1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ70Êîýôôèöèåíòû Cj îïðåäåëÿþòñÿ â (4.22). ÿâíîì âèäå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íàîêðóæíîñòè áóäåò âûïèñàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.4.6 Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâÏðèìåð 4.3. Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è î êîëüöå äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì â ñëó÷àå, êîãäàíåîäíîðîäíîñòü ïðåäñòàâèìà â âèäå êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ñ èçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè:Nh0 (t) X+hk (t) cos(kx) + gk (t) sin(kx),ut = a uxx +22x ∈ R,t > 0;k=1u|t=0 = 0;u(x + 2π, t) = u(x, t).Ðåøåíèå u(x, t) èìååò âèäNA0 (t) X2u(x, t) =+(Ak (t) cos(kx) + Bk (t) sin(kx))e−k t2k=1ñ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè Ak (t), Bk (t).Ïîäñòàâëÿÿ u(x, t) â óðàâíåíèå è â íà÷àëüíîå óñëîâèå è ïðèðàâíèâàÿêîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèÿõ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùèì çàäà÷àì Êîøè äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè k = 0:A00 (t) = f0 (t);A0 (0) = 0;ïðè 1 6 k 6 N :2Ak (0) = 0;2Bk (0) = 0;A0k (t) = ek t fk (t);Bk0 (t) = ek t gk (t);4.6.
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ71Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íàÿ ñóììàNA0 (t) X2u(x, t) =+(Ak (t) cos(kx) + Bk (t) sin(kx))e−k t ,2k=1ãäå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè:ZtA0 (t) =f0 (τ )dτ ;0ZtZt2ek τ fk (τ )dτ ;Ak (t) =2ek τ gk (τ )dτBk (t) =01 6 k 6 N.0Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ íåíóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì, òî óäîáíî ðàçáèâàòü èñõîäíóþ çàäà÷ó íà äâå: îäíîðîäíîåóðàâíåíèå ñ íåíóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì è íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñíóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì.Ïðèìåð 4.4. Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷èut = a2 uxx + e−t cos(2x) + 3 sin(5x) + 4t,x ∈ R,t > 0;u|t=0 = 7 cos(x) + 5 sin(2x) + 6;u(x + 2π, t) = u(x, t).Ðåøåíèå u(x, t) áóäåì ðàçûñêèâàòü â âèäå ñóììû äâóõ ôóíêöèéu(x, t) = u(1) (x, t) + u(2) (x, t),îäíà èç êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ ñ íåíóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì(1)ut = u(1)xx ,x ∈ R,t > 0;u(1) |t=0 = 7 cos(x) + 5 sin(2x) + 6;u(1) (x + 2π, t) = u(1) (x, t),4.6.
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ72à âòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì:(2)−tut = u(2)xx + e cos(2x) + 3 sin(5x) + 4t,x ∈ R,t > 0;u(2) |t=0 = 0;u(2) (x + 2π, t) = u(2) (x, t).Ðåøåíèå ïåðâîé çàäà÷è u(1) (x, t) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéu(1) (x, t) = 7 cos(x)e−t + 5 sin(2x)e−4t + 6.Ðåøåíèå âòîðîé çàäà÷è u(2) (x, t) áóäåì ðàçûñêèâàòü â âèäå êîíå÷íîéëèíåéíîé êîìáèíàöèèA0 (t).2Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïîëó÷àåì çàäà÷è Êîøè:u(2) (x, t) = A2 (t) cos(2x)e−4t + B5 (t) sin(5x)e−25t +A00 (t) = 8t;A0 (0) = 0;A02 (t) = e4t e−t = e3t ;B50 (t) = 3e25t ;A2 (0) = 0;B5 (0) = 0;ÎòñþäàA0 (t) = 4t2 ;B5 (t) =A2 (t) =¢1 ¡ 3te −1 ;3¢3 ¡ 25te −1 .25Òîãäࢢ1 ¡ 3t3 ¡ 25te − 1 cos(2x)e−4t +e − 1 sin(5x)e−25t + 2t2 .325Îêîí÷àòåëüíî, íàõîäèì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷èu(2) (x, t) =u(x, t) = 7 cos(x)e−t + 5 sin(2x)e−4t + 6 +¢¢1¡3 ¡+ e−t − e−4t cos(2x) +1 − e−25t sin(5x) + 2t2 .325Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ñ äðóãèìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè.4.6.
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâÇàäà÷à 4.13. Íàéäèòå ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èut = uxx +NXk=1¶πkgk (t) sinx ;`µx ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = 0;u(0, t) = 0;u(`, t) = 0.Îòâåò.2µ¶ − πk tNXπk`u(x, t) =Bk (t) sinx e,`k=1ãäåZt2ek τ gk (τ )dτBk (t) =1 6 k 6 N.0Çàäà÷à 4.14. Íàéäèòå ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷赶Nπkf0 (t) Xut = uxx ++fk (t) cosx ;2`x ∈ (0, `),k=1u|t=0 = 0ux (0, t) = 0;ux (`, t) = 0.Îòâåò.2µ¶ − πk tNXA0 (t)πk`u(x, t) =+Ak cosx e.2`k=1ãäåZtA0 (t) =f0 (τ )dτ ;0Zt2ek τ fk (τ )dτ ;Ak (t) =01 6 k 6 N.t > 0;734.6.
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ74Äàéòå ñëîâåñíûå ôîðìóëèðîâêè è íàéäèòå ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõíà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷.Çàäà÷à 4.15.ut = uxx + t + e−2t cos(3x),x ∈ R,t > 0;u|t=0 = 3 + 4 cos(x) + 5 sin(2x);u(x + 2π, t) = u(x, t).Çàäà÷à 4.16.ut = uxx + t + e−t sin(2x),x ∈ R,t > 0;u|t=0 = 1 + 2 cos(3x) + 3 sin(x);u(x + 2π, t) = u(x, t).Çàäà÷à 4.17.ut = uxx + e−t sin(x) x ∈ (0, π),t > 0;u|t=0 = 2 sin(3x);u(0, t) = 0;u(π, t) = 0.Çàäà÷à 4.18.ut = uxx + e−4t cos(2x) x ∈ (0, π),t > 0;u|t=0 = 2 + 3 cos (4x) ;ux (0, t) = 0;ux (π, t) = 0.Çàäà÷à 4.19.πut = uxx + 5t cos(3x) x ∈ (0, ),2u|t=0 = 4 cos (7x) ;³π ´ux (0, t) = 0; u, t = 0.2t > 0;4.6.
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ75Çàäà÷à 4.20.πut = uxx + 4t sin(3x) x ∈ (0, ), t > 0;2u|t=0 = 3 sin (x) ;³π ´u(0, t) = 0; ux, t = 0.2Âûïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó è íàéäèòå ðåøåíèå ñëåäóþùèõçàäà÷.Çàäà÷à 4.21. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1] ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè ïëîòíîñòè t sin(2πx), íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàu|t=0 = 2 sin(3πx) cos(πx).Çàäà÷à 4.22. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1] ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè ïëîòíîñòè t cos(2πx) êîíöû ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàíû, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàu|t=0 = 4 cos(2πx) cos(πx).Çàäà÷à 4.23.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1] ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè ïëîòíîñòè¶3πxcos(πx),4e cos2ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí,íà ïðàâîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿòåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàµ−2tu|t=0 = 6 cos(7πx).Çàäà÷à 4.24. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1/2]ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè ïëîòíîñòè2e−4t sin(2πx) cos(πx),4.6.
Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ76íà ëåâîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ, ïðàâûé êîíåöñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàu|t=0 = 8 sin(5πx).Ãëàâà 5Ìåòîä Ôóðüå äëÿ îäíîðîäíîãîóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÌåòîä Ôóðüå èëè ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îãðàíè÷åííûõ îáëàñòåé.Îäíîìåðíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè âîçíèêàåò â çàäà÷àõ î ðàñïðåäåëåíèè òåïëà â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ u(x, t), äàþùóþ çàâèñèìîñòüòåìïåðàòóðû â òî÷êå ñòåðæíÿ ñ êîîðäèíàòîé x îò âðåìåíè t.Âíà÷àëå ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíåíèè òåïëà â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå çàäàííîé äëèíû (0 6 x 6 `) â òîì ñëó÷àå, êîãäà îòñóòñòâóþò òåïëîâûå èñòî÷íèêè (èëè ñòîêè).
Òàêàÿ çàäà÷à îïèñûâàåòñÿ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè. Åñëè íåò òåïëîîáìåíà ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ñòåðæíÿ, òî ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì óðàâíåíèåìòåïëîïðîâîäíîñòèut = a2 uxx ,0<x<`(5.1)Çäåñü u(x, t) òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé x â ìîìåíòâðåìåíè t, a2 êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè.Åñëè ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü îñóùåñòâëÿåòñÿ êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé ïî çàêîíó Íüþòîíà, òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ïðèìåò âèäut = a2 uxx − h (u − u0 ),(5.2)5.1. Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé78çäåñü u0 = const òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû, h êîýôôèöèåíò òåïëîîáìåíà. Ýòî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîéu(x, t) = u0 +v(x, t) e−h t ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòèvt = a2 vxx .(5.3)5.1 Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÑíà÷àëà íàïîìíèì âûðàæåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé è ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèõñÿ çàäà÷.Äëÿ çàäà÷è(X 00 + λ X = 0, x ∈ [0, `]X(0) = 0, X(`) = 0(5.4)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèäπ2 k2λk = 2 ,`Äëÿ çàäà÷è(µ¶πkXk (x) = sinx ,`k∈N(5.5)X 00 + λ X = 0, x ∈ [0, `]X 0 (0) = 0, X 0 (`) = 0(5.6)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèäπ2 k2λk = 2 ,`λ0 = 0,X0 (x) ≡ 1,Äëÿ çàäà÷è(k∈Nµ¶πkXk (x) = cosx ,`k∈N(5.7)X 00 + λ X = 0, x ∈ [0, `]X(0) = 0, X 0 (`) = 0(5.8)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèäπ 2 (2 k − 1)2,λk =4 `2µ¶π (2 k − 1)Xk (x) = sinx ,2`k∈N(5.9)5.2.
Çàäà÷à î êîëüöå79Äëÿ çàäà÷è(X 00 + λ X = 0,X 0 (0) = 0,x ∈ [0, `](5.10)X(`) = 0ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèäπ 2 (2 k − 1)2λk =,4 `2Äëÿ çàäà÷è(¶π (2 k − 1)x ,Xk (x) = cos2`µX 00 + λ X = 0,x ∈ [−`, `]X(−`) = X(`),X 0 (−`) = X 0 (`)k ∈ N (5.11)(5.12)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèäλ0 = 0,π2 k2λk = 2 ,`X0 (x) ≡ 1,Xk (x) =½µ¶µ¶¾πkπkx ; cosxsin,``k ∈ N (5.13)Òåïåðü ïðîäåìîíñòðèðóåì îáùóþ ñõåìó ìåòîäà Ôóðüå äëÿ ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ.5.2 Çàäà÷à î êîëüöåÏîñòàíîâêà çàäà÷è. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíî-`ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñπëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x).ðîäíîì êîëüöå ðàäèóñàÁóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó î êîëüöå êàê çàäà÷ó î ñòåðæíå äëèíû 2`ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè:ut = a2 uxx ,−` 6 x 6 `(5.14)u(x, 0) = ϕ(x)(5.15)u(−`, t) = u(`, t)(5.16)ux (−`, t) = ux (`, t)(5.17)5.2.
Çàäà÷à î êîëüöå80Ðåøåíèå. Ìåòîä Ôóðüå ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ. Íà ïåðâîì ýòàïåðàçûñêèâàþòñÿ ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, óäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì. Íà âòîðîì ýòàïå ðàçûñêèâàåòñÿ ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ.Íà÷íåì ñ ïåðâîãî ýòàïà ìåòîäà Ôóðüå. Áóäåì ðàçûñêèâàòü íåòðèâèàëüíîå, ò.å. íåðàâíîå íóëþ òîæäåñòâåííî, ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.14),óäîâëåòâîðÿþùåå êðàåâûì óñëîâèÿì (5.16)(5.17) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿũ(x, t) = X(x) T (t).(5.18)Ïîñòàâèì ũ(x, t) â âèäå (5.18) â óðàâíåíèå (5.14). ÈìååìX(x) T 0 (t) = a2 X 00 (x) T (t).(5.19)Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èìT 0 (t)X 00 (x)=.a2 T (t)X(x) ýòîì ðàâåíñòâå ñëåâà ñòîèò ôóíêöèÿ(5.20)T 0 (t), çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò t, àa2 T (t)X 00 (x)ñïðàâà ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò x. Òîæäåñòâî (5.20) áóäåòX(x)âîçìîæíî ëèøü òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé.
Îáîçíà÷èì ýòó êîíñòàíòó −λ.T 0 (t)X 00 (x)== −λ.a2 T (t)X(x)(5.21)Äëÿ ôóíêöèé T (t) è X(x) ïîëó÷àåì îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ:T 0 (t) + λ a2 T (t) = 0,(5.22)X 00 (x) + λ X(x) = 0.(5.23)Åñëè ïîäñòàâèòü ðåøåíèå (5.18) â êðàåâûå óñëîâèÿ (5.16)-(5.17), òî ïîëó÷èìX(−`) T (t) = X(`) T (t),X 0 (−`) T (t) = X 0 (`) T (t).(5.24)5.2. Çàäà÷à î êîëüöå81Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè T (t) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü ýòèì ðàâåíñòâàì, åñëèX 0 (−`) = X 0 (`).X(−`) = X(`),(5.25)Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ X(x) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (5.23) è óñëîâèÿì (5.25).
Ïîëó÷àåì êðàåâóþ çàäà÷ó íàñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (ñì.(5.12))(X 00 (x) + λ X(x) = 0, x ∈ (−`, `)X(−`) = X(`), X 0 (−`) = X 0 (`),ðåøåíèå êîòîðîé äàåò íàì ñëåäóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (5.13)µλ0 = 0,λk =πk`¶2,è îòâå÷àþùèå èì ñîáñòâåííûå ôóíêöèèX0 (x) ≡ 1,½πkXk (x) = sinx;`k∈N¾πkcosx ,`(5.26)k ∈ N.(5.27)Åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî â çàäà÷å î êîëüöå åñòü íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèåλ0 = 0 è åìó îòâå÷àåò ïîñòîÿííàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ X0 ≡ 1.Òåïåðü íàéäåì ôóíêöèþ T (t), êîòîðàÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (5.22). Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì ÷àñòíîå ðåøåíèå â âèäåT (t) = e−a2λt,(5.28)çäåñü λ = λk ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (5.26).Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé ýòàï ìåòîäà Ôóðüå çàêàí÷èâàåòñÿ ïîñòðîåíèåìáåñêîíå÷íîãî íàáîðà ÷àñòíûõ ðåøåíèé èñõîäíîé êðàåâîé çàäà÷è ñëåäóþùåãî âèäàũ0 (x, t) = 1½π k −a2 ( π`k )2 tũk (x, t) = sinxe;`¾π k −a2 ( π`k )2 txecos, k ∈ N.(5.29)`Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîñòðîåííûå ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè (5.14) è êðàåâûì óñëîâèÿì (5.16)-(5.17).5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
