1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî, âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëû. Íà ïðèìåðå ïåðâîéêðàåâîé çàäà÷è ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî, êîòîðîå ãîäèòñÿ äëÿ âñåõ óêàçàííûõ çàäà÷, à òàêæå îáîáùàåòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé.Çàäà÷à 1.11. Äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è(1.1)(1.3), îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Xk , Xj ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λk , λj , λk 6= λj .
Òîãäà âûïîëíÿþòñÿ óðàâ-1.4. Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé19íåíèÿλk Xk = −Xk00(1.22)λj Xj = −Xj00(1.23)Óìíîæèì óðàâíåíèå (1.22) íà Xj , óðàâíåíèå (1.23) Xk è ïðîèíòåãðèðóåìïî x îò 0 äî `. Èíûìè ñëîâàìè, óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íàXj , à âòîðîå ñêàëÿðíî íà Xk â ïðîñòðàíñòâå L2 (0, `). ÒîãäàZ`λkZ`Xk00 (x)Xj (x)dxXk (x)Xj (x)dx = −00Z`Z`λjXj00 (x)Xk (x)dxXj (x)Xk (x)dx = −00Âû÷òåì èç ïåðâîé ñòðî÷êè âòîðóþ:Z`(λk − λj )Z`Xj00 (x)Xk (x)dx −Xk (x)Xj (x)dx =0Z`0Xk00 (x)Xj (x)dx0Ïî ôîðìóëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿìZ`¯` Z `Z`¯¯Xj00 (x)Xk (x)dx = Xj0 (x)Xk (x)¯ − Xk0 (x)Xj0 (x)dx = − Xk0 (x)Xj0 (x)dx.¯0000Ïîäñòàíîâêà îáðàòèëàñü â íîëü, òàê êàê Xk (0) = 0, Xk (`) = 0. Òàê êàê äëÿXj (x) âûïîëíÿþòñÿ òàêèå æå êðàåâûå óñëîâèÿ, òîZ`Z`Xk00 (x)Xj (x)dx = −0Xk0 (x)Xj0 (x)dx.0Îêîí÷àòåëüíî,Z`(λk − λj )Xk (x)Xj (x)dx = 0.01.4.
Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé20Òàê êàê λk 6= λj , òî Xk è Xj îðòîãîíàëüíû:Z`(Xk , Xj ) =Xk (x)Xj (x)dx = 0.0Åñëè k = j , òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â êâàäðàò íîðìû:(Xk , Xk ) = kXk k2 .Çàäà÷à 1.12. Íàéòè êâàäðàò íîðìû â L2 (0, `) ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è.Ïî îïðåäåëåíèþ, êâàäðàòîì íîðìû Xk íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèåZ`kXk k2 =|Xk (x)|2 dx.0Äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è íà îòðåçêå [0, `] ñîáñòâåííûå ôóíêöèèXk = sinπkx,`k ∈ N.Âû÷èñëèì èíòåãðàëZ`kXk k2 =0πk1sin2xdx =`2¶µ¶Z` µ2πk1`2πk ¯¯`1 + cosx =`+sinx¯0`2πk`0Òàê êàê ïîäñòàíîâêà îáðàùàåòñÿ â íîëü, òî äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èïîëó÷àåì îòâåò.Îòâåò. Êâàäðàòû íîðì Xk = sinπkx, k ∈ N ðàâíû:``kXk k2 = .2Çàäà÷à 1.13.
Äîêàæèòå îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, äëÿ âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è èçàäà÷è î êîëüöå.1.5. Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à21Çàäà÷à 1.14. Íàéäèòå êâàäðàò íîðìû â L2 (0, `) ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è.Îòâåò. Êâàäðàòû íîðì X0 = 1 è Xk = coskX0 k2 = `;πkx, k ∈ N ðàâíû:``kXk k2 = .2Çàäà÷à 1.15. Íàéäèòå êâàäðàò íîðìû â L2 (−`, `) ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéçàäà÷è î êîëüöå äëèíû 2`.½Îòâåò. Êâàäðàòû íîðì X0 = 1 è Xk =ðàâíû:kX0 k2 = 2`;¾πkπkcos x; sin x , k ∈ N``kXk k2 = `.1.5 Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÔèçè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è.
Íàéòè ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûåêîëåáàíèÿ îäíîðîäíîé ñòðóíû, åñëè êîíöû ñòðóíû çàêðåïëåíû óïðóãî. ýòîì ñëó÷àå ïðèõîäèì ê òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷å:X 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);(1.24)X 0 (0) − σX(0) = 0;(1.25)X 0 (`) + σX(`) = 0.(1.26)Ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó êîíñòàíòà σ > 0.Çàäà÷à 1.16. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå, äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿòðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∈ C íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, è åìó îòâå÷àåò X(x) 6≡ 0 âîîáùå ãîâîðÿ, êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ.Çàïèøåì èñõîäíîå óðàâíåíèå (1.24) â âèäå−X 00 = λX.1.5. Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à22Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íà X ∗ (x) è ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîx îò 0 äî `, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó:Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = λ−0|X(x)|2 dx.0Ê ëåâîé ÷àñòè ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = X ∗ (0)X 0 (0) − X ∗ (`)X 0 (`) +−0|X 0 (x)|2 dx.0Ñ ó÷åòîì êðàåâûõ óñëîâèé (1.25)(1.26)Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = σ|X(`)|2 + σ|X(0)|2 +−0|X 0 (x)|2 dx.0Îêîí÷àòåëüíî,R`λ=|X 0 (x)|2 dx + σ|X(`)|2 + σ|X(0)|20R`.|X(x)|2 dx0Î÷åâèäíî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ âåùåñòâåííû è íåîòðèöàòåëüíû.Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî λ = 0, ïîëó÷àåì, ÷òî X(x) = const, ïðè÷åì X(0) =0 è X(`) = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, X(x) ≡ 0, è λ = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìçíà÷åíèåì.Òåïåðü, íå íàõîäÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé, äîêàæåì èõ îðòîãîíàëüíîñòü.Çàäà÷à 1.17. Äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è (1.24)(1.26), îðòîãîíàëüíû â L2 (0, `).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Xk , Xj ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λk , λj , λk 6= λj . Òàê æå, êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå àíàëîãè÷íîãî ñâîéñòâà äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è, ïðèõîäèì ê1.5. Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à23ðàâåíñòâóZ`(λk − λj )Z`Xj00 (x)Xk (x)dx −Xk (x)Xj (x)dx =0Z`0Xk00 (x)Xj (x)dx.0Ïî ôîðìóëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿìZ`¯` Z `¯¯000Xj (x)Xk (x)dx = Xj (x)Xk (x)¯ − Xk0 (x)Xj0 (x)dx.¯000Âû÷èñëèì îòäåëüíî ïîäñòàíîâêó¯`¯¯0Xj (x)Xk (x)¯ = Xj0 (`)Xk (`) − Xj0 (0)Xk (0) = −σXj (`)Xk (`) − σXj (0)Xk (0).¯0Èòàê,Z`Z`Xk0 (x)Xj0 (x)dx.Xj00 (x)Xk (x)dx = −σXj (`)Xk (`) − σXj (0)Xk (0) −00Òàê êàê âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñèììåòðè÷íî ïîj è k , òîZ`(λk − λj )Z`Xj00 (x)Xk (x)dx −Xk (x)Xj (x)dx =0Z`0Xk00 (x)Xj (x)dx = 0.0Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè λk 6= λj ñîáñòâåííûå ôóíêöèè Xk è Xj îðòîãîíàëüíû.Çàäà÷à 1.18.
Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è (1.24)(1.26).Òàê êàê óæå èçâåñòíî, ÷òî λ > 0, òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.24)èìååò âèä√√X(x) = A cos( λx) + B sin( λx),è åãî ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà√√√√X 0 (x) = − λA sin( λx) + λB cos( λx).1.5. Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à24Èç êðàåâîãî óñëîâèÿ â íóëå (1.25) ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó√λB − σA = 0.Îòñþäà ìîæíî âûðàçèòü A ÷åðåç B :√λB.σA=Òåïåðü ó÷òåì êðàåâîå óñëîâèå â x = ` (1.25):√√√B(2 λσ cos λ` + (σ 2 − λ) sin λ`) = 0.Êîíñòàíòà B íå ìîæåò îáðàòèòüñÿ â íîëü, ïîýòîìó ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿλ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè òðàíñöåíäåíòíîãî óðàâíåíèÿ√√2σ λtg λ` =.λ − σ2√Ïóñòü λ = µ, òîãäà µ ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè êîðíÿìè óðàâíåíèÿtgµ` =2σµ.µ2 − σ 2(1.27)Äàííîå óðàâíåíèå èìååò ñ÷åòíîå ÷èñëî ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåéµk ,k ∈ N.Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ y = tgµ` ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà êàæäîì ïðîìåæóòêå³ ππn ππn ´µ∈ − +; +2`` 2``n∈Z2σµïðè µ > σµ2 − σ 2ìîíîòîííî óáûâàåò îò +∞ äî íóëÿ.
Èòàê, ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λk = µ2k , k ∈ N, è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âè䶵√ppλkcos λk x + sin λk x .Xk (x) = Bkσè ïðèíèìàåò âñå âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ, à ôóíêöèÿ y =Ïîëîæèì Bk = σ , òîãäàXk (x) =pλk cospλk x + σ sinpλk x.1.5. Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à25Îòâåò. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è (1.24)(1.26)ðàâíûλk = µ2k ,k ∈ N,ãäå µk ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ (1.27), à ñîáñòâåííûå ôóíêöèèXk (x) =pλk cospλk x + σ sinpλk x.(1.28)Çàäà÷à 1.19.
Íàéòè êâàäðàò íîðìû â ïðîñòðàíñòâå L2 (0, `) ñîáñòâåííûõôóíêöèé (1.28) òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è (1.24)(1.26).Ïî îïðåäåëåíèþ,Z`kXk k2 =|Xk (x)|2 dx.0Íàéäåì êâàäðàò ñîáñòâåííîé ôóíêöèè (1.28):Xk2 (x) = µ2k cos2 (µk x) + σ 2 sin2 (µk x) + µk σ sin(2µk x).Âû÷èñëèì èíòåãðàëZ`01cos2 (µk x)dx =2Z`0µ¶11(1 + cos(2µk x))dx =`+sin(2µk `) .22µkÂîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîésin(2α) =2tg(α).1 + tg 2 (α)Òîãäà, ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (1.27),Z`µ¶µ¶11 tg(µk `)12σ(µ2k − σ 2 )cos (µk x)dx =`+=`+.2µk 1 + tg 2 (µk `)2(µ2k + σ 2 )220Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ èíòåãðàëZ`µ¶12σ(µ2k − σ 2 )sin (µk x)dx =`−.2(µ2k + σ 2 )2201.5.
Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à26Òåïåðü íàéäåì èíòåãðàëZ`sin(2µk x)dx =01(1 − cos(2µk `)) .2µkÂîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé1 − tg 2 (α)cos(2α) =1 + tg 2 (α)è ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå (1.27), ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþZ`01sin(2µk x)dx =2µkµ4µ2k σ 2 − (µ2k − σ 2 )21+(µ2k + σ 2 )2¶4µk σ 2= 2.(µk + σ 2 )2Îêîí÷àòåëüíî, ïîëó÷àåì îòâåò.Îòâåò. Êâàäðàò íîðìû ñîáñòâåííîé ôóíêöèè òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷èðàâåí:`kXk k2 = (µ2 + σ 2 ) + σ.2 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ íà îäíîì êîíöå ñòðóíû ñòàâèòñÿ êðàåâîå óñëîâèåïåðâîãî èëè âòîðîãî ðîäà, à íà äðóãîì òðåòüåãî ðîäà.Çàäà÷à 1.20.
Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíîéñòðóíû x ∈ [0, `], åñëè ëåâûé êîíåö ñòðóíû æåñòêî çàêðåïëåí, à ïðàâûéçàêðåïëåí óïðóãî.1. Âûïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è.2. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.3. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.4. Âû÷èñëèòå êâàäðàòû íîðì ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.Îòâåò.
Äëÿ çàäà÷èX 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);(1.29)X(0) = 0;(1.30)X 0 (`) + σX(`) = 0.(1.31)1.5. Òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à27ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä:λk =³ µ ´2k`,Xk = sinµkx k ∈ N,`ãäå µk ýòî ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿtgµ = −σµ.`Êâàäðàò íîðìû ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ðàâåí` `2 + σ 2 µ2k + σ`kXk k =2 `2 + σ 2 µ2k .2Çàäà÷à 1.21. Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ îäíîðîäíîéñòðóíû x ∈ [0, `], åñëè ëåâûé êîíåö ñòðóíû ñâîáîäåí, à ïðàâûé çàêðåïëåíóïðóãî.1. Âûïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è.2. Äîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.3.
Íàéäèòå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè.4. Âû÷èñëèòå êâàäðàòû íîðì ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.Îòâåò. Äëÿ çàäà÷èX 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);X 0 (0) = 0;(1.33)X 0 (`) + σX(`) = 0.(1.34)ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä:λk =(1.32)³ µ ´2k`,Xk = cosµkx k ∈ N,`ãäå µk ýòî ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿctgµ =µ.σ`Êâàäðàò íîðìû ñîáñòâåííîé ôóíêöèè ðàâåí` µ2k + σ 2 `2 + σ`kXk k =2 σ 2 `2 + µ2k .21.6. Ðàçíûå çàäà÷è281.6 Ðàçíûå çàäà÷èÇàäà÷à 1.22. Äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à èìååò ïóñòîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ.X 00 = λX 0 x ∈ (0, 1);X(0) = 0;X 0 (1) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì íîâóþ ôóíêöèþ Y = X 0 . Òîãäà, ïî óñëîâèþ, îíàÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ÊîøèY 0 = λY ;Y (1) = 0.Ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ Y ≡ 0, è ïî òåîðåìå åäèíñòâåííîñòè äðóãèõðåøåíèé íåò.Ñëåäîâàòåëüíî, X(x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè:X 0 = 0;X(0) = 0.Äàííàÿ çàäà÷à òàêæå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå X ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî,ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïóñòî.Çàäà÷à 1.23.
Äîêàçàòü, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à èìååò ïóñòîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ.X IV = λX IIx ∈ (0, 1);X(0) = X I (0) = 0;X II (1) = X III (1) = 0. ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå Ýéëåðà. Îíî ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñ ïîìîùüþ çàìåíûx = et .1.6. Ðàçíûå çàäà÷è29Çàäà÷à 1.24. Íàéòè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèèñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷èx2 X II + xX I + λX = 0 x ∈ (1, `), ` > 1X(1) = 0X(`) = 0.Çàäà÷à 1.25. Äîêàçàòü: ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ çàïîëíÿþò ëó÷0 < λ < +∞è íàéòè ñîáñòâåííûå ôóíêöèè êðàåâîé çàäà÷èx2 X II + xX I + λX = 0X(x) îãðàíè÷åíà ïðè x → +0X(`) = 0.Ãëàâà 2Êëàññèôèêàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà2.1 Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèéÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãîïîðÿäêà, ëèíåéíîå îòíîñèòåëüíî âòîðûõ ïðîèçâîäíûõA(x, y) uxx + 2 B(x, y) ux,y + C(x, y) uyy = F (x, y, u, ux , uy )(2.1)Çäåñü A(x, y), B(x, y), C(x, y), F (x, y, u, ux , uy ) çàäàííûå ôóíêöèè,íåïðåðûâíûå â íåêîòîðîé îáëàñòè D âìåñòå ñî âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè;u = u(x, y) èñêîìàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ u(x, y) ⊂ C 2 (D), D ∈ R2 . çàïèñè óðàâíåíèÿ (2.1) ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ∂u(x, y)ux =,∂x∂u(x, y)uy =,∂yuxx∂ 2 u(x, y)=,∂x2uyy∂ 2 u(x, y)=.∂y 2Âûðàæåíèå∆ = B 2 (x, y) − A(x, y) C(x, y)(2.2)íàçûâàåòñÿ äèñêðèìèíàíòîì. çàâèñèìîñòè îò çíàêà ∆ â îáëàñòè D óðàâíåíèå (2.1) ïðèâîäèòñÿ êîäíîé èç òðåõ êàíîíè÷åñêèõ ôîðì.2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
