1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé31• Åñëè ∆ > 0 â îáëàñòè D, òî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ãèïåðáîëè÷åñêîéêàíîíè÷åñêîé ôîðìå.• Åñëè ∆ = 0 â îáëàñòè D, òî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ïàðàáîëè÷åñêîéêàíîíè÷åñêîé ôîðìå.• Åñëè D < 0 â îáëàñòè D, òî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ýëëèïòè÷åñêîéêàíîíè÷åñêîé ôîðìå.Çàìåòèì, ÷òî îäíî è òî æå óðàâíåíèå â ðàçíûõ îáëàñòÿõ ìîæåò áûòüïðèâåäåíî ê ðàçíûì êàíîíè÷åñêèì ôîðìàì.×òîáû ïðèâåñòè óðàâíåíèå (2.1) ê êàíîíè÷åñêîé ôîðìå, íóæíî îòûñêàòü òàêóþ íåâûðîæäåííóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ(2.3)ξ = ϕ1 (x, y), η = ϕ2 (x, y),ñ ïîìîùüþ êîòîðîé óðàâíåíèå (2.1) â íîâûõ ïåðåìåííûõ ξ , η ïðèìåò êàíîíè÷åñêóþ ôîðìó.
Çàìåíà ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé, åñëè ÿêîáèàí íå ðàâåí íóëþ¯¯¯ ∂ϕ1 ∂ϕ1 ¯¯¯¯ ∂x ∂y ¯6 0.¯ ∂ϕ ∂ϕ ¯ =2 ¯2¯¯¯∂x ∂y(2.4)Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé ϕ1 (x, y) è ϕ2 (x, y) ñîñòàâèì è ðåøèì óðàâíåíèå â äèôôåðåíöèàëàõ ñëåäóþùåãî âèäàA dy 2 − 2 B dx dy + C dx2 = 0,(2.5)êîòîðîå íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì äëÿ óðàâíåíèÿ (2.1).
Çàìåòèì,÷òî ∆ = B 2 − A C ÿâëÿåòñÿ äèñêðèìèíàíòîì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.Åñëè äèñêðèìèíàíò ∆ > 0, òî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (2.6) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà âåùåñòâåííûõ óðàâíåíèÿA dy − (B +√D) dx = 0,A dy + (B +√D) dx = 0,èíòåãðàëû êîòîðûõ âûáèðàåì â êà÷åñòâå ôóíêöèé ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y).(2.6)2.1. Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé32Åñëè æå äèñêðèìèíàíò D < 0, òî óðàâíåíèÿ (2.6) áóäóò êîìïëåêñíûìè.Ðåøàÿ îäíî èç íèõ, íàõîäèì îáùèé èíòåãðàë, êîòîðûé òàêæå áóäåò êîìïëåêñíûì, è â êà÷åñòâå ôóíêöèè ϕ1 (x, y) áåðåì åãî âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, àâ êà÷åñòâå ôóíêöèè ϕ2 (x, y) ìíèìóþ ÷àñòü.Åñëè äèñêðèìèíàíò D = 0, òî óðàâíåíèÿ (2.6) ñîâïàäóò è ïðèìóò âèäA dy − B dx = 0.
Èíòåãðàë îäíîãî èç íèõ âîçüìåì â êà÷åñòâå ôóíêöèèϕ1 (x, y), ôóíêöèþ ϕ2 (x, y) ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî (íàïðèìåð, x èëèy ), ëèøü áû ïðè ýòîì âûïîëíÿëîñü óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè (2.4). íîâûõ ïåðåìåííûõ ξ è η óðàâíåíèå (2.1) ïðèìåò ãèïåðáîëè÷åñêóþôîðìó∂ 2u= F (ξ, η, u, uξ , uη ),∂ξ∂η(2.7)ïàðàáîëè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ (2.1) èìååò âèä∂ 2u= F (ξ, η, u, uξ , uη ),∂η 2(2.8)à ýëëèïòè÷åñêàÿ ôîðìà èìååò âèä∂ 2u ∂ 2u+= F (ξ, η, u, uξ , uη ).∂ξ 2 ∂η 2(2.9)Çàìå÷àíèå 2.1. Ïîëåçíî âñïîìíèòü, êàê âûðàæàþòñÿ ïðîèçâîäíûåôóíêöèè u(x, y) ïî ïåðåìåííûì x, y ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïî íîâûì ïåðåìåííûì ξ è η . Ïðèâåäåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãîïîðÿäêà∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η=+∂x∂ξ ∂x ∂η ∂x∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η=+∂y∂ξ ∂y ∂η ∂y(2.10)2.1. Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé33è ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêൠ¶2µ ¶2∂ 2u∂ 2 u ∂ξ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η=+2+++∂x2∂ξ 2 ∂x∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2µ ¶2µ ¶2∂ 2u∂ 2 u ∂ξ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η=+2+++∂y 2∂ξ 2 ∂y∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2µ¶∂ 2 u ∂ξ ∂ξ∂ 2u∂ 2 u ∂η ∂η∂ 2u∂ξ ∂η ∂ξ ∂η=++++∂x∂y∂ξ 2 ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x∂η 2 ∂x ∂y+∂u ∂ 2 ξ∂u ∂ 2 η+∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂y(2.11)Çàìå÷àíèå 2.2.
Óðàâíåíèå (2.6) ïîëó÷åíî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òîA(x, y) 6= 0.  ñëó÷àå, êîãäà C(x, y) 6= 0, óðàâíåíèå (2.5) ðàñïàäàåòñÿ íàäâà óðàâíåíèÿC dy − (B +√D) dx = 0,C dy + (B +√D) dx = 0,(2.12)Ïðèìåð 2.1. Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèåx2 uxx − y 2 uyy + 2 x ux − 2 y uy = 0(2.13)â îáëàñòè x 6= 0, y 6= 0.Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ (ñðàâíèòå ñ (2.1))A(x, y) = x2 ,B(x, y) ≡ 0,C(x, y) = −y 2 .(2.14)Äèñêðèìèíàíò ∆ ïðèìåò âèä (2.2)∆ = x2 y 2 > 0 ∀ x 6= 0,y 6= 0.(2.15)Çíà÷èò, â óêàçàííîé îáëàñòè äàííîå óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ãèïåðáîëè÷åñêîé ôîðìå.
Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (2.5):x2 dy 2 − y 2 dx2 = 0.(2.16)Óðàâíåíèå (2.16) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà âåùåñòâåííûõ óðàâíåíèÿx dy − y dx = 0,(2.17)x dy + y dx = 0.(2.18)2.1. Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé34Èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (2.18) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ x y = C1 , à óðàâíåíèÿ(2.17)yx= C2 , ãäå C1 , C2 êîíñòàíòû. Âûáåðåì ôóíêöèè ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)â âèäåϕ1 (x, y) = x y,ϕ2 (x, y) =y.x(2.19)Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ (2.3)ξ = x y,η=y.x(2.20) íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðîèçâîäíûå èìåþò âèä (ñì. (2.10))∂u∂uy ∂u=y− 2∂x∂ξ x ∂η∂u∂u 1 ∂u=x+∂y∂ξ x ∂η2∂ 2uy2 ∂ 2uy2 ∂ 2uy ∂u2 ∂ u=y−2++2∂x2∂ξ 2x2 ∂ξ∂η x4 ∂η 2x3 ∂η2∂ 2u∂ 2u1 ∂ 2u2 ∂ u=x+2+.∂y 2∂ξ 2∂ξ∂η x2 ∂η 2Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â èñõîäíîå óðàâíåíèå (2.13) ïîëó÷èì∂ 2u1 ∂u+=0∂ξ∂η 2ξ ∂η(2.21)Óðàâíåíèå (2.21) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì (ñì.(2.7)).Ïðèìåð 2.2.
Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîé ôîðìå óðàâíåíèåy 2 uxx + 2 x y uxy + 2 x2 uyy + y uy = 0(2.22)â îáëàñòè x 6= 0, y 6= 0.Âûïèøåì êîýôôèöèåíòû ïðè ïðîèçâîäíûõ (ñðàâíèòå ñ (2.1))A(x, y) = y 2 ,B(x, y) = 2 x y,C(x, y) = 2 x2 .(2.23)Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ äèñêðèìèíàíòà ∆ (2.2)∆ = −x2 y 2 < 0 ∀ x 6= 0,y 6= 0.(2.24)2.1. Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé35 óêàçàííîé îáëàñòè äàííîå óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ýëëèïòè÷åñêîéôîðìå (ñì.(2.9)). Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (2.5):y 2 dy 2 − 2 x y dx dy + 2 x2 dx2 = 0.(2.25)Óðàâíåíèå (2.25) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà êîìïëåêñíûõ óðàâíåíèÿy dy − (1 + i)x dx = 0,(2.26)y dy − (1 − i)x dx = 0.(2.27)Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (2.26), ïîëó÷èì èíòåãðàë óðàâíåíèÿ(1 + i) x2 − y 2 = C,ãäå C êîíñòàíòà. Âåùåñòâåííóþ ÷àñòü èíòåãðàëà âîçüìåì â êà÷åñòâåôóíêöèè ϕ1 (x, y), à ìíèìóþ ϕ2 (x, y)ϕ1 (x, y) = x2 − y 2 ,ϕ2 (x, y) = x2 .(2.28)η = x2 .(2.29)Âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ (2.3)ξ = x2 − y 2 ,Íàéäåì âûðàæåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â íîâûõ ïåðåìåííûõ (2.10)∂u∂u∂u= 2x+ 2x∂x∂ξ∂η∂u∂u= −2 y∂y∂ξ222∂u∂u∂ 2u2 ∂ u2 ∂ u2 ∂ u=4x+8x+4x+2+2∂x2∂ξ 2∂ξ∂η∂η 2∂η∂ξ2∂ 2u∂u2 ∂ u=4y−2∂y 2∂ξ 2∂ξ∂ 2u∂ 2u∂ 2u= −4 x y 2 − 4 x y.∂x∂y∂ξ∂ξ∂ηÏîñëå ïîäñòàíîâêè â èñõîäíîå óðàâíåíèå (2.22) èìååì1 ∂u1 ∂u∂ 2u ∂ 2u+++= 0,∂ξ 2 ∂η 2 ξ − η ∂ξ 2η ∂η(2.30)2.2.
Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè36çäåñü âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî y 2 = η − ξ .Óðàâíåíèå (2.30) ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì (ñì.(2.9)).Òåïåðü ïðèâåäåì çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Ïðèâåñòè óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîé ôîðìåÇàäà÷à 2.1.uxt + utt = 0Çàäà÷à 2.2.uxx − 2 uxy + uyy = 0Çàäà÷à 2.3.(1 + x2 ) uxx + (1 + y 2 ) uyy + x ux + y uy = 0Çàäà÷à 2.4.uxx − 2 cos x uxy − sin2 x uyy = 0Çàäà÷à 2.5. Ïðèâåñòè óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîé ôîðìå â êàæäîé èç îáëàñòåéy uxx + uyy = 0.2.2 Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêèÓðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà∂u(x, t)∂ 2 u(x, t)= a2∂t∂x2(2.31)Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì.
Çäåñü ôóíêöèÿu(x, t) òåìïåðàòóðà â òî÷êå x â ìîìåíò âðåìåíè t. Óðàâíåíèå (2.31) îïèñûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà â òåëå.Âîëíîâûì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t)=∂t2∂x2(2.32)2.2. Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè37Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì. Çäåñü ôóíêöèÿu(x, t) îòêëîíåíèå òî÷êè ñòðóíû ñ êîîðäèíàòîé x îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t. Ýòî óðàâíåíèå (2.32) îïèñûâàåò ïðîöåññ êîëåáàíèéâ ñòðóíå.Óðàâíåíèåì Ëàïëàñà íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y)+=0∂x2∂y 2Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì óðàâíåíèåì.(2.33)Ãëàâà 3Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷ äëÿóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè3.1Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòèÐàññìîòðèì ñòåðæåíü ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîòîêè òåïëà ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü îòñóòñòâóþò.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî íà ëþáîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿòåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà. Òîãäà ïðèõîäèì ê ìàòåìàòè÷åñêîé èäåàëèçàöèèñòåðæíÿ êàê íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé. Òàê êàê ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ x ïðèíàäëåæèò R1 : x ∈ R1 , òî ðàññìàòðèâàåìàÿìîäåëü îäíîìåðíà.Ïóñòü u(x, t) òåìïåðàòóðà â òî÷êå x ñòåðæíÿ â ìîìåíò âðåìåíè t.Îòêóäà áåðåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà â óðàâíåíèè òåïëîïðîâîäíîñòè? ×òî èìåííîïðèðàâíèâàåòñÿ? Äëÿ âûâîäà óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ê ïðîèçâîëüíîéôèêñèðîâàííîé ÷àñòè ñòåðæíÿ x1 6 x 6 x2 ïðèìåíÿþò çàêîí ñîõðàíåíèÿýíåðãèè.  äàííîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè âûñòóïàåòóðàâíåíèå áàëàíñà òåïëà.Ïóñòü Q = Q(x1 , x2 , t1 , t2 ) êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðèîáðåòåííîå âûäåëåííûì ó÷àñòêîì ñòåðæíÿ çà âðåìÿ îò t1 äî t2 . Ýòî êîëè÷åñòâî òåïëà ñêëàäûâàåòñÿ èç êîëè÷åñòâà òåïëà, ïîñòóïèâøåãî ÷åðåç òîðöû ñòåðæíÿ x = x13.1. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè39è x = x2 :Q1 = Q1 (x1 ; t1 , t2 ) è Q2 = Q2 (x2 ; t1 , t2 ),à òàêæå êîëè÷åñòâà òåïëà, âûäåëèâøåãîñÿ çà ñ÷åò âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ:Q0 = Q0 (x1 , x2 , t1 , t2 ).Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå áàëàíñà òåïëà èìååò âèäQ = Q1 + Q2 + Q0 .Îñòàëîñü âûðàçèòü êàæäîå ñëàãàåìîå ÷åðåç òåìïåðàòóðó u(x, t).
Åñëèc(x) óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âåùåñòâà, ρ(x) ïëîòíîñòü, S(x) ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ, òî êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðèîáðåòåííîåâûäåëåííûì ó÷àñòêîì ñòåðæíÿ çà âðåìÿ îò t1 äî t2 , ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíîìó çàêîíó, ðàâíîZx2Q=£¤c(x)ρ(x)S(x) u(x, t2 ) − u(x, t1 ) dx.x1Ïóñòü q = q(x, t) ïëîòíîñòü òåïëîâîãî ïîòîêà ÷åðåç íîðìàëüíîå ñå÷åíèå ñòåðæíÿ â òî÷êå x, òî åñòü êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðîòåêàþùåå â åäèíèöóâðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó ñå÷åíèÿ. ×àñòî ïëîòíîñòü òåïëîâîãîïîòîêà ñîêðàùåííî íàçûâàþò "ïîòîê òåïëà". Êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðîòåêàþùåå ÷åðåç òîðöû ñòåðæíÿ, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïîòîê òåïëà ñëåäóþùèìîáðàçîìZt2Zt2S(x1 )q(x1 , t)dt,Q1 =S(x2 )q(x2 , t)dt.Q2 =t1t1Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíîìó çàêîíó Ôóðüå, ïîòîê òåïëà ïðîïîðöèîíàëåíãðàäèåíòó òåìïåðàòóðû:∂u,∂xãäå κ > 0 êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè.
Çíàê "ìèíóñ"ïîÿâèëñÿ èç-çàq = −κòîãî, ÷òî òåïëî òå÷åò îò áîëåå íàãðåòîãî òåëà ê ìåíåå íàãðåòîìó.3.1. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè40Òàêèì îáðàçîì, ÷åðåç òîðöû ñòåðæíÿ x = x1 è x = x2 ïðîòåêàåò êîëè÷åñòâî òåïëàZt2Q1 = −S(x1 )κ(x1 )t1èZt2Q2 =S(x2 )κ(x2 )t1∂u(x1 , t)dt,∂x∂u(x2 , t)dt.∂xñîîòâåòñòâåííî.Ïîÿñíèì ðàçëè÷èå â çíàêàõ, âûáðàííûõ ïåðåä èíòåãðàëàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
