1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Äàéòå ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å èðåøèòå ååut = a2 uxx − h u, 0 6 x 6 11 2 x;06x62u(x, 0) =1 2 (1 − x);6x612ux (0, t) = 0, ux (1, t) = 0Çàäà÷à 5.16. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íàëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà, à ïðàâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðàèçâåñòíà è ðàâíà x2 − 2 x.Çàäà÷à 5.17. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà5.7.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ109ïðàâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà, à ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðàèçâåñòíà è ðàâíà x2 − 1.5.8. Îòâåòû ê çàäà÷àì1105.8 Îòâåòû ê çàäà÷àìÏðèâåäåì îòâåòû ê çàäà÷àì äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íîìåð Îòâåò(2.1)ξ = x − t,(2.2)ξ = x + y,(2.3)(2.4)η = x,uξη = 0η = y, uηη = 0p√2ξ = ln(x + 1 + x ), η = ln(y + 1 + y 2 ),(5.1)ξ = x + y + sin(x), η = x − y − sin(x),1ξ+ηuξη + sin(uη − uξ ) = 0422y > 0, ξ = x, η = y 3/2 ,31uξξ + uηη +uη = 03η22y < 0, ξ = x − (−y)3/2 , η = x + (−y)3/2 ,331uξη −(uξ − uη ) = 06(η − ξ)ñì.òàáëèöó (5.6)(5.2)ñì.òàáëèöó (5.6)(2.5)(5.3)(5.4)(5.5)(5.6)(5.7)(5.8)(5.9)∞ (−1)kPsinu(x, t) = 2 π + 4kk=1µ¶a2 k 2kx e− 4 t .2u(x, t) = (ϕ0 − u0 ) e−h t + u0µ¶∞ (−1)k+1 + 12 πk 2πk2ϕ0 Psinx e−a ( ` ) t .u(x, t) =π k=1k`¶µ∞ (−1)k − 12 πk 24 `2 Pπku(x, t) = 3x e−a ( ` ) t .sin3π k=1k`µ¶∞ sin( π k )2 πk 28 Pπk2u(x, t) = 2sinx e−a ( ` ) t .2π k=1k`πk∞8 P sin( 2 )2 2u(x, t) = 2sin (k x) e−a k t .2π k=1kµ¶∞P2 πk 2πk−htBk sinx e−a ( ` ) tu(x, t) = e`k=1`¡¢2 Rϕ(x) sin π`k x dx.Bk =` 0uξξ + uηη = 05.8.
Îòâåòû ê çàäà÷àìÍîìåð Îòâåò(5.10)(5.11)(5.12)(5.13)(5.14)(5.15)(5.16)(5.17)u(x, t) = e−h t111∞Pk=1Bk sin(kx) e−a2k2 t2ϕ0Bk =(1 − (−1)k ).πk∞P2 2 2u(x, t) =Ak cos(πkx) e−a π k tk=14Ak = 2 2 (1 − (−1)k ).π k∞P2 πk 2A0 −h tπku(x, t) =e+ e−h tAk cosx e−a ( ` ) t2`k=12 R`A0 =ϕ(x) dx` 0¡¢2 R`Ak =ϕ(x) cos π k` x dx` 0∞P2(u0 − θ0 ) + u1 ` −h tu(x, t) = θ0 +e+ e−h tAk cos2k=12 u1 `Ak = 2 2 ((−1)k − 1).π k∞P12 2u(x, t) = +Ak cos(kx) e−a k t2 k=14πkAk = 2 2 (2 cos() − 1 − (−1)k ).π k2∞P12 2 2u(x, t) = e−h t + e−h tAk cos(πkx) e−a π k t2k=1πk4) − 1 − (−1)k ).Ak = 2 2 (2 cos(π k2µ¶´³π (2 k−1) 2∞Pπ (2 k − 1)t−a22u(x, t) =Bk sinx e2k=132Bk = − 3.π (2 k − 1)3 µ¶³´π (2 k−1) 2∞Pπ (2 k − 1)−a2t2u(x, t) =Ak cosx e2k=132 (−1)kAk = 3.π (2 k − 1)3µπkx`¶e−a2π2 k2t`2Ãëàâà 6Ìåòîä Ôóðüå äëÿ íåîäíîðîäíîãîóðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòèÍåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè âîçíèêàåò â çàäà÷àõ î ðàñïðîñòðàíåíèè òåïëà â ñëó÷àå, êîãäà åñòü òåïëîâûå èñòî÷íèêè èëè ñòîêè.
Ïóñòüèçâåñòíà ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ èëè ñòîêîâ F (x, t), òîãäà óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè èìååò âèäut = a2 uxx + F (x, t),06x6`(6.1)6.1 Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÐàññìîòðèì ìåòîä Ôóðüå äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è â ñëó÷àåíåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Âíà÷àëå ðàññìîòðèì çàäà÷óñ íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì.Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîìîäíîðîäíîì ñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ðàâíà íóëþ. Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ òàêæå ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà è ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t).6.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à113Ðåøåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:ut = a2 uxx + F (x, t),(6.2)06x6`(6.3)u(x, 0) = 0u(0, t) = 0,(6.4)u(`, t) = 0Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ðàçëîæåíèÿ âðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè Bk (t) :u(x, t) =∞Xk=1µπkBk (t) sinx`¶22 πke−a ( ` ) t .(6.5)Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ F (x, t) â âèäå ðÿäà ÔóðüåF (x, t) =∞Xk=1µ¶πkFk (t) sinx ,`2ãäå Fk (t) =`Z`0µπkF (s, t) sins`(6.6)¶ds.(6.7)Çàïèøåì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â âèäåut − a2 uxx = F (x, t).(6.8)Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (6.5) è ðàçëîæåíèå F (x, t) (6.6) â óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (6.8).
Ïîëó÷èì óðàâíåíèå∞ µXk=1π2 k2Ḃk (t) − 2`¶µπkxBk (t) sin`¶22 πke−a ( ` ) t +µ¶¶µ∞∞XX2πkπ2 k2πk−a2 ( π`k ) t+sinx ex . (6.9)=Fk (t) sin`2``k=1k=1Èç ðàâåíñòâà ðÿäîâ (6.9) ñëåäóåò, ÷òîḂk (t) e2−a2 ( π`k ) t= Fk (t).(6.10)6.1. Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à114Ïåðåïèøåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Bk (t) â âèäåḂk (t) = Fk (t) e2a2 ( π`k ) t(6.11).Ðàññìîòðèì ðåøåíèå (6.5) ïðè t = 0:u(x, 0) =µ¶πkBk (0) sinx .`∞Xk=1(6.12)Ò.ê. òåìïåðàòóðà â íà÷àëüíûé ìîìåíò ðàâíà íóëþ u(x, 0) = 0, çíà÷èò,(6.13)Bk (0) = 0.Ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Bk (t)(22 πkḂk (t) = Fk (t) ea ( ` )t(6.14)Bk (0) = 0Ïðîèíòåãðèðóåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â çàäà÷å Êîøè (6.14)ZtBk (t) =Fk (τ ) e2a2 ( π`k ) τ(6.15)dτ + Bk (0).0Ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ïîëó÷èìZt2 πkFk (τ ) ea ( ` )Bk (t) =2τ(6.16)dτ.0Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Bk (t) âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå Fk (τ )2Bk (t) =`Zt0πk 2`ea ( )2Z`τ0µπksF (s, τ ) sin`¶ds dτ.(6.17)Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Bk (t) â ðåøåíèå (6.5).Ïîëó÷èì ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè ñ íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì.6.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à115Îòâåò:u(x, t) =∞Xk=1µπkBk sinx`2ãäå Bk (t) =`Ztπk 2`ea ( )20¶eZ`τ02−a2 ( π`k ) t(6.18),µπkF (s, τ ) sinx`¶ds dτ.(6.19)Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà çàäàíà ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x).Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîìîäíîðîäíîì ñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x).Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà è ïî ñòåðæíþíåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t).Ðåøåíèå.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:ut = a2 uxx + F (x, t),(6.20)06x6`u(x, 0) = ϕ(x)(6.21)u(0, t) = 0,(6.22)u(`, t) = 0Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ðàçëîæåíèÿ âðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè Bk (t) :u(x, t) =∞Xk=1µπkBk (t) sinx`¶22 πke−a ( ` ) t .(6.23)Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ F (x, t) â âèäå ðÿäà ÔóðüåF (x, t) =∞Xk=1¶πkFk (t) sinx ,`2ãäå Fk (t) =`µZ`0µπkF (s, t) sins`(6.24)¶ds.(6.25)6.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à116Ïðåäñòàâèì íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó ϕ(x) â âèäå ðÿäà Ôóðü嵶πkϕk sinx ,`∞Xϕ(x) =k=12ãäå ϕk =`Z`0(6.26)µ¶πkϕ(s) sins ds.`(6.27)Çàïèøåì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â âèäåut − a2 uxx = F (x, t).(6.28)Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (6.23) è ðàçëîæåíèå F (x, t) (6.24) â óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (6.28). Ïîëó÷èì óðàâíåíèå∞ µXk=1π2 k2Ḃk (t) − 2`¶µπkBk (t) sinx`¶22 πke−a ( ` ) t +µ¶µ¶∞∞XX2πkπkπ2 k2−a2 ( π`k ) tsinx ex .
(6.29)+=Fk (t) sin`2``k=1k=1Èç ðàâåíñòâà ðÿäîâ (6.29) ñëåäóåò, ÷òî22 πkḂk (t) e−a ( ` ) t = Fk (t).(6.30)Ïåðåïèøåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Bk (t) â âèäåḂk (t) = Fk (t) e2a2 ( π`k ) t(6.31).Ðàññìîòðèì ðåøåíèå (6.23) ïðè t = 0:u(x, 0) =∞Xk=1¶πkx .Bk (0) sin`µ(6.32)Ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (6.21) è ðàçëîæåíèÿ (6.26) èìååì∞Xk=1µπkϕk sinx`¶=∞Xk=1µ¶πkBk (0) sinx .`(6.33)Èç ðàâåíñòâà (6.33) ïîëó÷èì íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ Bk (t):Bk (0) = ϕk .(6.34)6.1. Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à117Ïîëó÷àåì çàäà÷ó Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Bk (t)(22 πkḂk (t) = Fk (t) ea ( ` )Bk (0) = ϕk .t(6.35)Ïðîèíòåãðèðóåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â çàäà÷å Êîøè (6.35)ZtBk (t) =Fk (τ ) e2a2 ( π`k ) τdτ + Bk (0).(6.36)τ(6.37)0Ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ïîëó÷èìZt22 πkFk (τ ) ea ( ` )Bk (t) =dτ + ϕk .0Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Bk (t) âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå Fk (τ ) è ϕk2Bk (t) =`2+`Z`0Ztπk 2`ea ( )2Z`τ00µπkF (s, τ ) sins`¶ds dτ +µ¶πkϕ(s) sins ds.`(6.38)Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Bk (t) â ðåøåíèå (6.23).Ïîëó÷èì ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïðîèçâîëüíûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìÎòâåò:u(x, t) =∞Xk=1πkxBk (t) sin`2ãäå Bk (t) =`2+`Z`0µZtπk 2`ea ( )2¶Z`τ0¶πks ds.ϕ(s) sin`022 πke−a ( ` ) t ,µπkF (s, τ ) sins`(6.39)¶ds dτ +µ(6.40)6.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à118Ïðèìåð 6.1. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 π ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî ëèíåéíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðûϕ(x) = u0 + u1 x,ãäå u0 , u1 êîíñòàíòû. Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà è ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t) = A sin(3 x), ãäå A êîíñòàíòà.Ðåøåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:ut = a2 uxx + A sin(3 x),06x6π(6.41)u(x, 0) = u0 + u1 x(6.42)u(0, t) = 0,(6.43)u(π, t) = 0Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ðàçëîæåíèÿ âðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñòåðæíÿ0 6 x 6 π ñ çàâèñÿùèì îò âðåìåíè êîýôôèöèåíòîì Bk (t) :u(x, t) =∞X2Bk (t) sin(k x) e−ak2 t.(6.44)k=1Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ F (x, t) â âèäå ðÿäà ÔóðüåA sin(3 x) =∞XFk (t) sin(k x),(6.45)k=1Òàêîå ðàâåíñòâî âîçìîæíî ïðè ñëåäóþùåì âûáîðå êîýôôèöèåíòîâF3 (t) = A,Fk (t) ≡ 0,k 6= 3.(6.46)Ïðåäñòàâèì íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó ϕ(x) = u0 +u1 x â âèäå ðÿäà Ôóðüåu0 + u1 x =∞Xϕk sin(k x),(6.47)(u0 + u1 s) sin(k s) ds.(6.48)k=12ãäå ϕk =πZπ06.1.
Ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à119Âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèå èíòåãðàëà, ïîñ÷èòàííûì ðàíåå (ñì. (5.100)(5.101))2(u0 − u0 (−1)k − u1 π (−1)k ), k ∈ N.(6.49)πkÏîäñòàâèì ðåøåíèå (6.44) è ðàçëîæåíèå F (x, t) (6.45) â óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè è ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Bk (t)ϕk =2Ḃk (t) = eak2 tFk (t).(6.50)Ñ ó÷åòîì âèäà êîýôôèöèåíòîâ Fk (t) ïîëó÷èì îòäåëüíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Bk (t) â ñëó÷àå k = 3 è ïðè îñòàëüíûõ k 6= 3.2Ḃ3 (t) = A e9 at(6.51)(6.52)Ḃk (t) = 0Íàéäåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ðåøåíèå (6.44) ïðè t = 0:u(x, 0) =∞XBk (0) sin(k x).(6.53)k=1Ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (6.42) è ðàçëîæåíèÿ (6.47) èìååì∞Xϕk sin(k x) =k=1∞XBk (0) sin(k x).(6.54)k=1Èç ðàâåíñòâà ðÿäîâ (6.33) ïîëó÷èì íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ Bk (t):Bk (0) = ϕk .(6.55)Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ ϕk íàéäåì íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ B3 (0):2(2 u0 + u1 π).(6.56)3πÏîëó÷àåì äâå çàäà÷è Êîøè: îäíó äëÿ êîýôôèöèåíòà B3 (t), äðóãóþ äëÿ îñòàëüíûõ Bk (t), k 6= 3( Ḃ3 (t) = A e9 a2 tḂk (t) = 0(6.57)2 B3 (0) =Bk (0) = ϕk .(2 u0 + u1 π).3πB3 (0) = ϕ3 =6.2.
Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à120Ïðîèíòåãðèðóåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â çàäà÷å Êîøè äëÿB3 (t)Zte9 aB3 (t) = A2τdτ +02(2 u0 + u1 π) =3πA 9 a2 t2(2 u0 + u1 π).e+9 a23π=(6.58)Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Bk (t), k 6= 3 èìååìBk (t) = ϕk =2(u0 − u0 (−1)k − u1 π (−1)k ),πkk ∈ N, k 6= 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
