1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 10
Текст из файла (страница 10)
â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäàu(x, t) =∞XBk sin(k x) e−a2k2 t(5.97).k=1Ïðè t = 0 ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (5.47):u0 + u1 x =∞X(5.98)Bk sin(k x).k=1Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû Bk îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå (5.87)2Bk =πZπ(5.99)(u0 + u1 x) sin(k x) dx.0Íàéäåì, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, èíòåãðàëäëÿ BkZπ0¯π u Zπ1¯1(u0 + u1 x) sin(k x) dx = − (u0 + u1 x) cos(k x)¯ +cos(k x) dx =0kk0=−111cos(kπ) (u0 + u1 π) + u0 = (u0 − u0 (−1)k − u1 π (−1)k ).
(5.100)kkkÒàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòîâ BkBk =2(u0 − u0 (−1)k − u1 π (−1)k ),πkk ∈ N.(5.101)Çíàÿ êîýôôèöèåíòû Bk â ðàçëîæåíèè (5.97), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîåðåøåíèå çàäà÷è (5.88)-(5.90)5.4. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à93Îòâåò:∞2 X u0 − u0 (−1)k − u1 π (−1)k2 2u(x, t) =sin(k x) e−a k t .πkk=1Çàìåòèì, ÷òî ïðè ÷åòíûõ k = 2 n êîýôôèöèåíò B2n ïðèìåò âèäB2n = −u1,nà ïðè íå÷åòíûõ k = 2 n + 1 êîýôôèöèåíò B2n+1 ïðèìåò âèäB2n+1 =2(2 u0 + u1 π).π (n + 1)5.4 Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÏîñòàíîâêà çàäà÷è. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå (0 6 x 6 `) ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x), è êîíöû ñòåðæíÿ x = 0, x = ` òåïëîèçîëèðîâàíû.ut = a2 uxx ,06x6`(5.103)u(x, 0) = ϕ(x)ux (0, t) = 0,(5.102)ux (`, t) = 0(5.104)Ðåøåíèå. Ìåòîä Ôóðüå íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðâîãî ýòàïà, íà êîòîðîì ðàçûñêèâàåòñÿ ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.102), óäîâëåòâîðÿþùåå êðàåâûìóñëîâèÿì (5.104).
Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå â âèäåũ(x, t) = X(x) T (t)(5.105)è ïîäñòàâèì ũ(x, t) â óðàâíåíèå (5.102). ÈìååìX(x) T 0 (t) = a2 X 00 (x) T (t).Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì âûðàæåíèåX 00 (x)T 0 (t)=.a2 T (t)X(x)(5.106)5.4. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à94T 0 (t)Èç òîæäåñòâà (5.107), â êîòîðîì ñëåâà ñòîèò ôóíêöèÿ îò t ( a2 T (t) ), àX 00 (x)ñïðàâà ôóíêöèÿ îò x ( X(x) ), ñëåäóåò, ÷òî òàêîå âîçìîæíî, êîãäàT 0 (t)X 00 (x)== −λ.a2 T (t)X(x)(5.107)Ïîëó÷àåì äâà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿ äëÿ T (t) è X(x)T 0 (t) + λ a2 T (t) = 0,(5.108)X 00 (x) + λ X(x) = 0.(5.109)Åñëè ïîäñòàâèòü ðåøåíèå (5.105) â êðàåâûå óñëîâèÿ (5.104), òî ïîëó÷èìX 0 (0) T (t) = 0;X 0 (`) T (t) = 0.(5.110)Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè T (t) ìîæíî óäîâëåòâîðèòü ýòèì óñëîâèÿì, åñëèX 0 (0) = 0;X 0 (`) = 0.(5.111)Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ôóíêöèè X(x) ïîëó÷àåì êðàåâóþ çàäà÷ó âòîðîãîðîäà íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (5.6):(X 00 (x) = −λ X(x),X 0 (0) = 0;x ∈ (0, `)(5.112)X 0 (`) = 0.Ýòà êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò ñëåäóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (5.7)µλ0 = 0,λk =¶2πk`,k ∈ N,(5.113)Ñðåäè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è åñòü íîëü è íóëåâîìóñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ îòâå÷àåò ïîñòîÿííàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ.
Âûïèøåì ñîáñòâåííûå ôóíêöèè âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è (5.7)µX0 (x) ≡ 1,¶πkXk (x) = cosx ,`k ∈ N.(5.114)Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè T (t) ðåøèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå(5.108)T (t) = e−a2λt,(5.115)5.4. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à95ãäå λ = λk ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå (5.113).Çíàÿ T (t) è Xk (x), ïîëó÷àåì áåñêîíå÷íûé íàáîð ÷àñòíûõ ðåøåíèé äàííîé êðàåâîé çàäà÷èµũ0 (x, t) = 1;πkũk (x, t) = cosx`¶e2−a2 ( π`k ) t,k ∈ N. (5.116)Íà ýòîì çàâåðøåí ïåðâûé ýòàï ìåòîäà Ôóðüå.Íà âòîðîì ýòàïå ïîòðåáóåì, ÷òîáû ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿëî íà÷àëüíîìóóñëîâèþ. Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå â âèäå ðÿä൶∞22 πkA0 Xπku(x, t) =+Ak cosx e−a ( ` ) t ,2`(5.117)k=1ãäå ïîñòîÿííûå A0 , Ak ïîêà íåèçâåñòíû.Ïðè t = 0 èìåå쵶∞A0 Xπku(x, 0) =+Ak cosx .2`(5.118)k=1Ïîäñòàâëÿÿ (5.118) â (5.103), ïîëó÷è쵶∞A0 Xπkϕ(x) =+Ak cosx .2`(5.119)k=1Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ôóíêöèè ϕ(x) âîñïîëüçóåìñÿòåì, ÷òî ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îðòîãîíàëüíà íà [0, `].µZ`cos0πkx`¶ 0, k 6= n³π n ´cosx dx = ` , k = n.`2(5.120)Äëÿ íàõîæäåíèÿ A0 ïðîèíòåãðèðóåì ðàâåíñòâî (5.119) îò 0 äî `Z`ϕ(x) dx =0A0`2Âûðàçèì A02A0 =`Z`ϕ(x) dx.0(5.121)5.4.
Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à96Äëÿ íàõîæäåíèÿ îñòàëüíûõ Ak , k = 1, 2, . . . óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà¡π n ¢` x è ïðîèíòåãðèðóåì îò 0 äî `.  ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì îðòîãîíàëüíîñòè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (5.120) èç âñåé ñóììû(5.119) íà cosîñòàíåòñÿ ëèøü ñëàãàåìîå ïðè k = n è ïîëó÷àåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ AkR`Ak =ϕ(x) cos¡π k x¢`0R`cos2¡π k x¢0`dxdx2=`Z`0µ¶πkxϕ(x) cosdx, k ∈ N.(5.122)`Òåïåðü, çíàÿ êîýôôèöèåíòû Ak , ïîëó÷àåì ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è(5.102)-(5.104).Îòâåò:µ¶∞2πkA0 X−a2 ( π`k ) tu(x, t) =+Ak cosx e,2`(5.123)k=12ãäå A0 =`2Ak =`Z`0Z`(5.124)ϕ(x) dx,0µπkxϕ(x) cos`¶dx,k ∈ N.(5.125)Ïðèìåð 5.3. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå (0 6 x 6 π ) ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî ëèíåéíîå ðàñïðåäåëåíèå u0 + u1 x, ãäåu0 , u1 êîíñòàíòû.
Êîíöû ñòåðæíÿ x = 0, x = ` òåïëîèçîëèðîâàíû.Ðåøåíèå. Çàïèøåì ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è:ut = a2 uxx ,06x6π(5.126)u(x, 0) = u0 + u1 x(5.127)ux (0, t) = 0,(5.128)ux (π, t) = 0Ïðèìåíèì ìåòîä Ôóðüå ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è. Íà ïåðâîì ýòàïå áóäåìðàçûñêèâàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäåũ(x, t) = X(x) T (t).(5.129)5.4. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à97Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (5.129) â óðàâíåíèå (5.126) è êðàåâûå óñëîâèÿ(5.128). Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå è ïîëó÷èì äâå çàäà÷è äëÿ T (t) è X(x):(T 0 (t) + λ a2 T (t) = 0,X 00 (x) + λ X(x) = 0,X 0 (0) = X 0 (π).x ∈ 0, `(5.130)(5.131)Âûïèøåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîëó÷åííîéâòîðîé êðàåâîé çàäà÷èλ0 = 0,λk = k 2 ,X0 (x) = 1,k∈N(5.132)k ∈ N.Xk (x) = cos( k x),(5.133)Ðåøèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ T (t) (ñì.
(5.115)) è ïîëó÷èì÷àñòíûå ðåøåíèÿ çàäàííîé çàäà÷èũ0 (x, t) = 1,2ũk (x, t) = cos(k x) e−ak2 t, k ∈ N.(5.134)Ïîëó÷åííûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò çàäàííîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè (5.126) è êðàåâûì óñëîâèÿì (5.128). Ïåðâûé ýòàï ìåòîäàÔóðüå çàâåðøåí.Ïðèñòóïèì ê âòîðîìó ýòàïó ìåòîäà Ôóðüå.Áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ(5.127).
Ðåøåíèå áóäåì ðàçûñêèâàòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áåñêîíå÷íîãî íàáîðà ÷àñòíûõ ðåøåíèé, ò.å. â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäà∞A0 X2 2u(x, t) =+Ak cos(k x) e−a k t .2(5.135)k=1Ïðè t = 0 ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (5.127):∞A0 Xu0 + u1 x =+Ak cos(k x).2(5.136)k=1Íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå A0 è Ak , k = 1, 2, . . . îïðåäåëèì ïî ôîðìóëàì5.4. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à98(5.122), (5.123).2A0 =π2Ak =πZπ(5.137)(u0 + u1 x) dx = 2 u0 + u1 π,0Zπ(u0 + u1 x) cos(k x) dx,k ∈ N.(5.138)0Âû÷èñëèì èíòåãðàë â ôîðìóëå (5.138)Zπ0=¯π u Zπ1¯1(u0 + u1 x) cos(k x) dx = (u0 + u1 x) sin(k x)¯ −sin(k x) dx =0kk0u1u1(cos(kπ)−1)=((−1)k − 1)22kk(5.139)Ïîäñòàâèì çíà÷åíèå èíòåãðàëà â (5.138) è ïîëó÷èì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà AkAk =2 u1((−1)k − 1).2πk(5.140)Ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäàííîé âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è (5.126)-(5.128) ââèäåÎòâåò:∞π 2 u1 X (−1)k − 1−a2 k 2 tu(x, t) = u0 + u1 +cos(kx)e.2πk2k=1Çàìå÷àíèå 5.1.
Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò Ak áóäåò íåíóëåâûì òîëüêî ïðè íå÷åòíûõ k = 2n + 1. Ðåøåíèå ñ ó÷åòîì ýòîãî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåu(x, t) = u0 + u1π−2∞4 u1 X122−cos((2n + 1) x) e−a (2n+1) t .2π n=0 (2n + 1)5.5. Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè995.5 Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìèÇàäà÷ó ñî ñìåøàííûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè áóäåì íàçûâàòü ñìåøàííîéêðàåâîé çàäà÷åé.
Ñìåøàííóþ êðàåâóþ çàäà÷ó â ñëó÷àå, êîãäà íà ëåâîìêîíöå ñòåðæíÿ çàäàíî êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà, à íà ïðàâîì âòîðîãîðîäà, áóäåì íàçûâàòü êðàåâîé çàäà÷åé 1-2.  ñëó÷àå, êîãäà íà ëåâîìêîíöå ñòåðæíÿ çàäàíî óñëîâèå âòîðîãî ðîäà, à íà ïðàâîì êîíöå ïåðâîãîðîäà, êðàåâóþ çàäà÷ó áóäåì íàçûâàòü êðàåâîé çàäà÷åé 2-1. Íàïîìíèì,÷òî êðàåâîå óñëîâèå ïåðâîãî ðîäà îçíà÷àåò, ÷òî íà êîíöå ñòåðæíÿ çàäàíàòåìïåðàòóðà, à êðàåâîå óñëîâèå âòîðîãî ðîäà ÷òî íà êîíöå ñòåðæíÿ çàäàíòåïëîâîé ïîòîê.Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ìåòîäà Ôóðüå äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷.
Âíà÷àëå ðàññìîòðèì êðàåâóþ çàäà÷ó 1-2 ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè,êîãäà íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ çàäàíà òåìïåðàòóðà, à íà ïðàâîì òåïëîâîéïîòîê.Ïîñòàíîâêà êðàåâîé çàäà÷è 1-2. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå (0 6 x 6 `) ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x), íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿòåìïåðàòóðà, à ïðàâûé êîíåö òåïëîèçîëèðîâàí.ut = a2 uxx ,06x6`(5.141)u(x, 0) = ϕ(x)(5.142)u(0, t) = 0,(5.143)ux (`, t) = 0Çàäà÷à 5.1. Íàéäèòå ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è1-2 ìåòîäîì Ôóðüå.Ïðèìåð 5.4. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå (0 6 x 6 π ) ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî ëèíåéíîå ðàñïðåäåëåíèåu0 + u1 x,5.5.
Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè100ãäå u0 , u1 êîíñòàíòû. Íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿòåìïåðàòóðà, ïðàâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí.Ðåøåíèå. Çàïèøåì ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è:ut = a2 uxx ,06x6π(5.144)u(x, 0) = u0 + u1 x(5.145)u(0, t) = 0,(5.146)ux (π, t) = 0Ïðèìåíèì ìåòîä Ôóðüå ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è. Íà ïåðâîì ýòàïå áóäåìðàçûñêèâàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäåũ(x, t) = X(x) T (t).(5.147)Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (5.91) â óðàâíåíèå (5.88) è êðàåâûå óñëîâèÿ (5.90)è ðàçäåëèì ïåðåìåííûå. Ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ T (t):T 0 (t) + λ a2 T (t) = 0,(5.148)è êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ X(x):(X 00 (x) + λ X(x) = 0,x ∈ (0, `)X(0) = 0, X 0 (π) = 0.(5.149)Âûïèøåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîëó÷åííîéêðàåâîé çàäà÷è (ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
