 212 является функция е 2 ь (см. таблицы оригиналов и изо- 2 )/ игз/2 бражений), то из (2) находим оригинал и(х, 1) образа У (х, ~) в виде »с Ф и (х, 1) =~~~Ф, ф ( —, 1) — ~, ф ( —, 1) «Фо «Ф! Отсюда, учитывая нечетность функции ф (х, 1) по переменной х, получаем Ф »» (2«!е«!» а ' ) 2а )»'й121» б) Решением задачи и,=ази„„, 0 < х < со, 1 > О, и(+0,1)=б(1), и(со — 0,1)=0, 1>0, и(х, +0)=0, 0<х<со, является функция (см.
также случай а)) «» и(х, 1)ФФ е 2а Уигзгз в) Решением задачи и!=пи„„, 0<»<со, 1>0, и(+О, 1) =р(1); и(со — О, 1) =О, 1 > О, и(х, +0) =О, 0 < х < со, является функция (сл!. также случай а)) ! х г е аз 2а т' й, (1 — т)212 о Сравните с решением задачи 004. 616. а) Математическая постановка задачи 1 игг=а и„, О < х < со, ( > О, а= —, )г ю и(0, Г)=Е(Г), г > О, и(х, () — ограничена при х — +со, и (х, О) = иу(х, О) = О, О < х < со.
Пользуясь преобразованием Лапласа по переменной (, получаем решение втой задачи в виде и(х, г)= о, г< — "= РЖ а е (( — х У 1,С), г > х ргЕС. б) Решением задачи и„„=аким+2Ьис+с'и, 0 < х < ос, т > О, и(0, с)=Е(0, ( > О, и(х, г) — ограничена при х — ьоо, и (х, 0) = ис (х, 0) =О, 0 < х < со, 1 а =ЕС, Ь= — ~СЕ+и), с =ЕЕ, 2 является функция О, т < ах, е-аткЕ(т — ах), г > ах, где т=Ь)аз. О, х>а(, к 616. и(х, т) = а — ае' ск-оп ~ еа"тср (т) с(т, х < ад о 617.
а) Математическая постановка задачи для определения температуры и~и(г, г): ! д / диу дси сзи= — — ~г — )+ — =О, О~г < со, г > О, и (г, 0) = )(г), и (г, со) = О, 0 < г < со, и (со, г) = и (со, г) = О, г > О. Умножим обе части уравнения на гсс(Чг) н проинтегрируем по г от 0 до со. Интегрируя по частям и пользуясь граничными условиями и(со, г)=и„(со, г)=0, мы получим В О д'и г д У ди'с гк' (Ч г) —, с(г = — к' (т) г) — ~ г — ) с(г = и дгс — с дг ( дг ) о к сс ди )г= Г ° ди Г ° ди = — гус(Чг) — ~ +Ч 1 гааз(Чг) — д =Ч1 гуз(Чг) — 6 = дг ).=е 5 дг дг о о -Ч ~ ° уо (Чг) ~ — ~ и — И (Чг)1 д ~ =-Ч ~ — (гуе (Чг)1 д = !=о ~ дг д. Ч ~ иУе(Чг)д — Ч'~ Уо"(Чг)с(. Выражая далее гс(Чг) из уравнения дз 1 И (1гз Уо(Ч')+ г,(г Уо(Ч )+Ч о(Ч')= 0) получаем дзи «.
гто(Чг) дгз д~=Ч г"го(Чг) "«1г или (~«г=Ч с' где (г (Ч г)=) ггс(Чг) и(г, г) д — изображение Ханкеля функции и(г, г). о Таким образом, с помощью преобразования Ханкеля рассматриваемая задача редуцируется к задаче и„- си=а. О<г<, и(Ч,О)=р(Ч). и(Ч...)=О, где г" (Ч) = ~ «ге(Чг)1(г) дг, решая которую находим о У (Ч, г)=г" (Ч)е "*. Отсюда, пользуясь обратным преобразованием Ханкеля. получаем решение исходной задачи ь с г ) (, )-( с)(( )г(с)* (с-( с),(с ) "() )(,(())(())()]() о о о б) и(г, г)=Т)с) ~ г'о(Чг))дЯЧ) е Яг«(Ч. См. решение задачи для слу.
о чая а) в) Решением задачи 1д/ди~ дзи (уи= — — (г — у!+ — =О, О~г < со, г ) О, г дг ), дтпл дгз и (г,О)= й — У+йи(г, О), О~г <)1, Ьи(г, 0), )1~г < со, и(г, «о)=0, О~г < со, и(со, г)=иг(со, г)=0, г ) О, является функция с) о)1 по ч* ( )= — ( — У (Ч)У.(Ф)дЧ. = й,) Ч+Д о См. решение задачи для случая а). 018. и (х+ й, у) + и (х — Ь, у) + и (х, у+ й) + и (х, у — 6) — 4 и (х, у) = О. 019. Конечноразностная замена уравнения Лапласа в рассматриваемом случае имеет вид и (х+ 1, у) + и (х — 1, у) )- и (х, у+ 1) + и (х, у — ! ) — 4и (х, у) = О.
В вершины квадратов (',«о по указанной выше схеме переносятся краевые значения и(х, у), а в узлах (О, О), (1, 0), ( — 1, 0), (О, 1), (О, — Ц значения и(х, у) определяются нз линейной системы и(1, 0)+и ( — 1, 0)+и (О, 1)+и (О, — 1) — 4и (О, 0)=0, 4и (1, 0) — и (О, 0) = и (2, 0)+ и (1, 1) + и(1, — ! ), 4и(0, 1) — и (О, 0)=и(1, 1)+и( — 1, 1)+и(0.
2), 4и ( — 1, 0) — и (О, 0) = и ( — 2, 0) + и ( — 1, 1) + +и( — 1, — !), 4и (О, — 1) — и (О, 0) = и (1, — 1) + и ( — 1, — !) + + и (О, — 2), детерминант которой отличен от нуля. Решая эту систему для каждого из рассматриваемых случаев, получаем; а) и(1, 0)=и( — 1, 0)=и (О, !)=и(0, — 1)=и(0, 0)=0; точное ре- шение — и (х, у) = О. б) и (1, 0) = и ( — 1, 0) = и (О, 1) = и (О, — 1) = и (О, 0) = 1; точное реше- ние — и (х, у) = 1. в) и (1, 0) = — и ( — 1, 0) = 1 + 7гг 2, и (О, 1) = и (О, — 1) = и (О, 0) = 0; точное решение — и (х, р) = х.
620. Значения и (х. у) в вершинах квадратов 9э определяются по указан- ной выше схеме, а и(0, 0), и(0, 1), и(0, — !) определяются нзлннейной системы Фи(0, 0) — и(0, 1) — и(0, — !)=и(1, 0)+и( — 1, 0), и (О, 0) — 4и (О, !) = — и (1, 1) — и ( — 1, !) — и (О, 2), и (О, О) — 4и (О, — 1) = — и (1, — 1) — и ( — 1, — 1) — и (О, 2).
а) и (О, 0) = и (О, 1) = и (О, — 1) = 1; точное решение — и, (х, у) = 1. 3 3 б) и(0, 0)=0, и(0, 1)= —, и(0, — 1)= — —; точное решение— 2' ' 2' и (х, у) = у. 3 3 в) и (О, 0) = О, и (О, 1) = —, и (О, — 1) = — —; точное решение — и (х, у) = 2' ' 2' =х+р. 621. и(х+Н, !)+и(х — й, 1) — 2и(х, !) — йи(х, !)+ли(х, ! — л)=0. 622. В узлах (1, 5), (1, 4), (1, 3), (1, 2), (1, 1), (2, !), (3, !), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5) значения и(х, 1) выражаются через краевые значения по указан- ной выше схеме, а для определения и(2, 2), и(2, 3), и(2, 4) имеем линейную систему и(2, 2) — Зи(2, 3) = — и(1, 3) — и(3, 3), и (2, 3) — Зи (2, 4) = — и (1, 4) — и (3, 4), Зи(2, 2) =и(1, 2)+и (2, !)+и(3, 2) с отличным от нуля детерминантом.
В рассматриваемом случае и (2, 2) = и (2, 3) = и (2, 4) =2; точное решение— и (х, д) = х. 823. и(2,2)=31/8, и(3,2)=6!/8. 624. Конечнораэностной заменой уравнения являет~)я и (х+ й, у + Л) — и (х + л, у) — и (х, у+ 5) + и (х, у) = О. В качестве значения и (х, у) в каждом узле, являющемся вершиной квадрата, примыкающего к координатной осн, примем заданное значение и (х, у) в ближайшей к этому узлу точке осн.
Для определении и (2, 2), и (2, 3), 208 и(2, 4) имеем систему линейных уравнений и(2, 2) — и(2, 3) =и(1, 2) — и(1,3), и(2, 3) — и(2, 4)=и(1, 3) — и(1, 4), и(2,2) =и(2,!)+и(1,2)-и(1,1), решениями которой в каждом нз рассматриваемых случаев являются: а) и (2, 2) = и (2, 3) = и (2, 4) = 2 или и (2, 2)* и (2, 3) = и (2, 4) = 1. б) и (2, 2) = 2, и (2, 3) = 3, и (2, 4) = 4 илн и (2, 2) = 1, и (2, 3) = 2, и (2, 4) =3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
