1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå48Òàê êàê êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè κ è âåëè÷èíû ïîòîêîâ q1 (t), q2 (t)÷èòàþòñÿ èçâåñòíûìè, òî çàäàíèå ïîòîêîâ ðàâíîñèëüíî çàäàíèþ çíà÷åíèéïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè u(x, t) ïî ïåðåìåííîé x íà êîíöàõ ñòåðæíÿ.Ïîëíîñòüþ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà âòîðîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è âûãëÿäèò òàê:ut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = ϕ(x);ux (0, t) = ν1 (t);ux (`, t) = ν2 (t). ÷àñòíîì ñëó÷àå îäíîðîäíûõ êðàåâûõ óñëîâèé, êîãäà ïîòîêè íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ðàâíû íóëþ, ãîâîðÿò, ÷òî êîíöû ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàíû:ux (0, t) = 0;ux (`, t) = 0.Åñëè íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ïî çàêîíó Íüþòîíà ñî ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé çàäàíà, òî ñîîòâåòñòâóþùèåêðàåâûå óñëîâèÿ íàçûâàþòñÿ êðàåâûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäà.
Òðåòüÿêðàåâàÿ çàäà÷à èìååò âèäut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = ϕ(x);ux (0, t) = λ(u(0, t) − ϑ1 (t));ux (`, t) = −λ(u(`, t) − ϑ2 (t));Çäåñü ϑ1 (t) è ϑ1 (t) çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû îêðóæàþùåé ñðåäû ó êîíöîâα, ãäå α êîýôôèöèåíò òåïëîîáìåíà, κ êîýôôèöèåíòκòåïëîïðîâîäíîñòè.ñòåðæíÿ, λ = ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû ðàâíà íóëþ,3.3.
Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå49ïðèõîäèì ê îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì òðåòüåãî ðîäà.ux (0, t) = λu(0, t);ux (`, t) = −λu(`, t).Âîçìîæíû òàêæå ïîñòàíîâêè çàäà÷ ñî ñìåøàííûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Íàïðèìåð, íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ çàäàíà òåìïåðàòóðà, à íà ïðàâîìòåïëîâîé ïîòîê.Íàêîíåö, ïîñòàâèì çàäà÷ó î íàãðåâàíèè òîíêîãî îäíîðîäíîãî êîëüöà ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ïëîòíîñòè f (x, t), íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèåòåìïåðàòóðû çàäàíî è ðàâíî ϕ(x). Êîîðäèíàòà x ∈ [−`, `] ýòî äëèíà äóãèêîëüöà.Óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ (îòîæäåñòâëåíèÿ) òî÷åê x = −` è x = ` ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: â ýòèõ òî÷êàõ ñîâïàäàþò çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû è òåïëîâûõïîòîêîâ.ut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (−`, `),t > 0;u|t=0 = ϕ(x);u(−`, t) = u(`, t);ux (−`, t) = ux (`, t).Ïîñòàíîâêó çàäà÷è î êîëüöå ìîæíî çàïèñàòü ïî-äðóãîìó êàê çàäà÷óíà ïðÿìîé x ∈ R ñ óñëîâèåì 2`-ïåðèîäè÷íîñòè.ut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ R,t > 0;u|t=0 = ϕ(x);u(x + 2`, t) = u(x, t).Ôóíêöèè f (x, t) è ϕ(x) òàêæå ïðåäïîëàãàþòñÿ 2`-ïåðèîäè÷åñêèìè ïî ïåðåìåííîé x.Âñå ðàññìîòðåííûå âûøå çàäà÷è ìîãóò îïèñûâàòü òàêæå ïðîöåññûäèôôóçèè, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíîé êîíöåíòðàöèè â3.3.
Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå50êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè x.Êðàåâûå óñëîâèÿ ïåðâîãî ðîäà îçíà÷àþò, ÷òî íà ãðàíè÷íûõ ïëîñêîñòÿõ çàäàíà êîíöåíòðàöèÿ äèôôóíäèðóþùåãî âåùåñòâà, âòîðîãî ðîäà çàäàí ïîòîê.
Åñëè ïîòîê ðàâåí íóëþ, òî ãðàíè÷íûå ïëîñêîñòè íåïðîíèöàåìû. Êðàåâûå óñëîâèÿ òðåòüåãî ðîäà ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ãðàíè÷íûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïîëóíåïðîíèöàåìûìè, ïðè÷åì äèôôóçèÿ ÷åðåç ýòè ïëîñêîñòè ïðîèñõîäèò ïî çàêîíó, ïîäîáíîìó çàêîíó Íüþòîíà êîíâåêòèâíîãî òåïëîîáìåíà.Äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè âîçìîæíû òàêæå ïîñòàíîâêè êðàåâûõ çàäà÷ áåç íà÷àëüíûõ óñëîâèé.Ïóñòü f (x, t) îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ:|f (x, t)| 6 M.Òîãäà ìîæíî ðàçûñêèâàòü îãðàíè÷åííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè:ut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (0, `),t ∈ R;|u(x, t)| 6 M,u(0, t) = 0;u(`, t) = 0.Åñëè t ìåíÿåòñÿ íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè, òî ðîëü íà÷àëüíîãî óñëîâèÿìîæåò èãðàòü óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè ïî âðåìåíè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (x, t) ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî âðåìåíè ôóíêöèÿ:f (x, t + T ) = f (x, t).Ïîñòàâèì çàäà÷ó îòûñêàíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ ïåðèîäè÷íîñòè ïî âðåìåíè ñ òåì æå ïåðèîäîì, àòàêæå îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì ïåðâîãî ðîäà:ut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (0, `),u(x, t + T ) = u(x, t),u(0, t) = 0;u(`, t) = 0.t ∈ R;3.4. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ51Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïëîòíîñòü âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ òåïëàf = f (x)íå çàâèñèò îò âðåìåíè , òî åñòåñòâåííî ðàçûñêèâàòü ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû u = u(x). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà ñòàöèîíàðíîéïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è èìååò âèä:a2 u00 (x) + f (x) = 0,u(0) = 0;x ∈ (0, `);u(`) = 0.Çàìåòèì, ÷òî îòûñêàíèå ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ îäíîìåðíîãî óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà:−u00 (x) = g(x).3.4 Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿÐàññìîòðèì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèut = a2 uxx + f (x, t),x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = ϕ(x);u(0, t) = µ1 (t);u(`, t) = µ2 (t).Ïóñòü T > 0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.Îïðåäåëåíèå 3.1.
Ôóíêöèÿ u(x, t), äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî x è îäèí ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî t â îáëàñòè(0, `) × (0, T )¢2,1 ¡u ∈ Cx,t(0, `) × (0, T )è íåïðåðûâíàÿ âïëîòü äî ãðàíèöû ýòîé îáëàñòèu ∈ C([0, `] × [0, T ])(3.7)3.4. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ52íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì ïåðâîé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ ïðè(x, t) ∈ (0, `) × (0, T ), íà÷àëüíîìó óñëîâèþ ïðè t = 0, x ∈ [0, `] è êðàåâûì óñëîâèÿì ïðè âñåõ t ∈ [0, T ].Òàê êàê â êðàåâûå óñëîâèÿ âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà âõîäÿò ïðîèçâîäíûå ïî x, òî îïðåäåëåíèå êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ âòîðîé è òðåòüåé êðàåâîéçàäà÷è îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî òðåáîâàíèå (3.7) çàìåíÿåòñÿ íà1,0u ∈ Cx,t([0, `] × [0, T ]).(3.8)Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ïåðâîéíà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è.Òåîðåìà 1. Íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ ïåðâîéíà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è: u1 (x, t) è u2 (x, t). Òîãäà èõ ðàçíîñòüv(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t)óäîâëåòâîðÿåò îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ, íóëåâûì íà÷àëüíûì è êðàåâûìóñëîâèÿì:vt = a2 vxx ,x ∈ (0, `),t > 0;v|t=0 = 0;v(0, t) = 0,v(`, t) = 0.Î÷åâèäíî, ÷òî v(x, t) ≡ 0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è. Äîêàæåì,÷òî äðóãèõ ðåøåíèé íåò.Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà v(x, t) è ïðîèíòåãðèðóåì ïî x îò 0äî `:Z`Z`vt (x, t)v(x, t)dx = a20vxx (x, t)v(x, t)dx.03.4. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ53Ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî1d2 dtZ`Z`v 2 (x, t)dx = a20v(x, t)dvx (x, t).0Ïðèìåíèì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:Z`¯` Z `¯¯v(x, t)dvx (x, t) = v(x, t)vx (x, t)¯ − vx2 (x, t)dx.¯000 ñèëó êðàåâûõ óñëîâèé ïîäñòàíîâêà îáðàùàåòñÿ â íîëü.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî ïðèíèìàåò âèä:1d2 dtZ`Z`v 2 (x, t)dx = −a20vx2 (x, t)dx.(3.9)0Îáîçíà÷èìZ`v 2 (x, t)dx = kv(·, t)k2L2 (0,`) .z(t) =0Òàê êàêZ`a2vx2 (x, t)dx > 0,0òî èç ðàâåíñòâà (3.9) ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè z(t) íåïîëîæèòåëüíà:z 0 (t) 6 0.Ñëåäîâàòåëüíî, z(t) íåâîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ èz(t) 6 z(0) ∀t > 0.Èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ âûòåêàåò, ÷òîZ`v 2 (x, 0)dx = 0.z(0) =03.5.
Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè54Ïîýòîìó, ñ ó÷åòîì íåîòðèöàòåëüíîñòè z(t), âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå íåðàâåíñòâî0 6 z(t) 6 0,èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî z(t) ≡ 0, òî åñòüZ`v 2 (x, t)dx ≡ 0.0Òàê êàê ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà, òî v(x, t) = 0 äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ [0, `].  ñèëó íåïðåðûâíîñòè v(x, t)v(x, t) ≡ 0.Çàäà÷à 3.7. Äîêàæèòå òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿâòîðîé êðàåâîé çàäà÷è.Çàäà÷à 3.8. Äîêàæèòå òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿòðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è.Çàäà÷à 3.9. Îïðåäåëèòå êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è î êîëüöå è äîêàæèòå òåîðåìó åäèíñòâåííîñòè äëÿ ýòîé çàäà÷è.3.5 Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÏðè ðåøåíèè ñëåäóþùåé çàäà÷è ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàåò ôèçè÷åñêàÿòðàêòîâêà êðàåâûõ óñëîâèé.Çàäà÷à 3.10.
Ðàññìîòðèì ñòåðæåíü ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ â îòñóòñòâèå èñòî÷íèêîâ òåïëà. Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèñòåðæåíü ðàâíîìåðíî íàãðåò:u|t=0 = T = const.3.5. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè55Ñôîðìóëèðóéòå ìàòåìàòè÷åñêèå è ôèçè÷åñêèå ïîñòàíîâêè ïåðâîé, âòîðîé,òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷è è çàäà÷è î êîëüöå, äëÿ êîòîðûõ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííîé âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè:u(x, t) ≡ T. ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ìîæíî óãàäàòü. Ñîãëàñíî äîêàçàííûì òåîðåìàìåäèíñòâåííîñòè, äðóãèõ ðåøåíèé áûòü íå ìîæåò.Îáùèõ ðåöåïòîâ ïîäáîðà ðåøåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííûì óñëîâèÿì, íå ñóùåñòâóåò. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå â âèäå ôóíêöèè, çàâèñÿùåé òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîéu = u(t) èëè u = u(x).Çàäà÷à 3.11.
Íàéäèòå ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èut = a2 uxx + A cos t,x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = 0;u(0, t) = A sin t;u(`, t) = A sin t.Êàê ìîæíî èçìåíèòü êðàåâûå óñëîâèÿ, ÷òîáû âèä ðåøåíèÿ îñòàëñÿ íåèçìåííûì?Çàäà÷à 3.12. Íàéäèòå ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷èut = a2 uxx + f,x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = ϕ;ux (0, t) = 0;ux (`, t) = 0ñ ïîñòîÿííûìè f è ϕ.
Äàéòå ôèçè÷åñêóþ òðàêòîâêó ðåøåíèÿ. Äëÿ êàêèõåùå êðàåâûõ óñëîâèé ðåøåíèå áóäåò èìåòü òîò æå âèä?3.5. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè56Çàäà÷à 3.13. Íàéäèòå ðåøåíèå òðåòüåé êðàåâîé çàäà÷èut = a2 uxx + 3,x ∈ (0, `),t > 0;u|t=0 = 0;ux (0, t) = λ(u(0, t) − 3t);ux (`, t) = −λ(u(`, t) − 3t);Êàê ìîæíî èçìåíèòü êðàåâûå óñëîâèÿ, ÷òîáû âèä ðåøåíèÿ îñòàëñÿ íåèçìåííûì?Çàäà÷à 3.14. Íàéäèòå ðåøåíèå çàäà÷è î êîëüöåut = a2 uxx + Be−t ,x ∈ R,t > 0;u|t=0 = 0;u(x + 2π, t) = u(x, t).Äëÿ êàêèõ åùå êðàåâûõ óñëîâèé ðåøåíèå áóäåò èìåòü òîò æå âèä?Äàéòå ôèçè÷åñêèå ôîðìóëèðîâêè è íàéäèòå ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè.Çàäà÷à 3.15.ut = a2 uxx ,x ∈ (0, 1),t > 0;u|t=0 = 3x + 1;u(0, t) = 1;u(1, t) = 4Çàäà÷à 3.16.ut = a2 uxx ,x ∈ (0, 1),u|t=0 = x + 2;ux (0, t) = 1;u(1, t) = 3t > 0;3.5.
Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÇàäà÷à 3.17.ut = a2 uxx ,x ∈ (0, 1),t > 0;u|t=0 = x + 2;u(0, t) = 2;ux (1, t) = 1Çàäà÷à 3.18.ut = uxx − 6,x ∈ (0, 2),t > 0;u|t=0 = 3x2 + 1;u(0, t) = 1;ux (2, t) = 12Çàäà÷à 3.19.ut = uxx − 6,x ∈ (0, 1),u|t=0 = 3x2 + 1;ux (0, t) = 0;u(1, t) = 4t > 0;57Ãëàâà 4Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè âïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâÐàññìàòðèâàåòñÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ îäíîðîäíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè â ñëó÷àå, êîãäà íåîäíîðîäíîñòü âóðàâíåíèè, à òàêæå íà÷àëüíîå óñëîâèå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîíå÷íóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äàííîé çàäà÷è. Òîãäà óðàâíåíèåâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìîæíî ñâåñòè ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â êîíå÷íîìåðíîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
