1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924)
Текст из файла
Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Çàäà÷è è ðåøåíèÿÑ. Â. Ðåâèíà, Ë. È. Ñàçîíîâ, Î. À. ÖûâåíêîâàÎãëàâëåíèå1Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ1.11.21.31.41.51.6Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . .Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . .Çàäà÷à î êîëüöå . . . . . . . . . . . . . .Îðòîãîíàëüíîñòü ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéÒðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . .
. . . . . . .Ðàçíûå çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . .5..................................................................................................................2 Êëàññèôèêàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà2.12.2Êàíîíè÷åñêàÿ ôîðìà óðàâíåíèé . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè . . . . . . . . . . . . . . . .3 Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè3.13.23.33.43.5Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû òåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ïðîöåññû äèôôóçèè . . . . . . . . . . .
. . . .Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . .Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . . . . .
. .510151721283030363838444751544 Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ584.14.24.34.44.54.6Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â Rm . . . . . . . . . . . . .Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . .Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâÍåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â Rm . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÍåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ586063676970Îãëàâëåíèå5Ìåòîä Ôóðüå äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè5.15.25.35.45.55.65.75.86Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÇàäà÷à î êîëüöå . . . . . . .
. . . . . . . . . .Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . .Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . .Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè . . . . . . . . . . . . . .Òàáëèöà ñ ðåøåíèÿìè âñåõ êðàåâûõ çàäà÷ . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . .Îòâåòû ê çàäà÷àì . .
. . . . . . . . . . . . . .77............................................................................................................................. 99. 105. 106. 110Ìåòîä Ôóðüå äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè6.16.26.36.46.573Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . . . .Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à . . . . . . .
. .Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè . . . . . . . . . .Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÎòâåòû ê çàäà÷àì . . . . . . . . . . . .7.7112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå7.17.27.37.47.57.678798793Îñíîâíûå òåîðåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå . . . . . . . . .Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáîáùåííûõ ôóíêöèé . . .
. . . . . .sin − è cos-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . . . .Ìíîãîìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå . . . . . . . . . . . . . .Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê îäíîìåðíîìóòåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóòåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .óðàâíåíèþ. . . . . . .óðàâíåíèþ. . . . . .
.129132136140144146161Îãëàâëåíèå4ÂâåäåíèåÓ÷åáíèê ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñî ñòóäåíòàìè òðåòüåãî êóðñà ôàêóëüòåòàìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê. Ó÷åáíèê áàçèðóåòñÿ íà ëåêöèÿõ, êîòîðûå áûëè ðàçðàáîòàíû, ïðî÷èòàíû è îïóáëèêîâàíû ïðîôåññîðîìÂèêòîðîì Èîñèôîâè÷åì Þäîâè÷åì.Àâòîðû ó÷åáíèêà îïûòíûå ïðåïîäàâàòåëè, êîòîðûå ïðèäåðæèâàþòñÿ ñëåäóþùåé êîíöåïöèè ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé.
Ñòóäåíò, îáëàäàþùèé ïðàêòè÷åñêèìè íàâûêàìè ïî äàííîìó êóðñó, äîëæåí íå ïðîñòî óìåòü ðåøàòüçàäà÷è ïî ãîòîâûì ðåöåïòàì. Îí äîëæåí ïîíèìàòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîñòàíîâîê çàäà÷, àêòèâíî ïðèìåíÿòü òåîðèþ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, âèäåòü ñâÿçü ìåæäó ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêîé è äðóãèìè ïðåäìåòàìè ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì, àëãåáðîé, îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ôóíêöèîíàëüíûì àíàëèçîì. ïåðâîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âòîðàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíàêëàññèôèêàöèè óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. òðåòüåé ãëàâå âûâîäÿòñÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè è äèôôóçèèïðè ðàçëè÷íûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ, à òàêæå ñòàâÿòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è.×åòâåðòàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà êîíå÷íîìåðíûì ìîäåëÿì â íåé ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ. ïÿòîé è øåñòîé ãëàâå ìåòîä Ôóðüå ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé. ñåäüìîé ãëàâå ðåøàþòñÿ çàäà÷è â áåñêîíå÷íûõ îáëàñòÿõ íà îñíîâåïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.Ïåðâàÿ, òðåòüÿ, ÷åòâåðòàÿ ãëàâà íàïèñàíû Ñ.Â.Ðåâèíîé, âòîðàÿ, ïÿòàÿè øåñòàÿ ãëàâà Î.À.Öûâåíêîâîé, ñåäüìàÿ ãëàâà Ë.È.Ñàçîíîâûì.Ãëàâà 1Çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ1.1Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÔèçè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è.
Íàéòè ñîáñòâåííûå ïîïåðå÷íûåêîëåáàíèÿ îäíîðîäíîé ñòðóíû ñ çàêðåïëåííûìè æåñòêî êðàÿìè.Ïóñòü â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ ñòðóíà çàíèìàåò îòðåçîê 0 6 x 6 ` âåùåñòâåííîé îñè. Òîãäà êàæäîé òî÷êå x ∈ [0, `] ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå X(x) ïîïåðå÷íîå îòêëîíåíèå ñòðóíû îò ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ.Ôóíêöèÿ X(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ñòðóíûñ ñîáñòâåííûìè ÷àñòîòàìè λ. Òàê êàê ïî óñëîâèþ êîíöû ñòðóíû æåñòêîçàêðåïëåíû, òî îòêëîíåíèå íà êîíöàõ ðàâíî íóëþ:X(0) = 0,X(`) = 0.Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû.X 00 + λX = 0,x ∈ (0, `);(1.1)X(0) = 0;(1.2)X(`) = 0.(1.3)1.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à6Òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà λ (ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ), ïðèêîòîðûõ ñóùåñòâóþò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) (ñîáñòâåííûåôóíêöèè), óäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì (1.2)(1.3).Ñíà÷àëà äîêàæåì âàæíîå ñâîéñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è âåùåñòâåííîñòü è ïîëîæèòåëüíîñòü.Çàäà÷à 1.1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå, äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è âåùåñòâåííû è ïîëîæèòåëüíû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ ∈ C íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå, è åìó îòâå÷àåò X(x) 6≡ 0 âîîáùå ãîâîðÿ, êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ.Çàïèøåì èñõîäíîå óðàâíåíèå (1.1) â âèäå−X 00 = λX.Óìíîæèì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íà X ∗ (x) è ïðîèíòåãðèðóåì ïîx îò 0 äî ` (çâåçäî÷êà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå):Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = λ−0Ó÷èòûâàÿ,÷òîX(x)X ∗ (x)dx.(1.4)0ïðîèçâåäåíèåêîìïëåêñíîãî÷èñëàíàêîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò ìîäóëÿ ýòîãî ÷èñëà, ïðåîáðàçóåìïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà:Z`Z`X 00 (x)X ∗ (x)dx = λ−0|X(x)|2 dx.0 ëåâîé ÷àñòè ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:Z`−0¯` Z `¯¯00∗∗0X (x)X (x)dx = −X (x)X (x)¯ + |X 0 (x)|2 dx.¯00 ñèëó êðàåâûõ óñëîâèé (1.2)(1.3) ïîäñòàíîâêà îáðàùàåòñÿ â íîëü.1.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à7Îêîí÷àòåëüíî, (1.4) ïðèíèìàåò âèä:Z`Z`|X 0 (x)|2 dx = λ0|X(x)|2 dx.0Òàê êàê X(x) 6≡ 0, òî èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ìîæíî âûðàçèòü λ:R`λ=|X 0 (x)|2 dx0R`.|X(x)|2 dx0Î÷åâèäíî, ÷òî λ âåùåñòâåííî è íåîòðèöàòåëüíî.Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àé λ = 0. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ = 0 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Èç ðàâåíñòâàZ`|X 0 (x)|2 dx = 00âûòåêàåò, ÷òî |X 0 (x)|2 = 0 ïî÷òè âñþäó íà îòðåçêå [0, `]. Òàê êàê X 0 (x)íåïðåðûâíà, òîX 0 (x) ≡ 0.Ñëåäîâàòåëüíî, X(x) = const, à èç êðàåâûõ óñëîâèé âûâîäèì, ÷òî êîíñòàíòà ðàâíà íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, íóëåâîìó çíà÷åíèþ λ ñîîòâåòñòâóåò ëèøüòðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ïîýòîìó ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðåâîé êðàåâîé çàäà÷è ïîëîæèòåëüíû.Òåïåðü íàéäåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ êðàåâûõóñëîâèé ïåðâîãî ðîäà.Çàäà÷à 1.2. Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïåðâîéêðàåâîé çàäà÷è (1.1)(1.3).Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí óðàâíåíèÿ è íàéäåì åãî êîðíè:µ2 + λ = 0;√µ1,2 = ±i λ.1.1. Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à8Òàê êàê óæå äîêàçàíî, ÷òî λ âåùåñòâåííî è íåîòðèöàòåëüíî, òî êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà ÷èñòî ìíèìûå, è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿèìååò âèä:√√X(x) = A cos( λx) + B sin( λx).Ó÷òåì êðàåâûå óñëîâèÿ. Èç êðàåâîãî óñëîâÿ â íóëå(1.2) ñëåäóåò, ÷òîX(0) = A = 0.Èç êðàåâîãî óñëîâèÿ â x = ` (1.3) ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ√X(`) = B sin( λ`) = 0.Ïîñòîÿííàÿ B íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü, òàê êàê ðàçûñêèâàåòñÿ íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
