1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0:ut = 4u + g(x, y, z, t), u|t=0 = f (x, y, z), uz |z=0 = h(x, y, t).Ïðèìåð 7.26. Ïóñòü D îáëàñòü âèäàD = {(x, y, z); 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < ∞} = (0, a) × (0, b) × (0, ∞). îáëàñòè D ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷óut = 4u, u|t=0 = f (x, y, z), u|∂D = 0.Ðåøåíèå. Ïðèìåíåíèå sin-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ub(x, y, ζ, t) = (Fs u)(x, y, ζ, t):µubt =∂2∂2+∂x2 ∂y 2¶ub−ζ 2 ub, (x, y) ∈ G = (0, a)×(0, b), ub|∂G = 0, ub|t=0 = fb(x, y, ζ).7.7.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè1652Îñóùåñòâèâ çàìåíó ub = ve−ζ t , ñâåäåì åå ê íîâîé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ v :µvt =∂2∂2+∂x2 ∂y 2¶v, (x, y) ∈ G = (0, a) × (0, b), v|∂G = 0, vt=0 = fb(x, y, ζ).ßäðî Ïóàññîíà äëÿ äàííîé çàäà÷è èìååò âèä∞kπxkπξlπylπy −( (kπ)2 2 + (lπ)2 2 )t4 Xbsinsinsinsine a.P (x, y, ξ, η, t) =abaabbk,l=1Ïîýòîìó ôóíêöèÿ v îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéZ ZP (x, y, ξ, η, t)fb(ξ, η, ζ) dξ dη.v(x, y, ζ, t) =GÏîñëå ýòîãî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è ñëåäóåò ïðèìåíèòü2ê ôóíêöèè e−ζ t v sin-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé ζ . Èñïîëüçóÿèçâåñòíûé èíòåãðàë2πZ∞0(z−s)2(z+s)212e−ζ t sin zζ sin sζ dζ = √ (e− 4t − e− 4t ),2 πtäëÿ u ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëóZ∞ZZu(x, y, z, t) =0G221− (z−s)− (z+s)4t4t√P (x, y, ξ, η, t)f (ξ, η, s)(e−e) dξ dη ds.2 πtÇàäà÷à 7.36.
Íàéòè òåìïåðàòóðó íåîãðàíè÷åííîé áàëêè ïðÿìîóãîëüíîãîñå÷åíèÿ ïðè çàäàííîé íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðå, åñëè íà åå ïîâåðõíîñòèà) ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà;á) èìååò ìåñòî òåïëîâàÿ èçîëÿöèÿ.Çàäà÷à 7.37. Ðàññìîòðåòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ ïðåäûäóùåé äëÿ ïîëóîãðàíè÷åííîé áàëêè, êîãäà áîêîâîé òîðåö òåïëîèçîëèðîâàí, à ãðàíè ïîääåðæèâàþòñÿ ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå.Äëÿ îáëàñòåé ñ ãåîìåòðèåé, äîïóñêàþùåé ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ, íàèáîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ÿäåðÏóàññîíà (ôóíêöèé Ãðèíà).
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòîò ïîäõîä íà ïðèìåðåêðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ñëó÷àå ïîëóïîëîñûD = {(x, y); x ∈ (0, a), y ∈ (0, ∞}.7.7. Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè166Ïðèìåð 7.27. Ïîñòðîèòü ÿäðî Ïóàññîíà äëÿ óðàâíåíèÿut = 4uâ ïîëóïîëîñå D â ñëó÷àå êðàåâûõ óñëîâèéuy |y=0 = 0, u|x=0 = 0, ux |x=a = 0.Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà îòìåòèì ñëåäóþùèé ôàêò: åñëè íà÷àëüíîå óñëîâèåèìååò âèäu|t=0 = f (x)g(y),òî ðåøåíèå u(x, y, t) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ðåøåíèé v(x, t) è w(y, t) ñëåäóþùèõ êðàåâûõ çàäà÷:çàäà÷è äëÿ îòðåçêà (0, 1)vt = vxx , vx=0 = 0, vx |x=a = 0, v|t=0 = f (x)è çàäà÷è äëÿ ïîëóîñè (0, ∞)wt = wyy , wy |y=0 = 0.Îòñþäà ñðàçó æå ñëåäóåò, ÷òî ÿäðî Ïóàññîíà P (x, y, ξ, η, t) èñõîäíîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÿäåð Ïóàññîíà P12 (x, ξ, t) äëÿ îòðåçêà [0, a] èP2 (y, η, t) äëÿ ïîëóîñè (0, ∞).
Èç ïðåäûäóùèõ ðàññìîòðåíèé èçâåñòíî, ÷òî∞22X(2n − 1)πx(2n − 1)πξ − ((2n−1)π)t24aP12 (x, ξ, t) =sinsine,a n=12a2aµ¶2(y+η)21− (y−η)−P2 (y, η, t) = √e 4t + e 4t.2 πtÇàäà÷à 7.38.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è çàïèñàòü ôîðìóëó Ïóàññîíàäëÿ ðåøåíèÿ â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíûõ èñòî÷íèêîâ òåïëà è íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû.Åùå îäíà âàðèàöèÿ íà ýòó æå òåìó.Ïðèìåð 7.28. Íàéòè ôóíêöèþ Ãðèíà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèâ ñëîå D = R2 × (0, a) â ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé u|z=0 = 0, uz |z=a = 0.Çàïèñàòü îáùóþ ôîðìóëó Ïóàññîíà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíîé ôóíêöèèf (x, y, z) è ïëîòíîñòè òåïëîâûõ èñòî÷íèêîâ g(x, y, z, t).7.7.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè167Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ Ãðèíà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ôóíêöèè Ãðèíà äëÿïðîñòðàíñòâà R2 :G2 (x, y, ξ, η, t, τ ) =è ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ îòðåçêàG12 (z, ζ, t, τ ) =ãäå(−e(x−ξ)2 +(y−η)24(t−τ ) 0,4π(t−τ ), t>τt<τP12 (z, ζ, t − τ ), t > τ0,t<τ,∞2X(2n − 1)πz(2n − 1)πη − (2n−1)22 π2 t4aP12 (z, ζ, t) =sinsinea n=12a2a ÿäðî Ïóàññîíà äëÿ îòðåçêà.Îáùàÿ ôîðìóëà Ïóàññîíà èìååò âèäZ+∞ Z+∞Zau(x, y, z, t) =G2 (x, y, ξ, η, t, 0)G12 (z, ζ, t, 0)f (ξ, η, ζ) dξ dη dζ+−∞ −∞ 0Z t Z+∞ Z+∞Za+G2 (x, y, ξ, η, t, τ )G12 (z, ζ, t, τ )g(ξ, η, ζ, τ ) dξ dη dζ dτ.0 −∞ −∞ 0Çàäà÷à 7.39.
Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñëîå ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé ãðàíèöåé äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëüíîé òåìïåðàòóðå è ïëîòíîñòèòåïëîâûõ èñòî÷íèêîâ.Ëèòåðàòóðà[1] Â. È. Àðíîëüä. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. Ì.:Ôàçèñ, 1997. - 175 ñ.[2] À. Â. Áèöàäçå, Ä. Ô. Êàëèíè÷åíêî. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà, 1977.
- 223 ñ.[3] Á. Ì. Áóäàê, À. À. Ñàìàðñêèé, À. Í. Òèõîíîâ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.: ÃÈÒÒË, 1965. - 683 ñ.[4] Â. Ñ. Âëàäèìèðîâ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: Íàóêà,1988. - 512 ñ.[5] Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè(ïîä ðåäàêöèåéÂ. Ñ. Âëàäèìèðîâà). Ì.: Íàóêà, 1982. - 256 ñ.[6] Þ.
Ñ. Î÷àí. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìåòîäàì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:Íàóêà, 1973. - 123 ñ.[7] Ð. Ðèõòìàéåð. Ïðèíöèïû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.:Ìèð, 1982. - 488 ñ.[8] È. Ñíåääîí. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ì.: È.Ë., 1955. - 667 ñ.[9] Ñ. Ë. Ñîáîëåâ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: ÃÈÒÒË, 1966.- 444 ñ.[10] Å.
Òèòìàðø. Ââåäåíèå â òåîðèþ èíòåãðàëîâ Ôóðüå. Ì.-Ë.: ÃÈÒÒË,1948. - 479 ñ.[11] À. Í. Òèõîíîâ, À. À. Ñàìàðñêèé. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ì.: Íàóêà, 1977. - 736 ñ.Ëèòåðàòóðà169[12] Ì. À. Øóáèí. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2003. - 304 ñ.[13] Â. È. Þäîâè÷. Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. ×àñòüI. Ðîñòîâ-íà-Äîíó: Ýêñïåðòíîå áþðî, 1998. - 240 ñ.[14] Â. È. Þäîâè÷.
Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. ×àñòü2. Ðîñòîâ-íà-Äîíó: Ýêñïåðòíîå áþðî, 1998. - 255 ñ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
