1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(6.59)Íàéäÿ çíà÷åíèÿ âñåõ êîýôôèöèåíòîâ, ïîëó÷àåì ðåøåíèå äàííîé êðàåâîé çàäà÷è.Îòâåò:u(x, t) =∞X2Bk (t) sin(k x) e−ak2 t,k=1ãäå B3 (t) =Bk (t) =A 9 a2 t2e+ (2 u0 + u1 π),29a3π2(u0 − u0 (−1)k − u1 π (−1)k ),πkk ∈ N, k 6= 3.6.2 Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷àÏîñòàíîâêà çàäà÷è. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ,åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåé ϕ(x). Êîíöû ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàíû è ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíûèñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t).Ðåøåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:ut = a2 uxx + F (x, t),06x6`(6.61)u(x, 0) = ϕ(x)ux (0, t) = 0,(6.60)ux (`, t) = 0(6.62)6.2.
Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à121Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ðàçëîæåíèÿ âðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè:µ¶∞X2πk1−a2 ( π`k ) tAk (t) cosx e.u(x, t) = A0 (t) +2`(6.63)k=1Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ F (x, t) â âèäå ðÿäà Ôóðü嵶∞X1πkF (x, t) = F0 (t) +Fk (t) cosx ,2`(6.64)k=12ãäå F0 (t) =`2Fk (t) =`Z`0Z`F (s, t) ds,0µπkF (s, t) coss`¶k ∈ N.ds,(6.65)Ïðåäñòàâèì íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó ϕ(x) â âèäå ðÿäà Ôóðü嵶∞Xπk1ϕ(x) = ϕ0 +ϕk cosx ,2`(6.66)k=1ãäå ϕ0 =2ϕk =`Z`02`Z`ϕ(s) ds,0µ¶πkϕ(s) coss ds,`k ∈ N.(6.67)Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (6.63) è ðàçëîæåíèå F (x, t) (6.64) â óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè è ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ A0 (t) è Ak (t)Ȧ0 (t) = F0 (t),22 πkȦk (t) = Fk (t) ea ( ` ) t ,k ∈ N.(6.68)Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ðàññìîòðèì ðåøåíèå (6.63) ïðèt = 0 è ïðèðàâíÿåì ê ϕ(x) â âèäå ðÿäà (6.66):A0 (0) = ϕ0 ,Ak (0) = ϕk ,k ∈ N.(6.69)6.2.
Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à122Ïîëó÷àåì çàäà÷è Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòà A0 (t) è äëÿ êîýôôèöèåíòîâAk (t)((Ȧ0 (t) = F0 (t)A0 (0) = ϕ0 .22 πkȦk (t) = Fk (t) ea ( ` )Ak (0) = ϕk .t(6.70)Ïðîèíòåãðèðóåì è íàéäåì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A0 (t), Ak (t)ZtA0 (t) =F0 (τ ) dτ + ϕ0 ,0Zt22 πkFk (τ ) ea ( ` )Ak (t) =τdτ + ϕk ,k ∈ N.(6.71)0Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ A0 (t), Ak (t) çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå F0 (τ ), Fk (τ ) è ϕ0 , ϕk è ïîëó÷èì ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïðîèçâîëüíûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìÎòâåò:µ¶∞X22 πk1πku(x, t) = A0 (t) +Ak (t) cosx e−a ( ` ) t ,2`(6.72)k=1ãäå A0 (t) =2Ak (t) =`2+`Z`0Zt2`Z t Z`F (s, τ ) ds dτ +00πk 2`e ( )2a0Z`τ02`Z`ϕ(s) ds,0µπksF (s, τ ) cos`¶πkϕ(s) coss ds.`¶ds dτ +µ(6.73)Ïðèìåð 6.2.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 π ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî ëèíåéíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðûϕ(x) = u0 +u1 x, ãäå u0 , u1 êîíñòàíòû. Êîíöû ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàíû6.2. Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à123è ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþF (x, t) = Φ(t) cos(2 x), ãäå Φ(t) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ.Ðåøåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è èìååò âèä:ut = a2 uxx + Φ(t) cos(2 x),06x6π(6.74)u(x, 0) = u0 + u1 x(6.75)ux (0, t) = 0,(6.76)ux (π, t) = 0Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â ñëåäóþùåì âèäå∞X12 2u(x, t) = A0 (t) +Ak (t) cos(k x) e−a k t .2(6.77)k=1Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ F (x, t) = Φ(t) cos(2 x) â âèäå ðÿäà Ôóðüå∞X1Φ(t) cos(2 x) = F0 (t) +Fk (t) cos(k x),2(6.78)k=1Èç ðàâåíñòâà ðÿäîâ (6.78) ïîëó÷àåìF2 (t) = Φ(t),F0 (t) = 0,Fk (t) = 0,k ∈ N, k 6= 2.(6.79)Ïðåäñòàâèì íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó ϕ(x) = u0 +u1 x â âèäå ðÿäà Ôóðüå∞X1u0 + u1 x = ϕ0 +ϕk cos(k x),2(6.80)k=12ãäå ϕ0 =π2ϕk =πZπ(u0 + u1 s) ds = 2 u0 + u1 π,0Zπ(u0 + u1 s) cos(k s) ds,k ∈ N.(6.81)0Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ϕk âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèåì èíòåãðàëà, ïîñ÷èòàííûìðàíåå (5.139)(5.140)ϕk =2 u1((−1)k − 1).2πk(6.82)6.2.
Âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à124Ïîäñòàâèì ðåøåíèå (6.77) â óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (6.74) è çàìåíèì ïëîòíîñòü èñòî÷íèêîâ F (x, t) åå ðÿäîì Ôóðüå (6.78). Ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ A0 (t) è Ak (t)Ȧ0 (t) = F0 (t),22 πkȦk (t) = Fk (t) ea ( ` ) t ,k ∈ N.(6.83)Òåïåðü ïîäñòàâèì t = 0 â ðåøåíèå (6.77) è ïðèðàâíÿåì ê íà÷àëüíîìóóñëîâèþ ϕ(x) = u0 + u1 x, ïðåäñòàâëåííîìó ðÿäîì Ôóðüå (6.80). Íàéäåìçíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ êîýôôèöèåíòîâ A0 è Ak ïðè t = 0:A0 (0) = ϕ0 ,Ak (0) = ϕk ,k ∈ N.(6.84)Ïîëó÷àåì çàäà÷è Êîøè äëÿ êîýôôèöèåíòà A0 (t) è äëÿ êîýôôèöèåíòîâAk (t)((Ȧ0 (t) = F0 (t)A0 (0) = ϕ0 .22 πkȦk (t) = Fk (t) ea ( ` )Ak (0) = ϕk .t(6.85)Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî êîýôôèöèåíòû F0 (t), F2 (t), Fk (t) èìåþò âèä (6.79),çàïèøåì çàäà÷è Êîøè îòäåëüíî äëÿ êîýôôèöèåíòîâ A0 (t), A2 (t), Ak (t):(Ȧ0 (t) = 0A0 (0) = ϕ0 .(Ȧ2 (t) = Φ(t) e4 aA2 (0) = ϕ2 .2(tȦk (t) = 0, k 6= 2Ak (0) = ϕk .(6.86)Ïðîèíòåãðèðóåì è íàéäåì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A0 (t), Ak (t)A0 (t) = ϕ0 ,ZtΦ(τ ) e4 aA2 (t) =2τdτ + ϕ2 ,0Ak (t) = ϕk ,k ∈ N,k 6= 2Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïîñ÷èòàííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå ϕ0 , ϕk , ϕ2 (6.81) è ïîëó÷èì ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîéçàäà÷è (6.74)(6.76)6.3.
Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìè125Îòâåò:∞X12 2u(x, t) = A0 (t) +Ak (t) cos(k x) e−a k t ,2k=1ãäå A0 (t) = 2 u0 + u1 π,Zt2Φ(τ ) e4 aA2 (t) =τdτ,0Ak (t) =2 u1((−1)k − 1),2πkk ∈ N,k 6= 2Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ ϕk 6= 0 äëÿ íå÷åòíûõ k ∈ N. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òîäëÿ íå÷åòíûõ k = 2m + 1 âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà ϕ2m+1 èìååò âèäϕ2m+1 =−4 u1,π (2m + 1)2ðåøåíèå çàäà÷è ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåπ2u1 ) + A2 (t) cos(2 x) e−4 a t −2∞4 u1 X1−a2 (2m+1)2 t−cos((2m+1)x)e,π m=1 (2m + 1)2u(x, t) = (u0 +Zt2Φ(τ ) e4 aãäå A2 (t) =τdτ.06.3 Êðàåâûå çàäà÷è ñî ñìåøàííûìèêðàåâûìè óñëîâèÿìèÏîñòàíîâêà êðàåâîé çàäà÷è 1-2. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðûâ òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîéïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ ϕ(x).Íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ òåìïåðàòóðà ðàâíà íóëþ, ïðàâûé êîíåö ñòåðæíÿòåïëîèçîëèðîâàí è ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëàñ ïëîòíîñòüþ F (x, t).6.4.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ126Çàäà÷à 6.1. Çàïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïðèìåíèòåìåòîä Ôóðüå äëÿ åå ðåøåíèÿ.Ïîñòàíîâêà êðàåâîé çàäà÷è 2-1. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîì ñòåðæíå 0 6 x 6 ` ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿϕ(x). Íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîòîê òåïëà ðàâåí íóëþ, íà ïðàâîì êîíöåïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà, ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t).Çàäà÷à 6.2. Çàïèøèòå ìàòåìàòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïðèìåíèòåìåòîä Ôóðüå äëÿ åå ðåøåíèÿ.6.4 Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿÇàäà÷à 6.3.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëèâ íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà ϕ(x) = ϕ0 , ãäå ϕ0 êîíñòàíòà. Íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðàè ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþF (x, t) = e2 t sin(3 π x).Çàäà÷à 6.4. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà ϕ(x) = ϕ0 , ãäå ϕ0 êîíñòàíòà. Êîíöû ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàíû è ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíîðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t) = e−t cos(5 π x).Çàäà÷à 6.5.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè âíà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà ϕ(x) = ϕ0 , ãäå ϕ0 êîíñòàíòà. Íà ëåâîì êîíöå ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà,ïðàâûé êîíåö òåïëîèçîëèðîâàí.
Ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t) = et sin(3πx).26.4. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ127Çàäà÷à 6.6. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîíêîì îäíîðîäíîìñòåðæíå 0 6 x 6 1 ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà ïîñòîÿííà ϕ(x) = ϕ0 , ãäå ϕ0 êîíñòàíòà. Ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí, íà ïðàâîì êîíöå ñòåðæíÿïîääåðæèâàåòñÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà. Ïî ñòåðæíþ íåïðåðûâíî ðàñïðåäå-5πx).2Äàéòå ñëîâåñíóþ ôîðìóëèðîâêó ñëåäóþùèõ çàäà÷ è ðåøèòå èõ.ëåíû èñòî÷íèêè òåïëà ñ ïëîòíîñòüþ F (x, t) = e2 t cos(Çàäà÷à 6.7.ut = a2 uxx + 1,¯¯u ¯ = x2 ,t=0¯¯¯¯u¯= 0, u¯x=00 < x < 4, t > 0,x=4= 0.Çàäà÷à 6.8.ut = a2 uxx + 2, 0 < x < π, t > 0,¯¯u¯ = x,t=0¯¯¯¯ux ¯= 0, ux ¯= 0.x=0x=πÇàäà÷à 6.9.πut = a2 uxx + 3, 0 < x < , t > 0,2¯¯u¯ = sin3x,t=0¯¯¯¯u¯= 0, ux ¯ π = 0.x=0x= 2Çàäà÷à 6.10.ut = a2 uxx + 4, 0 < x < 1, t > 0,¯¯u¯ = cos(9πx/2),t=0¯¯¯¯ux ¯= 0, u¯= 0.x=0x=16.5.
Îòâåòû ê çàäà÷àì1286.5 Îòâåòû ê çàäà÷àìÏðèâåäåì îòâåòû ê çàäà÷àì äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.Íîìåð Îòâåòu(x, t)(6.1)³∞P=Bk (t) sin π (22k−1)`k=1´2³`2 Rt a2 π (22k−1)τ R`Bk (t) =´³´π (2 k−1) 2t−a22`x e,³F (s, τ ) sineπ (2 k−1)2`´s ds dτ +` 00³´`R2π (2 k−1)+ϕ(s) sins ds.2`` 0³´³´π (2 k−1) 2∞Pt−a2π (2 k−1)2`Ak (t) cosu(x, t) =,x e2`k=1(6.2)³´2³´`2 Rt a2 π (22k−1)τ R`Bk (t) =eF (s, τ ) cos π (22k−1)sds dτ +`` 00³´2 R`ϕ(s) cos π (22k−1)sds.+`` 02(6.3)(6.4)(6.5)22Ã(6.6)21−9 a π t +0u(x, t) = 4ϕπ 0 sin(π x) e−a π t + ( 4ϕsin(3 π x) e2 t +3π − 1) sin(3 π x) e2+9 a2 π 2k∞2ϕ0 P 1 − (−1)2 2 2sin(π k x) e−a π k t .+π k=5k³´1−t − e−25 pi2 a2 t cos(5 π x)u(x, t) = ϕ0 +e25 π 2 a2!ô³14ϕ0 −a2 49 π 2 t−a2 94 π 2 ttsin( 32π x)++u(x, t) = 3 π ee −e1 + 94 a2 π 222∞4ϕ0 P12 π (2k−1) t4+x) e−a.sin( π (2k−1)2π k=1,k6=2 2 k − 1u(x, t) =+4ϕ0π4ϕ05π∞Pk=1,k6=3e−a2254π2 t+11+254a2 π 2!³´2t−a2 25π2t4e −ecos( 52π x)+π 2 (2k−1)2(−1)k+1−a2t4cos( π (2k−1)x)e.22k − 1Ãëàâà 7Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå7.1 Îñíîâíûå òåîðåìûÏðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå ôóíêöèè f (t), îïðåäåëåííîé íà âåùåñòâåííîé îñè R, ôóíêöèþF (x), îïðåäåëÿåìóþ èíòåãðàëîì1F (x) = √2πZ+∞f (t)e−itx dt.−∞Èñïîëüçóþòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèÿF (x) = fb(x) = (Ff )(x).Åñëè èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ëåáåãà, òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îïðåäåëåíî â êëàññå L1 (R) èíòåãðèðóåìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
