1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî√sin( λ`) = 0.Ó÷èòûâàÿ ïîëîæèòåëüíîñòü λ, íàõîäèì êîðíè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ√λ` = πk,k ∈ N.Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ÷åòíî, è îíè çàäàþòñÿ ôîðìóëî鵶2πk, k ∈ N.λk =`Èì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèèπkx, k ∈ N.`Òàê êàê ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ, òî Bk ïðîèçXk (x) = Bk sinâîëüíûå íåíóëåâûå ïîñòîÿííûå. Ïîëîæèì Bk = 1.Îòâåò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è èìåþò âèäµλk =πk`¶2,k ∈ N,à ñîáñòâåííûå ôóíêöèèXk (x) = sinπkx,`k ∈ N.1.1. Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à9Åñëè â êà÷åñòâå ñòðóíû ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè ðàññìàòðèâàòü ñòðóíó ìóçûêàëüíîãî èíñòðóìåíòà, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ìû âèäèì, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñëûøèì.
Äåéñòâèòåëüíî, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àìïëèòóäó êîëåáàíèé ñòðóíû, à ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ýòî êâàäðàòû ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèéωk =πk,`k ∈ N.Ñàìàÿ íèçêàÿ ÷àñòîòà â äàííîì ñëó÷àåω1 =π` íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì òîíîì ñòðóíû, à îñòàëüíûå îáåðòîíàìè. Òåìáðçâóêà çàâèñèò îò îñíîâíîãî òîíà è îáåðòîíîâ.Èíòåðåñíî ïîôàíòàçèðîâàòü î òîì, êàê èçìåíèëñÿ áû ìèð çâóêîâ, åñëèáû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé áûëî áû, íàïðèìåð, êîíå÷íîå , à íå ñ÷åòíîå ÷èñëî,èëè îíè áû ñîñòàâëÿëè ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóì.Îòìåòèì, ÷òî ïîìèìî ñîáñòâåííûõ ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé ñòðóíû,óðàâíåíèå (1.1) îïèñûâàåò òàêæå ñîáñòâåííûå ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû, ñòåðæíÿ è ïðóæèíû.Ñëåäóþùèå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ çàìåíû ëèáî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé,ëèáî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ñâîäÿòñÿ ê "ñòàíäàðòíîé"êðàåâîé çàäà÷å (1.1)(1.3).Çàäà÷à 1.3.
Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïåð-1.2. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à10âîé êðàåâîé çàäà÷è íà îòðåçêå x ∈ [a, b]:X 00 + λX = 0,x ∈ (a, b);X(a) = 0;X(b) = 0.Îòâåò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèäµλk =πkb−a¶2,Xk = sinπk(x − a) k ∈ N.b−aÇàäà÷à 1.4. Ïóñòü k ôèêñèðîâàííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Íàéäèòå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ λ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñëåäóþùåé çàäà÷è:X 00 + kX 0 + λX = 0,x ∈ (0, `);X(0) = 0;X(`) = 0.Îòâåò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä:k2λk =+41.2µπk`¶2;kxπkXk = e 2 sin x k ∈ N.`−Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÔèçè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è. Íàéòè ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûåêîëåáàíèÿ îäíîðîäíîé ñòðóíû, åñëè êîíöû ñòðóíû ñâîáîäíû.Ïóñòü, ïî-ïðåæíåìó, X(x), x ∈ [0, `] ïîïåðå÷íîå îòêëîíåíèå ñòðóíû îò ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ.
Óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñòðóíûîñòàåòñÿ íåèçìåííûì, à óñëîâèÿ ñâîáîäíûõ êîíöîâ ìàòåìàòè÷åñêè çàïèñûâàåòñÿ êàê ðàâåíñòâî íóëþ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè X(x) íà ãðàíèöå:X 0 (0) = 0,X 0 (`) = 0.Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ñèëà íàòÿæåíèÿ ñòðóíû ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîéïðîèçâîäíîé.1.2. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à11Íàëè÷èå ñâîáîäíûõ êîíöîâ ìîæíî íàãëÿäíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèìîáðàçîì: íà êîíöû ñòðóíû íàäåòû êîëå÷êè, êîòîðûå ìîãóò ñâîáîäíî äâèãàòüñÿ ïî ñòåðæåíüêàì, ðàñïîëîæåííûì ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè x.Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì êî âòîðîé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿêîëåáàíèé ñòðóíû.X 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);(1.5)X(0) = 0;(1.6)X(`) = 0.(1.7)Òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), ïðèêîòîðûõ ñóùåñòâóþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.5) (ñîáñòâåííûåôóíêöèè), óäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì (1.6)(1.7).Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî, â îòëè÷èå îò ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è, ó âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è åñòü íóëåâîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.Çàäà÷à 1.5.
Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå, äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è âåùåñòâåííû è íåîòðèöàòåëüíû, ïðè÷åì λ = 0 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, è åìó îòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ X = const.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîâòîðÿÿ òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è â ñëó÷àå êðàåâûõóñëîâèé ïåðâîãî ðîäà, ïðèõîäèì ê òîìó æå ñàìîìó âûðàæåíèþ äëÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé:R`λ=0R`|X 0 (x)|2 dx.|X(x)|2 dx0Î÷åâèäíî, ÷òî λ âåùåñòâåííî è íåîòðèöàòåëüíî.1.2. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à12Îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé λ = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ = 0 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.
Èç ðàâåíñòâàZ`|X 0 (x)|2 dx = 00âûòåêàåò, ÷òî |X 0 (x)|2 = 0 ïî÷òè âñþäó íà îòðåçêå [0, `]. Òàê êàê X 0 (x)íåïðåðûâíà, òîX 0 (x) ≡ 0.Ñëåäîâàòåëüíî, X(x) = const. Íî êîíñòàíòà óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì (1.6)(1.7). Òàêèì îáðàçîì, íóëåâîìó çíà÷åíèþ λ â êà÷åñòâå ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà.Òåïåðü íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ êðàåâûõóñëîâèé âòîðîãî ðîäà.Çàäà÷à 1.6.
Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âòîðîéêðàåâîé çàäà÷è (1.5)(1.7).Êàê óæå áûëî äîêàçàíî, λ = 0 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, è åìóîòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ X0 = 1.Ïóñòü òåïåðü λ > 0. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååò âèä:√√X(x) = A cos( λx) + B sin( λx),è åãî ïðîèçâîäíàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå√√√√X 0 (x) = − λA sin( λx) + λB cos( λx).Ó÷òåì êðàåâûå óñëîâèÿ. Èç êðàåâîãî óñëîâèÿ â íóëå (1.6) ñëåäóåò, ÷òîX 0 (0) =√λB = 0.Òàê êàê λ > 0, òî B = 0.Èç êðàåâîãî óñëîâèÿ íà êîíöå x = ` (1.7) ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ√√X 0 (`) = − λA sin( λ`) = 0.1.2.
Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à13Òàê êàê A 6= 0 è λ > 0, òî, êàê è äëÿ çàäà÷è ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãîðîäà, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óðàâíåíèå:√sin( λ`) = 0.Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïîëó÷àåìòå æå âûðàæåíèÿ, ÷òî è â ñëó÷àå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èµλk =πk`¶2,k ∈ N.Êàæäîìó λk ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿXk (x) = Ak cosπkx,`k ∈ N.Ïîëîæèì Ak = 1.Îòâåò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è èìåþò âèäµλ0 = 0,λk =πk`¶2,k ∈ N,à ñîáñòâåííûå ôóíêöèèπkx, k ∈ N.`Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñìåøàííûå êðàåâûå óñëîâèÿ.
 ñëåX0 = 1,Xk (x) = cosäóþùèõ çàäà÷àõ íà îäíîì êîíöå ñòðóíû ñòàâèòñÿ êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãîðîäà, à íà äðóãîì âòîðîãî ðîäà.1.2. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à14Çàäà÷à 1.7. Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíîéñòðóíû x ∈ [0, `], åñëè ëåâûé êîíåö ñòðóíû æåñòêî çàêðåïëåí, à ïðàâûéñâîáîäåí.1. Âûïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è.2. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.3. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.Îòâåò. Äëÿ çàäà÷èX 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);(1.8)X(0) = 0;(1.9)X 0 (`) = 0.(1.10)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä:µλk =π(2k − 1)2`¶2,Xk = sinπ(2k − 1)x k ∈ N.2`Çàäà÷à 1.8.
Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíîéñòðóíû x ∈ [0, `], åñëè ëåâûé êîíåö ñòðóíû ñâîáîäåí, à ïðàâûé æåñòêîçàêðåïëåí.1. Âûïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è.2. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.3. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.Îòâåò. Äëÿ çàäà÷èX 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);X 0 (0) = 0;(1.12)X(`) = 0.(1.13)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä:µλk =(1.11)π(2k − 1)2`¶2,Xk = cosπ(2k − 1)x k ∈ N.2`1.3.
Çàäà÷à î êîëüöå1.315Çàäà÷à î êîëüöåÏóñòü òåïåðü óðàâíåíèåX 00 + λX = 0âûïîëíÿåòñÿ íà èíòåðâàëå äëèíû 2`: x ∈ (−`, `). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíöûîòðåçêà x = −` è x = ` îòîæäåñòâëÿþòñÿ. Òîãäà îòðåçîê ïðåâðàùàåòñÿ âêîëüöî. Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà, òî óñëîâèÿîòîæäåñòâëåíèÿ êîíöîâ îòðåçêà ìîæíî çàïèñàòü òàê: â òî÷êàõ x = −` èx = ` ñîâïàäàþò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè X(x) è åå ïåðâîé ïðîèçâîäíîéX(−`) = X(`);X 0 (−`) = X 0 (`).Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿX 00 + λX = 0,x ∈ (−`, `);(1.14)X(−`) = X(`);(1.15)X 0 (−`) = X 0 (`).(1.16)Äàííàÿ çàäà÷à íà îòðåçêå ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé çàäà÷å íà ïðÿìîé:X 00 + λX = 0,x ∈ R;(1.17)(1.18)X(x + 2`) = X(x);Çàäà÷à 1.9. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå, äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è î êîëüöå âåùåñòâåííû è íåîòðèöàòåëüíû, ïðè÷åì λ = 0 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, è åìó îòâå÷àåò ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ X = const.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëàãàÿ ñíà÷àëà, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíûå, à ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîçíà÷íûå, óìíîæèì îáå ÷àñòèóðàâíåíèÿ (1.14) íà X ∗ (x) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïðîìåæóòêó îò −` äî `.Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ñ ó÷åòîì êðàåâûõ óñëîâèé (1.15)(1.16),ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ λ:R`λ=−`R`−`|X 0 (x)|2 dx.|X(x)|2 dx1.3. Çàäà÷à î êîëüöå16Îñþäà ïîëó÷àåì âåùåñòâåííîñòü è íåîòðèöàòåëüíîñòü ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.Åñëè λ = 0, òî, êàê è ðàíåå, X = const.
Òàê êàê ïîñòîÿííàÿ ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé, òî íåíóëåâàÿ êîíñòàíòà ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîéôóíêöèåé äàííîé çàäà÷è.Çàäà÷à 1.10. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè çàäà÷è (1.14)(1.16).Èçâåñòíî, ÷òî λ = 0 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, è åìó îòâå÷àåòñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ X0 = 1.Ïóñòü òåïåðü λ > 0. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ èìååò âèä:√√X(x) = A cos( λx) + B sin( λx),è√√√√X 0 (x) = − λA sin( λx) + λB cos( λx).Èç êðàåâîãî óñëîâèÿ (1.15) ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ:√2B sin( λ`) = 0,(1.19)√√2A λ sin λ` = 0.(1.20)à èç óñëîâèÿ (1.16) âûâîäèì:Åñëè B = 0, òî èç (1.20) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå√sin( λ`) = 0.Îòñþäàµλk =πk`¶2,Xk = cos(1.21)πkx k ∈ N.`Åñëè A = 0, òî èç (1.19) ñíîâà ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (1.21), ñëåäîâàòåëüíî,µλk =πk`¶2,Xk = sinπkx k ∈ N.`1.4. Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé17Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ïåðâîé è âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è, â çà-¶2πkäà÷å î êîëüöå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λk =äâóêðàòíû: êàæäîìó`òàêîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ñîîòâåòñòâóåò ïàðà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõπkπkñîáñòâåííûõ ôóíêöèé: cosx è sin x.``Îòâåò.
Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàäà÷è î êîëüöå èìåþò âèäµ ¶2πkλ0 = 0, λk =, k ∈ N,`µà ñîáñòâåííûå ôóíêöèèX0 = 1,½Xk (x) =¾πkπkcos x, sin x ,``k ∈ N.1.4 Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéÏóñòü F ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.Îïðåäåëåíèå 1.1. Îòîáðàæåíèå (, ) : F×F 7−→ R íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì, åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì:1. (f, f ) > 0,ïðè÷åì(f, f ) = 0 ⇔ f = 0;2.
(αf + βg, h) = α(f, h) + β(g, h);3. (f, g) = (g, f );∀f, g, h ∈ F, ∀α, β ∈ R.Ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì. Ïîëíîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì. êàæäîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî çàäàòü íîðìó ïî ïðàâèëó:kf k =p(f, f ).Ïðèìåðîì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèéL2 (0, `). Îíî ñîñòîèò èç èçìåðèìûõ ôóíêöèé, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò èí-1.4. Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéòåãðàë Ëåáåãà18Z`|f (x)|2 dx < ∞,0è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëîéZ`(f, g) =f (x)g(x)dx.0Óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè äâóõ ôóíêöèé f è g â ñìûñëå ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ â L2 (0, `) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:Z`(f, g) = 0 ⇐⇒f (x)g(x)dx = 0,0à êâàäðàò íîðìû ôóíêöèè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïðàâèëóZ`kf k2 =|f (x)|2 dx.0Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (ïåðâîé, âòîðîé, ñî ñìåøàííûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè, ñ óñëîâèÿìèïåðèîäè÷íîñòè) ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå L2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
