1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Åñëè∂u(x1 , t) > 0 äëÿ âñåõ t ∈ [t1 , t2 ], òî òåïëî âûòåêàåò èç ñòåðæíÿ, ñëåäî∂x∂uâàòåëüíî, Q1 < 0. Åñëè æå(x2 , t) > 0, òî òåïëî ïîñòóïàåò â ñòåðæåíü, è∂xQ2 > 0.Êîëè÷åñòâî òåïëà, âûäåëåííîå èñòî÷íèêàìè, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëåZt2 Zx2Q0 =S(x)F (x, t)dxdt,t1 x1ãäå F (x, t) ïëîòíîñòü âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà, êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿçàäàííîé.Óðàâíåíèå áàëàíñà òåïëà â èíòåãðàëüíîé ôîðìå èìååò âèäZx2£¤c(x)ρ(x)S(x) u(x, t2 ) − u(x, t1 ) dx =x1Zt2 ·=t1¸Zt2 Zx2∂u∂uS(x)F (x, t)dxdt.S(x2 )κ(x2 ) (x2 , t) − S(x1 )κ(x1 ) (x1 , t) dt +∂x∂xt1 x1Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ S ïîñòîÿííàS = const, à ôóíêöèÿ u(x, t) îäèí ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïît è äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî x.
Òîãäà, âîñïîëüçîâàâøèñüôîðìóëîé Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, ïðèâåäåì óðàâíåíèå òåïëîâîãî áàëàíñà ê3.1. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè41âèäóZt2 Zx2t1 x 1∂uc(x)ρ(x) dxdt =∂tZt2 Zx2 ·t1 x 1µ¶¸∂∂uκ(x)+ F (x, t) dxdt.∂x∂xÏðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïî âåðõíèì ïðåäåëàì, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå:µ¶∂u∂∂uc(x)ρ(x)=κ(x)+ F (x, t).∂t∂x∂xÝòî óðàâíåíèå ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. ïðåäïîëîæåíèÿõ, ÷òî óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü, ïëîòíîñòü âåùåñòâàè êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ïîñòîÿííû: κ, c, ρ = const, ïðèõîäèì êóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, êîòîðîå âäàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ïðîñòåéøèì óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè2∂u2∂ u=a+ f (x, t).∂t∂x2(3.1)κF (x, t) êîýôôèöèåíò òåìïåðàòóðîïðîâîäíîñòè, f (x, t) =cρcρ óäåëüíàÿ ïëîòíîñòü âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà.Åñëè f (x, t) 6= 0, òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (3.1) íàçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì, åñëè f (x, t) = 0, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì.
ÓðàâíåÇäåñü a2 =íèå òåïëîïðîâîäíîñòè (3.1) çàïèñûâàþò òàêæå â âèäåut = a2 uxx + f (x, t).(3.2) óðàâíåíèè òåïëîïðîâîäíîñòè ìîãóò ïîÿâèòüñÿ äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå, åñëè, íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàòü ñòåðæåíü ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ èëèñòåðæåíü, äâèæóùèéñÿ âäîëü îñè x.Çàäà÷à 3.1. Âûâåäèòå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè, åñëè ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ çàâèñèò îò x: S = S(x) > 0, à êîýôôèöèåíòòåïëîïðîâîäíîñòè, óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü è ïëîòíîñòü âåùåñòâà ïîñòîÿííû:ut = a2 uxx +¢d¡ln S(x) ux + f (x, t).dx(3.3)3.1. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè42Çàäà÷à 3.2. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ñòåðæåíü äâèæåòñÿ âäîëü îñè x ñî ñêîðîñòüþ v(t), òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ïðèíèìàåò âèä:ut = a2 uxx − v(t)ux + f (x, t).(3.4)Òåïåðü îòêàæåìñÿ îò ïðåäïîëîæåíèÿ òåïëîèçîëèðîâàííîñòè áîêîâîéïîâåðõíîñòè ñòåðæíÿ.
Ïóñòü íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé. Òîãäà ïîòîê òåïëà ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Íüþòîíà îí ïðîïîðöèîíàëåí ðàçíîñòè òåìïåðàòóð òåëà è îêðóæàþùåé ñðåäû:q = α(u − u0 ),ãäå q êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðîòåêàþùåãî â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó ïîâåðõíîñòè òåëà â îêðóæàþùóþ ñðåäó, α êîýôôèöèåíòòåïëîîáìåíà, u òåìïåðàòóðà ïîâåðõíîñòè òåëà, u0 òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû.Óðàâíåíèå áàëàíñà òåïëà â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèäQ = Q1 + Q2 + Q0 + Q3 .Çäåñü ñîõðàíåíû ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîëè÷åñòâà òåïëà Q, ïîëó÷åííîãî âûäåëåííûì ó÷àñòêîì ñòåðæíÿ, êîëè÷åñòâà òåïëà Q1 è Q2 , ïðîòåêàþùåãî ÷åðåç òîðöû, êîëè÷åñòâà òåïëà Q0 , ïîëó÷åííîãî çà ñ÷åò âíóòðåííèõèñòî÷íèêîâ. Íîâîå ñëàãàåìîå Q3 ïîÿâèëîñü èç-çà íàëè÷èÿ òåïëîîáìåíà íàáîêîâîé ïîâåðõíîñòè:Zt2 Zx2Q3 = −£¤P α u(x, t) − u0 (x, t) dxdt.t1 x1×åðåç P îáîçíà÷åí ïåðèìåòð ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ.Ïîÿâëåíèå çíàêà "ìèíóñ"îáúÿñíÿåòñÿ òàê.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ âñåõt ∈ [t1 , t2 ] òåìïåðàòóðà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ñòåðæíÿ áîëüøå òåìïåðàòóðûîêðóæàþùåé ñðåäû:u(x, t) − u0 (t) > 0.3.1. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè43Òîãäà òåïëîâîé ïîòîê íàïðàâëåí íàðóæó, è òåïëî âûòåêàåò èç ñòåðæíÿ,ïîýòîìó Q3 < 0.Îêîí÷àòåëüíî, íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ñëó÷àåòåïëîîáìåíà íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðèíèìàåò âèäut = a2 uxx − h(u − u0 (t)) + f (x, t).(3.5)αPòàêæå áóäåì íàçûâàòü êîýôôèöèåíòîì òåïëîîáìåíà.cρSÇàìåòèì, ÷òî åñëè âíóòðåííèå èñòî÷íèêè òåïëà îòñóòñòâóþò , è òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû ðàâíà íóëþÊîíñòàíòó h =f (x, t) = 0;u0 (t) = 0,òî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ òåïëîîáìåíîì íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè îäíîðîäíîå:ut = a2 uxx − hu.(3.6)Èòàê, ðàññìîòðåíû ôèçè÷åñêèå ïîñòàíîâêè çàäà÷, ïðèâîäÿùèå ê íàëè÷èþ â óðàâíåíèè òåïëîïðîâîäíîñòè äîïîëíèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ.Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè â óðàâíåíèè òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè åñòü ìëàäøèå ÷ëåíû, òî òàêîå óðàâíåíèå ìîæíî ñâåñòè êïðîñòåéøåìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïîìîùüþ çàìåíû íåèçâåñòíîéôóíêöèè.Çàäà÷à 3.3.
Ïðîâåðüòå, ÷òî óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìèut = a2 uxx + `ux + mu + f (x, t)çàìåíîéu(x, t) = eαx+βt v(x, t),ãäå`2`α = − 2, β = m − 2,2a4añâîäèòñÿ ê ïðîñòåéøåìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòèvt = a2 vxx + e−αx−βt f (x, t).3.2. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû äèôôóçèè3.244Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû äèôôóçèèÓðàâíåíèÿ, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, îïèñûâàþòòàêæå ïðîöåññû äèôôóçèè.Êàê òåïëîïðîâîäíîñòü, òàê è äèôôóçèÿ îòíîñÿòñÿ ê ïðîöåññàì ïåðåíîñà. Ñóùíîñòü ïðîöåññîâ ïåðåíîñà ñòðåìëåíèå ñèñòåìû äîñòèãíóòü ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ. ñîñòîÿíèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ òåìïåðàòóðà âî âñåõ òî÷êàõ ñèñòåìûîäèíàêîâà.
Ïðè îòêëîíåíèè òåìïåðàòóðû îò ðàâíîâåñíîãî çíà÷åíèÿ âîçíèêàåò äâèæåíèå òåïëîòû â òàêèõ íàïðàâëåíèÿõ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ñäåëàòüòåìïåðàòóðó âñåõ ÷àñòåé ñèñòåìû îäèíàêîâûìè. Ñâÿçàííûé ñ ýòèì äâèæåíèåì ïåðåíîñ òåïëà è íàçûâàåòñÿ òåïëîïðîâîäíîñòüþ.Àíàëîãè÷íî, åñëè ñðåäà íåðàâíîìåðíî çàïîëíåíà ãàçîì, òî èìååò ìåñòî äèôôóçèÿ åãî èç ìåñò ñ áîëüøåé êîíöåíòðàöèåé â ìåñòà ñ ìåíüøåéêîíöåíòðàöèåé. Ýòî æå ÿâëåíèå íàáëþäàåòñÿ â ðàñòâîðàõ, åñëè êîíöåíòðàöèÿ ðàñòâîðåííîãî âåùåñòâà íå ïîñòîÿííà.Ïóñòü ãàç íàõîäèòñÿ â ïîëîé òðóáêå èëè òðóáêå, çàïîëíåííîé ïîðèñòîé ñðåäîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíöåíòðàöèÿ ãàçà â êàæäîì íîðìàëüíîìñå÷åíèè òðóáêè ïîñòîÿííà. ×åðåç u(x, t) îáîçíà÷èì êîíöåíòðàöèþ ãàçà âñå÷åíèè x â ìîìåíò âðåìåíè t.Äëÿ âûäåëåííîãî ó÷àñòêà òðóáêè x1 6 x 6 x2 ñîñòàâèì óðàâíåíèåáàëàíñà ìàññû.Ïóñòü Q = Q(x1 , x2 , t1 , t2 ) èçìåíåíèå ìàññû ó÷àñòêà òðóáêè çà âðåìÿîò t1 äî t2 , ïðîèçîøåäøåå çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ êîíöåíòðàöèè.Ïî îïðåäåëåíèþ êîíöåíòðàöèè,Zx2Q=£¤c(x)S(x) u(x, t2 ) − u(x, t1 ) dx,x1ãäå S(x) ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ òðóáêè; c(x) êîýôôèöèåíò ïîðèñòîñòè, òî åñòü îòíîøåíèå îáúåìà ïîð ê ïîëíîìó îáúåìó S(x)dx.
Åñëèòðóáêà ïîëàÿ, òî c(x) = 1.Èçìåíåíèå ìàññû Q ñêëàäûâàåòñÿ èç ìàññû ãàçà, ïîñòóïèâøåãî ÷åðåç3.2. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû äèôôóçèè45òîðöû òðóáêè x = x1 è x = x2 :Zt2Zt2S(x1 )q(x1 , t)dt è Q2 =Q1 =t1S(x2 )q(x2 , t)dt.t1à òàêæå ìàññû, ïîñòóïèâøåé çà ñ÷åò âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ:Zt2 Zx2Q0 =S(x)F (x, t)dxdt.t1 x1×åðåç q(x, t) îáîçíà÷åíî êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, äèôôóíäèðóþùåå â åäèíèöóâðåìåíè ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäêó ñå÷åíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî îñè x.Àíàëîãîì çàêîíà Ôóðüå â òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè ÿâëÿåòñÿ çàêîíäèôôóçèè, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ çàêîíîì Íåðíñòà:q = −D∂u,∂xãäå D êîýôôèöèåíò äèôôóçèè.Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå áàëàíñà ìàññû íà ó÷àñòêå x1 6 x 6 x2 çàâðåìÿ t1 6 t 6 t2 èìååò âèä:Zx2£¤c(x)S(x) u(x, t2 ) − u(x, t1 ) dx =x1Zt2 ·=t1¸Zt2 Zx2∂u∂uS(x2 )D(x2 ) (x2 , t) − S(x1 )D(x1 ) (x1 , t) dt +S(x)F (x, t)dxdt.∂x∂xt1 x1Åñëè ïëîùàäü íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ ïîñòîÿííà, òî óðàâíåíèå äèôôóçèè èìååò âèä:µ¶∂u∂∂uc=D+ F (x, t).∂t∂x∂xÅñëè êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè è ïîðèñòîñòè ïîñòîÿííû, òî ïðèõîäèì êóðàâíåíèþ äèôôóçèè ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè:ut = a2 uxx + f (x, t),ãäå a2 =FD, f (x, t) = .cc3.2.
Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû äèôôóçèè46Àíàëîãîì çàêîíà Íüþòîíà êîíâåêòèâíîãî òåïëîîáìåíà ÿâëÿåòñÿ çàêîíäèôôóçèè ÷åðåç ïîëóíåïðîíèöàåìóþ ïåðåãîðîäêó:q = −λ(u − u0 (t)).Ïðîâåðüòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.Çàäà÷à 3.4. Åñëè èìååò ìåñòî äèôôóçèÿ ÷åðåç ñòåíêè òðóáêè, òî ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ âèäà (3.5).Çàäà÷à 3.5. Åñëè äèôôóçèÿ ïðîèñõîäèò â ñðåäå, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñèx ñî ñêîðîñòüþ v(t), òî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (3.4). ïðîöåññàõ äèôôóçèè ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ âåùåñòâà ìîæåò áûòüïðîïîðöèîíàëüíà êîíöåíòðàöèè, ïðè÷åì êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìîæåò áûòü êàê áîëüøå íóëÿ, òàê è ìåíüøå íóëÿ. Íàïðèìåð, äëÿíåóñòîé÷èâîãî ãàçà ÷àñòèöû âåùåñòâà ðàñïàäàþòñÿ, à â ïðîöåññàõ öåïíûõðåàêöèé ðàçìíîæàþòñÿ.Çàäà÷à 3.6. Åñëè ÷àñòèöû âåùåñòâà1) ðàñïàäàþòñÿ, ïðè÷åì ñêîðîñòü ðàñïàäà â êàæäîé òî÷êå ïðîïîðöèîíàëüíàêîíöåíòðàöèè, òî óðàâíåíèå äèôôóçèè èìååò âèäut = Duxx − β1 u;2) ðàçìíîæàþòñÿ, ïðè÷åì ñêîðîñòü ðàçìíîæåíèÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîïîðöèîíàëüíà êîíöåíòðàöèè, òî óðàâíåíèå äèôôóçèè èìååò âèäut = Duxx + β2 u.Çäåñü D êîýôôèöèåíò äèôôóçèè, β1 > 0, β2 > 0 êîýôôèöèåíòûðàñïàäà è ðàçìíîæåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî.Ê óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè ïðèâîäÿò òàêæå íåêîòîðûå çàäà÷è äâèæåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè, à òàêæå çàäà÷è ýëåêòðîäèíàìèêè.3.3.
Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå473.3 Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêåÊàê ïðàâèëî, äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè u(x, t), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè, êîãäà ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿx ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîìó èíòåðâàëó (0, `), à âðåìÿ t áîëüøå íóëÿ, íåîáõîäèìî çàäàâàòü íà÷àëüíîå óñëîâèå (ïðè t = 0) è êðàåâûå óñëîâèÿ (ïðèx = 0, x = `).Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñòàíäàðòíûõ ïîñòàíîâîê íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå. Ýòî ïåðâàÿ, âòîðàÿ, òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à è çàäà÷à î êîëüöå.Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà ïåðâîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è èìååòâèä:ut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = ϕ(x);u(0, t) = µ1 (t);u(`, t) = µ2 (t).Çäåñü u(x, t) ïîäëåæèò îïðåäåëåíèþ, ôóíêöèè f (x, t), ϕ(x), µ1 (t), µ2 (t) ñ÷èòàþòñÿ èçâåñòíûìè.Åñëè ðå÷ü èäåò î ïðîöåññàõ òåïëîïðîâîäíîñòè, òî ôèçè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è âûãëÿäèò òàê: íàéòè ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû u(x, t) â ñòåðæíå x ∈ [0, `], åñëè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ïëîòíîñòè f (x, t), íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ϕ(x) çàäàíî, íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ òåìïåðàòóðà ðàâíà µ1 (t), àíà ïðàâîì µ2 (t).Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâîé òåì, ÷òî âìåñòî òåìïåðàòóðû íà êîíöàõ ñòåðæíÿ çàäàþòñÿ òåïëîâûå ïîòîêè:−κux (0, t) = q1 (t);κux (`, t) = q2 (t).3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
