1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 17
Текст из файла (страница 17)
(7.16)0Çàäà÷à 7.25. Ðåøèòü ìåòîäîì èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñëåäóþùóþíà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó(∂u∂t2= a2 ∂∂ 2 ux + cu + f (x, t), 0 < x < +∞,u|x=0 = α(t),u|t=0 = ϕ(x).Ïðèìåð 7.17. Ðåøèòü íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó(∂u∂2u∂t = ∂ 2 x ,( ∂u∂x − αu)|x=00 < x < +∞,= 0, u|t=0 = ϕ(x).Ðåøåíèå. Èç ðåçóëüòàòà çàäà÷è 7.15 ñëåäóåò, ÷òî íóæíî ïðèìåíèòü èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå G, îïðåäåëåííîå â ïðèìåðå 7.9 ïðè β = α. Ïðèìåíÿÿ óêàçàííîå ïðåîáðàçîâàíèå ê óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, ïîëó÷àåì∂(Gu)= −λ2 (Gu), (Gu)|t=0 = (Gϕ)(y).∂t ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ óñòàíàâëèâàåì, ÷òî2(Gu)(y) = (Gϕ)(y)e−λ t .7.6.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê îäíîìåðíîìó óðàâíåíèþòåïëîïðîâîäíîñòè157Ñîãëàñíî ôîðìóëå îáðàùåíèÿ, óñòàíîâëåííîé â ïðèìåðå 7.9, âûâîäèì, ÷òîr Z∞λ cos λx + α sin λx22e−λ t (Gϕ)(λ)dλ.u(x, t) =πλ2 + α20Ïîñòðîåíèå ôóíêöèé âëèÿíèÿ òî÷å÷íûõ èñòî÷íèêîâÏðèìåð 7.18. Èñïîëüçóÿ ìåòîä îòðàæåíèÿ, íàéòè ôóíêöèþ âëèÿíèÿäëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèut = uxx + f (x, t)â ñëó÷àå ïîëóáåñêîíå÷íîãî ñòåðæíÿ äëÿ ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ u|x=0 = 0.Ðåøåíèå.
Ôóíêöèÿ âëèÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷èut = uxx + δ(x − s)δ(t − τ ), u|x=0 = 0ñ óñëîâèåì u = 0 ïðè t < τ. Ñîãëàñíî ìåòîäó îòðàæåíèÿ â ñëó÷àå ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ u|x=0 = 0 ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü íå÷åòíîå ïðîäîëæåíèå íà âñþâåùåñòâåííóþ îñü. Ïîýòîìó íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè ñëåäóåò ðàññìîòðåòüóðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íåîäíîðîäíîñòüþ (δ(x−s)−δ(x+s))δ(t−τ ),ò.å. ê ìãíîâåííîìó òî÷å÷íîìó èñòî÷íèêó, ðàñïîëîæåííîìó â òî÷êå s äîáàâèòü îòðèöàòåëüíûé èñòî÷íèê â ñèììåòðè÷íîé òî÷êå −s. Ôóíêöèÿ âëèÿíèÿäàííûõ èñòî÷íèêîâ èìååò âèä G(x, t|s, τ )−G(x, t|−s, τ ). Ïîýòîìó ôóíêöèÿâëèÿíèÿ äëÿ ïîëóîãðàíè÷åííîãî ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì äàííîéôóíêöèè íà îáëàñòü x > 0, s > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ âëèÿíèÿ äëÿïîëóîãðàíè÷åííîãî ñòåðæíÿ â ñëó÷àå êðàåâîãî óñëîâèÿ ïåðâîãî òèïà èìååòâèäG1 (x, t|s, τ ) = G(x, t|s, τ ) − G(x, t| − s, τ ) =221− (x+s)− (x−s)4(t−τ)4(t−τ) ).= η(t − τ ) p−e(e2 π(t − τ )(7.17)Ïðèìåð 7.19. Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ âëèÿíèÿ, çàïèñàòü ôîðìóëó Ïóàññîíàäëÿ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ïîëóïðÿìîé x > 0ut = uxx + f (x, t), u|t=0 = ϕ(x), u|x=0 = 0.7.6.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê îäíîìåðíîìó óðàâíåíèþòåïëîïðîâîäíîñòè158Ôîðìóëà Ïóàññîíà èìååò âèäZ∞u(x, t) =0Z t Z∞+002ϕ(s) − (x−s)2− (x+s)4t4t√ (e−e) ds+2 πt(x−s)2(x+s)2f (s, τ )p(e− 4(t−τ ) − e− 4(t−τ ) ) ds dt.2 π(t − τ )Ïðèìåð 7.20.
Ââîäÿ ôóíêöèþ w, "ñíèìàþùóþ"íåîäíîðîäíîñòü â êðàåâîì óñëîâèè, íàéòè ôîðìóëó äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿïîëóïðÿìîé x > 0ut = uxx , u|t=0 = 0, u|x=0 = f (t).Ðåøåíèå. Ïóñòü w(x, t) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ w|x=0 = f (t). Ïîëàãàÿu = v + w, ïîëó÷àåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ v ñëåäóþùóþ êðàåâóþ çàäà÷óvt = vxx + (wxx − wt ), v|x=0 = 0, v|t=0 = −w|t=0 .Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà â ñîêðàùåííûõ îáîçíà÷åíèÿõïîëó÷àåì äëÿ v ôîðìóëóZ∞v(x, t) = −Z t Z∞w(s, 0)G1 (x, t|s, 0) ds+G1 (x, t|s, τ )(wss (s, τ )−wτ (s, τ )) ds dτ.000Ðàññìîòðèì èíòåãðàëZt−εZ∞Jε (x, t) =G1 (x, t|s, τ )(wss (s, τ ) − wτ (s, τ )) ds dτ.00Âûïîëíèâ èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èìZt−εJε (x, t) =0Z∞∂G1 (x, t|s, τ )|s=0 f (τ ) dτ − (G1 (x, t|s, τ )w(s, τ ))|t−ετ =0 ds.∂s0Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ïðè ε → +0 ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþZtlim Jε (x, t) =ε→+00Z∞∂G1 (x, t|s, τ )|s=0 f (τ ) dτ −w(x, t)+ G1 (x, t|s, 0)w(s, 0) ds.∂s07.6.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê îäíîìåðíîìó óðàâíåíèþòåïëîïðîâîäíîñòè159Ïîýòîìó äëÿ u îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ôîðìóëóZtu(x, t) =0∂G1 (x, t|s, τ )|s=0 f (τ ) dτ.∂sÇàäà÷à 7.26. Îïðåäåëèâ ôóíêöèþ èñòî÷íèêà, ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿïîëóïðÿìîé x > 0ut = uxx + f (x, t), ux |x=0 = α(t), u|t=0 = β(x).Çàäà÷à 7.27. Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðÿìîé x > 0ut = uxx − b2 e−kx , u|x=0 = U0 = const, u|t=0 = 0.Çàäà÷à 7.28.
Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðÿìîé x > 0ut = uxx , ux |x=0 = q, u|t=0 = 0.Ïðèìåð 7.21. Íàéòè ðåøåíèå ñëåäóþùåé íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷èut = uxx , v0 t < x < +∞, u(x, 0) = ϕ(x), u(v0 t, t) = 0.Ðåøåíèå. Ââåäåì íîâóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ ïåðåìåííóþ ξ = x−v0 t, 0 <ξ < ∞ è íîâóþ ôóíêöèþ v , ïîëàãàÿu(x, t) = eαξ+βt v(ξ, t).Òîãäàut = eαξ+βt [(β − αv0 )v + vt − v0 vξ ],ux = eαξ+βt (αv + vξ ),uxx = eαξ+βt (α2 v + 2αv|ξ + vξξ )è ôóíêöèÿ v(ξ, t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþvt = vξξ + (2α + v0 )vξ + (α2 − β + αv0 )v.Ïîëîæèâ α = −v0 /2, β = −v02 /4, ïðèâåäåì åãî ê âèäóvt = vξξ ,7.6. Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê îäíîìåðíîìó óðàâíåíèþòåïëîïðîâîäíîñòè160ïðè÷åì ôóíêöèÿ v äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿìv|t=0 = ϕ(ξ)e(v0 ξ/2) , v|ξ=0 = 0.Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, ïîëó÷àåìZ∞v(ξ, t) =0(ξ+s)2e(v0 s/2) ϕ(s) − (ξ−s)2√(e 4t − e− 4t ) ds.2 πtÂîçâðàùàÿñü ê ñòàðîé ôóíêöèè è ñòàðîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé,èìååìZ∞u(x, t) = e(v02 t−2v0 x)/40µ¶(x−v0 t+s)2e(v0 s/2) ϕ(s) − (x−v0 t−s)24t√− e− 4tds.e2 πtÏðèìåð 7.22.
Èñïîëüçóÿ ìåòîä îòðàæåíèÿ, âûðàçèòü ÿäðî Ïóàññîíàäëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îòðåçêå (0, l) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìèòèïà (1,2) â òåðìèíàõ ÿäðà Ïóàññîíà äëÿ âñåé îñè.Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî ìåòîäó îòðàæåíèÿ íóæíî íà÷àëüíóþ ôóíêöèþ ÷åòíûì îáðàçîì ïðîäîëæèòü ÷åðåç òî÷êó x = l è çàòåì íå÷åòíûì îáðàçîì÷åðåç òî÷êó x = 0. Ïîñëå ýòîãî íóæíî îñóùåñòâèòü 4l−ïåðèîäè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå íà âñþ âåùåñòâåííóþ îñü. Òàê êàê ÿäðî Ïóàññîíà P12 (x, s, t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèut = uxxñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìu|t=0 = δ(x − s),òî íóæíî ðàññìîòðåòü íà âñåé îñè óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåìu|t=0 =+∞X(δ(x−s+4kl)−δ(x+s+4kl)+δ(x+s−2l+4kl)−δ(x−s+2l+4kl)).k=−∞ßäðî Ïóàññîíà P12 (x, s, t) ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åíèåì íà îòðåçîê ðåøåíèÿ äëÿâñåé îñè ñ äàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì. Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà+∞2221 X − (x−s+4kl)2− (x+s+4kl)− (x+s−2l+4kl)− (x−s+2l+4kl)4t4t4t4tP12 (x, s, t) = √(e−e+e−e).2 πt k=−∞7.7.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè161Çàìå÷àíèå 7.4.  îòëè÷èå îò ïîëó÷åííûõ ðàíåå ôîðìóë äëÿ ÿäåð Ïóàññîíà äàííàÿ ôîðìóëà óäîáíà ïðè ìàëûõ t ââèäó áûñòðîãî óáûâàíèÿ ÷ëåíîâðÿäà.Çàäà÷à 7.29. Âûðàçèòü ÿäðà Ïóàññîíà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèíà îòðåçêå (0.l) ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè òèïà (1,1), (2,1) èëè (2,2) â òåðìèíàõÿäðà Ïóàññîíà äëÿ âñåé îñè.Çàäà÷à 7.30. Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷óut = uxx , v0 t < x < ∞, t > 0u|t=0 = 0, u(v0 t, t) = µ(t).7.7 Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìó óðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòèÏðèìåð 7.23. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû âî âñåì ïðîñòðàíñòâåR3 , åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì u|t=0 =f (x, y, z).
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îòz.Ðåøåíèå. Äëÿ âûâîäà ôîðìóëû Ïóàññîíà ïðåäïîëàãàåì, ÷òî f ∈S(Rn ). Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå F(x,y,z)→(α,β,γ) êíà÷àëüíîé çàäà÷å äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèut = 4u, u|t=0 = f (x, y, z)ïðèâîäèò ê çàäà÷å Êîøèub|t = −(α2 + β 2 + γ 2 )bu, ub|t=0 = fb(α, β, γ).Åå ðåøåíèå èìååò âèä222ub = fb(α, β, γ)e−(α +β +γ )t .ßñíî, ÷òî ub ∈ S(Rn ) ïðè ëþáîì t ≥ 0.7.7. Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè162Âñëåäñòâèå ôîðìóëû îáðàùåíèÿ ïîëó÷àåì1u(x, y, z, t) =(2π)3/2Z+∞ Z+∞ Z+∞222fb(α, β, γ)e−(α +β +γ )t ei(xα+yβ+zγ) dα dβ dγ.−∞ −∞ −∞Çàìåíÿÿ â ýòîé ôîðìóëå fb èíòåãðàëîì, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå1u(x, y, z, t) =(2π)3Z+∞ Z+∞ Z+∞f (ξ, η, ζ)×−∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞Z Z Z222e−(α +β +γ )t ei((x−ξ)α+(y−η)β+(z−ζ)γ) dα dβ dγ dξ dη dζ.−∞ −∞ −∞Âíóòðåííèé òðåõìåðíûé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì òðåõ èçâåñòíûõîäíîìåðíûõ èíòåãðàëîâ:1(2π)322 +(z−ζ)2Z+∞ Z+∞ Z+∞− (x−ξ) +(y−η)4te222√.e−(α +β +γ )t ei((x−ξ)α+(y−η)β+(z−ζ)γ) dα dβ dγ =(2 πt)3−∞ −∞ −∞Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî ïðèõîäèì ê ôîðìóëå Ïóàññîíà(x−ξ)2 +(y−η)2 +(z−ζ)2Z+∞ Z+∞ Z+∞4te−√u(x, y, z, t) =dξ dη dζ.f (ξ, η, ζ)(2 πt)3−∞ −∞ −∞Åñëè íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îò z , òî è ðåøåíèå íå çàâèñèò îòz .
Ïîýòîìó ñëåäóåò ïðèìåíÿòü äâóìåðíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé2 +(y−η)2Z+∞ Z+∞− (x−ξ) 4teu(x, y, t) =f (ξ, η)dξ dη.4πt−∞ −∞Ïðèìåð 7.24.  ïðîñòðàíñòâå R3 äåéñòâóþò èñòî÷íèêè ñ ïëîòíîñòüþg(x, y, z, t), à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíà íóëþ. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèåòåìïåðàòóðû.Ðåøåíèå. Ïðèìåíåíèå òðåõìåðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðèâîäèò êçàäà÷å Êîøèubt = −(α2 + β 2 + γ 2 )bu + gb(α, β, γ, t), ub|t=0 = 0.7.7. Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè163Åå ðåøåíèå èìååò âèäZte−(αub(α, β, γ, t) =2+β 2 +γ 2 )(t−τ )gb(α, β, γ, τ ) dτ.0 ðåçóëüòàòå, äåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó, ïîëó÷àåìôîðìóëó Ïóàññîíà äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ22 +(z−ζ)2Z t Z+∞ Z+∞ Z+∞− (x−ξ) +(y−η)4(t−τ)epg(ξ, η, ζ, τ )u(x, y, z, t) =dξ dη dζ dτ.(2 π(t − τ ))30 −∞ −∞ −∞Çàäà÷à 7.31.
Íàéòè ðåøåíèå ñëåäóþùåé íà÷àëüíîé çàäà÷è âî âñåì ïðîñòðàíñòâåut = 4u + (a1 ∂1 + a2 ∂2 + a3 ∂3 )u + bu, ut=0 = f (x1 , x2 , x3 ).Ïðèìåð 7.25. Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0ut = 4u, u|z=0 = f (x, y, t), u|t=0 = 0.Ðåøåíèå.
Áóäåì ïðèìåíÿòü ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèåFx→α Fy→β Fs,z→γ , ò.å. sin-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé z è ýêñïîíåíöèàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî îñòàëüíûì ïåðåìåííûì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøès2 bγ f (α, β, t)./πubt = −(α2 + β 2 + γ 2 )bu+Åå ðåøåíèå èìååò âèäsZte−(αub(α, β, γ, t) =2+β 2 +γ 2 )(t−τ )02 bγ f (α, β, τ ) dτ./πÈñïîëüçóÿ ôîðìóëû îáðàùåíèÿ èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé è âûðàæàÿ fb â ôîðìå èíòåãðàëà, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå1u(x, y, z, t) = 32πZ+∞ Z+∞Z tf (ξ, η, τ )×−∞ −∞ 07.7.
Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ê ìíîãîìåðíîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè164 +∞ +∞ +∞Z Z Z222e−(α +β +γ )(t−τ ) γ sin γz eiα(x−ξ)+iβ(y−η) dα dβ dγ dτ dξ dη−∞ −∞ 0Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî âíóòðåííèé òðåõìåðíûé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì òðåõ èçâåñòíûõ îäíîìåðíûõ èíòåãðàëîâ. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíàÿôîðìóëà èìååò âèäu(x, y, z, t) =z√ 3(2 π)Zt0dτ(t − τ )5/2Z+∞ Z+∞2 +(y−η)2 +z 2− (x−ξ) 4(t−τ)ef (ξ, η, τ ) dξ dη dτ.−∞ −∞Çàäà÷à 7.32. Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0:ut = 4u, u|t=0 = f (x, y, z), u|z=0 = 0.Çàäà÷à 7.33. Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0:ut = 4u + g(x, y, z, t), u|t=0 = f (x, y, z), u|z=0 = 0.Çàäà÷à 7.34. Ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà z > 0:ut = 4u, u|t=0 = f (x, y, z), uz |z=0 = 0.Çàäà÷à 7.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
