1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 11
Текст из файла (страница 11)
(5.10))µλk =2k − 12Xk (x) = sin(¶2,k∈N2k − 1x),2k ∈ N.(5.150)(5.151)Âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ äëÿ T (t) (ñì. ìåòîä Ôóðüå äëÿïåðâîé èëè âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è).Òàêèì îáðàçîì, íà ïåðâîì ýòàïå ìåòîäà Ôóðüå íàéäåíû ÷àñòíûå ðåøåíèÿ22k − 1−a2 ( 2k−1t)2ũk (x, t) = sin(x) e, k ∈ N.2(5.152)5.5. Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè101Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîñòðîåííûå ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþòåïëîïðîâîäíîñòè (5.144) è êðàåâûì óñëîâèÿì (5.146).Ïðèñòóïèì ê âòîðîìó ýòàïó ìåòîäà Ôóðüå.
Áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå,óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (5.145). Ðàçûñêèâàåì ðåøåíèå â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áåñêîíå÷íîãî íàáîðà ÷àñòíûõ ðåøåíèé, ò.å. â âèäåñëåäóþùåãî ðÿäà∞Xu(x, t) =Bk sin(k=122 2k−12k − 1x) e−a ( 2 ) t .2(5.153)Ïðè t = 0 ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (5.145):u0 + u1 x =∞XBk sin(k=12k − 1x).2(5.154)Íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå Bk îïðåäåëèì ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì2Bk =πZπ(u0 + u1 x) sin(02k − 1x) dx.2(5.155)Íàéäåì, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, èíòåãðàëäëÿ BkZπ(u0 + u1 x) sin(02k − 1x) dx =2Zπ2k − 1 ¯¯π2 u12k − 12(u0 + u1 x) cos(x)¯ +cos(x) dx ==−0 2k − 12k − 1222 u04 u12k − 1 ¯¯π=+sin(x)¯ =02 k − 1 (2 k − 1)22=02 u04 u1+(−1)k+1 .22 k − 1 (2 k − 1)(5.156)Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Bk2Bk =πµ¶4 u12 u0+(−1)k+1 .22 k − 1 (2 k − 1)(5.157)5.5.
Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè102Çíàÿ êîýôôèöèåíòû Bk â ðàçëîæåíèè (5.153), ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è (5.144)-(5.146)Îòâåò:¶∞ µ24 Xu02 u12k − 1−a2 ( 2k−1k+12 ) t,u(x, t) =+(−1)sin(x)eπ2 k − 1 (2 k − 1)22k=1Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è ñ îäíîðîäíûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè â ñëó÷àå, êîãäà íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ çàäàí òåïëîâîé ïîòîê, à íà ïðàâîì òåìïåðàòóðà.Ïîñòàíîâêà êðàåâîé çàäà÷è 2-1. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå (0 6 x 6 `) ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x), ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí, à íàïðàâîì ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.ut = a2 uxx ,06x6`(5.159)u(x, 0) = ϕ(x)ux (0, t) = 0,(5.158)u(`, t) = 0(5.160)Çàäà÷à 5.2.
Íàéäèòå ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷è2-1 ìåòîäîì Ôóðüå.Ïðèìåð 5.5. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå (0 6 x 6 π ) ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî ëèíåéíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðûu0 + u1 x, ãäå u0 , u1 êîíñòàíòû. Ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí,â íà ïðàâîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.Ðåøåíèå. Çàïèøåì ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è:ut = a2 uxx ,06x6π(5.161)u(x, 0) = u0 + u1 x(5.162)ux (0, t) = 0,(5.163)u(π, t) = 05.5. Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè103Ïðèìåíèì ìåòîä Ôóðüå ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è.
Íà ïåðâîì ýòàïå áóäåìðàçûñêèâàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ â âèäåũ(x, t) = X(x) T (t).(5.164)Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (5.164) â óðàâíåíèå (5.161) è êðàåâûå óñëîâèÿ(5.163) è ðàçäåëèì ïåðåìåííûå. Ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåäëÿ T (t):T 0 (t) + λ a2 T (t) = 0,(5.165)è êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ X(x):(X 00 (x) + λ X(x) = 0, x ∈ (0, `)X 0 (0) = 0, X(π) = 0.(5.166)Âûïèøåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ïîëó÷åííîéêðàåâîé çàäà÷è (ñì. (5.11))µλk =2k − 12Xk (x) = cos(¶2,k∈N2k − 1x),2k ∈ N.(5.167)(5.168)Òàêèì îáðàçîì, íà ïåðâîì ýòàïå ìåòîäà Ôóðüå íàéäåíû ÷àñòíûå ðåøåíèÿ22k − 1−a2 ( 2k−1t)2ũk (x, t) = cos(x) e, k ∈ N.2(5.169)Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîñòðîåííûå ðåøåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò çàäàííîìóóðàâíåíèþ òåïëîïðîâîäíîñòè (5.161) è êðàåâûì óñëîâèÿì (5.163).Ïðèñòóïèì ê âòîðîìó ýòàïó ìåòîäà Ôóðüå. Áóäåì ñòðîèòü ðåøåíèå,óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (5.145), â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áåñêîíå÷íîãî íàáîðà ÷àñòíûõ ðåøåíèé, ò.å.
â âèäå ñëåäóþùåãî ðÿäàu(x, t) =∞Xk=122k − 1−a2 ( 2k−1t)2x) eAk cos(.2(5.170)5.5. Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè104Ïðè t = 0 ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (5.162):u0 + u1 x =∞XAk cos(k=12k − 1x).2(5.171)Íåèçâåñòíûå ïîñòîÿííûå Ak îïðåäåëèì ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå2Ak =πZπ(u0 + u1 x) cos(02k − 1x) dx.2(5.172)Íàéäåì, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, èíòåãðàëäëÿ AkZπ(u0 + u1 x) cos(02k − 1x) dx =2Zπ2k − 122k − 1 ¯¯π2 u1sin(=(u0 + u1 x) sin(x)¯ −x) dx =0 2k − 12k − 1220=24 u1(u0 + u1 π) (−1)k+1 +.2k − 1(2 k − 1)2Òàêèì îáðàçîì, çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà Ak2Ak =πµ24 u1(u0 + u1 π) (−1)k+1 +2k − 1(2 k − 1)2(5.173)¶.(5.174)Îïðåäåëåíèåì êîýôôèöèåíòîâ Ak çàêàí÷èâàåòñÿ âòîðîé ýòàï ìåòîäàÔóðüå.
Ïîëó÷àåì ðåøåíèå çàäà÷è êðàåâîé çàäà÷è (5.161)-(5.163).Îòâåò:¶∞ µ2u4 X11(u0 + u1 π) (−1)k+1 +u(x, t) =×π2k − 1(2 k − 1)2k=1× cos(22 2k−12k − 1x) e−a ( 2 ) t ,25.6. Òàáëèöà ñ ðåøåíèÿìè âñåõ êðàåâûõ çàäà÷1055.6 Òàáëèöà ñ ðåøåíèÿìè âñåõ êðàåâûõ çàäà÷Ïîñòàíîâêà çàäà÷èut = a2 uxx , −` 6 x 6 `u(x, 0) = ϕ(x)u(−`, t) = u(`, t)ux (−`, t) = ux (`, t)ut = a2 uxx , 0 6 x 6 `u(x, 0) = ϕ(x)u(0, t) = 0u(`, t) = 0ut = a2 uxx , 0 6 x 6 `u(x, 0) = ϕ(x)ux (0, t) = 0ux (`, t) = 0ut = a2 uxx ,06x6`u(x, 0) = ϕ(x)u(0, t) = 0ux (`, t) = 0ut = a2 uxx ,06x6`u(x, 0) = ϕ(x)ux (0, t) = 0u(`, t) = 0Ðåøåíèå çàäà÷èµ∞PA0πkπku(x, t) =+x + Ak cosxBk sin2``k=11 R`A0 =ϕ(x) dx` −`¡¢1 R`Ak =ϕ(x) cos π k` x dx` −`¢¡1 R`Bk =ϕ(x) sin π k` x dx.` −`∞P2 πk 2πkx e−a ( ` ) t`k=1¡π k x¢2 R`ϕ(x) sin `Bk =dx.` 0u(x, t) =u(x, t) =Bk sin∞P2 πk 2A0πk+Ak cosx e−a ( ` ) t2`k=12 R`ϕ(x) dx` 0¢¡2 R`Ak =ϕ(x) cos π k` x dx` 0A0 =∞Pπ (2k − 1) −a2xe2`k=1³´2 R`xϕ(x) sin π (2k−1)dx.Bk =2`` 0u(x, t) =∞P³Bk sinπ (2k − 1) −a2u(x, t) =Ak cosxe2`k=1´³2 R`xAk =dx.ϕ(x) cos π (2k−1)2`` 0³π (2k−1)2`π (2k−1)2`´2´2tt¶22 πke−a ( ` )t5.7.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ1065.7 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÇàäà÷à 5.3. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìêîëüöå ðàäèóñà 2 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó (2π − x).Çàäà÷à 5.4.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìêîëüöå åäèíè÷íîãî ðàäèóñà, åñëè ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü êîëüöà ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ïî çàêîíó Íüþòîíà ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé,òåìïåðàòóðà êîòîðîé èçâåñòíà è ðàâíà u0 .  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèòåìïåðàòóðà êîëüöà ïîñòîÿííà è ðàâíà ϕ0 .Çàäà÷à 5.5. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëèíà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.  íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà è ðàâíà ϕ0 .Çàäà÷à 5.6.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëèíà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.  íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà èçâåñòíà è ðàâíà (x − `) x.Çàäà÷à 5.7. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëèíà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.  íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà çàäàíà â âèäå2 x;`ϕ(x) = 2 (` − x);`06x6`2`6x6`2Çàäà÷à 5.8.
Äàéòå ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å è ðå-5.7. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ107øèòå ååut = a2 uxx ,u(x, 0) =06x6ππ2x;06x6π22π(π − x);6x6ππ2u(0, t) = 0, u(π, t) = 0Çàäà÷à 5.9. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 `, åñëè ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ñòåðæíÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ïî çàêîíó Íüþòîíà ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé,òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà 0. Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà è â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ÿâëÿåòñÿïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x).Çàäà÷à 5.10. Äàéòå ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å èðåøèòå ååut = a2 uxx − h u,u(x, 0) = ϕ0 ,u(0, t) = 0,06x6πϕ0 = constu(π, t) = 0Çàäà÷à 5.11.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ è òåïëîèçîëèðîâàííûìè êîíöàìè ñòåðæíÿ, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèòåìïåðàòóðà çàäàíà ôóíêöèåé (1 − 2 x).Çàäà÷à 5.12. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè êîíöàìè, åñëè íà áîêîâîéïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ïî çàêîíó Íüþòîíà ñîîêðóæàþùåé ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà íóëþ.
Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x).5.7. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ108Çàäà÷à 5.13. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû ñ òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè êîíöàìè, åñëè íà áîêîâîéïîâåðõíîñòè ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí ïî çàêîíó Íüþòîíà ñîîêðóæàþùåé ñðåäîé, òåìïåðàòóðà êîòîðîé ðàâíà θ0 . Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé (u0 + u1 x).Çàäà÷à 5.14. Äàéòå ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷å èðåøèòå ååut = a2 uxx ,u(x, 0) =06x6π2πx;06x6π22π(π − x);6x6ππ2ux (0, t) = 0, ux (π, t) = 0Çàäà÷à 5.15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
