1625915351-43e2efad1a0e7d9d0e1dc364b71ca32f (843924), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ìåòîä, ïðèìåíÿåìûé äëÿ ðåøåíèÿ êàê îäíîðîäíîãî, òàê è íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íîìåðíûé àíàëîã ìåòîäà Ôóðüå îäíîãî èç îñíîâíûõìåòîäîâ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.4.1 Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â RmÏðåäïîëîæèì, ÷òî â Rm ââåäåíà åâêëèäîâà ñòðóêòóðà, A : Rm → Rm ëèíåéíûé îïåðàòîð.Ïóñòü îïåðàòîð A ñèììåòðè÷åñêèé:(Au, v) = (u, Av) ∀u, v ∈ Rm .×åðåç Xk îáîçíà÷èì ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà A, îòâå÷àþùèé ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λk :AXk = λk Xk .4.1. Îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â RM59Òîãäà â Rm ñóùåñòâóåò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, èñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âåùåñòâåííû.
Åñëè äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèòü,÷òî îïåðàòîð A íåîòðèöàòåëåí:(Av, v) > 0 ∀v ∈ Rm ,òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ â Rm :v 0 (t) = −Av(t),v ∈ Rm ;(4.1)(4.2)v(0) = ϕ.Òîãäà ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ñîáñòâåííîìó áàçèñóîïåðàòîðà A:v(t) =mX(4.3)Cj (t)Xj ,j=1ãäå Cj (t) íåèçâåñòíûå ôóíêöèè.Âåêòîð íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé òàêæå ðàçëîæèì ïî áàçèñóϕ=mX(4.4)ϕj X j .j=1Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ϕj íàéäåì, ïîëüçóÿñü îðòîãîíàëüíîñòüþ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ Xj .
Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (4.4) ñêàëÿðíî íàXi :(ϕ, Xi ) =mXϕj (Xj , Xi ) = ϕi (Xi , Xi ) = ϕi kXi k2 .j=1Îòñþäàϕj =(ϕ, Xj ).kXj k2(4.5)Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ Cj (t) ïîäñòàâèì v(t) (4.3) â óðàâíåíèå (4.1)mXj=1Cj0 (t)Xj=−mXj=1Cj (t)AXj = −mXj=1Cj (t)λj Xj4.2. Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè60è â íà÷àëüíîå óñëîâèå (4.2)mXϕj Xj =mXj=1Cj (0)Xj .j=1 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, êàæäàÿ èç ôóíêöèéCj (t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ÊîøèCj0 (t) = −λj Cj (t);Cj (0) = ϕj .Îòñþäà íàõîäèì Cj (t):Cj (t) = ϕj e−λj t .Îêîí÷àòåëüíî, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (4.1)(4.2) èìååò âèäv(t) =mXϕj e−λj t Xj ,(4.6)j=1ãäå ϕj íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (4.5).© −λ t ªme j Xj j=1 îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (4.1).Çàìåòèì, ÷òî âåêòîð-ôóíêöèè4.2 Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè×åðåç E m îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ âèäàNc0 Xck cos(kx) + dk sin(kx)p(x) = +2(4.7)k=1ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ck , dk ∈ R.Çàäàäèì â E m ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ïî ôîðìóëåZπ(p, q) =p(x)q(x)dx.−πÒîãäà E m ïðåâðàùàåòñÿ â åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî.(4.8)4.2.
Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè61Îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îáðàçóþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíûX0 = 1,Xk = {cos(kx); sin(kx)},1 6 k 6 N.Ñëåäîâàòåëüíî, E m êîíå÷íîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ðàçìåðíîñòèm = 2N + 1.Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â îòëè÷èå îò êîíå÷íîìåðíîãî ÷èñëîâîãî ïðîñòðàíñòâà Rm ïðîñòðàíñòâî E m ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíûì ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì åãî ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè!Ïóñòü A : E m → E m ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëód2 p.(4.9)dx2Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî A ñèììåòðè÷åí.
Äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçóåì ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå¯πZπ 2Zπ¯dpdpdp dq¯(Ap, q) = −q(x)dx=−q(x)dx.+¯¯dx2dxdx dxAp(x) = −−π−π−πÒàê êàê òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû p(x) è q(x) 2π -ïåðèîäè÷íû, òîïîäñòàíîâêà ïðîïàäàåò, èZπ(Ap, q) =−πdp dqdx.dx dxÑëåäîâàòåëüíî,(Ap, q) = (Aq, p).Îïåðàòîð A íåîòðèöàòåëåí, òàê êàêZπ µ(Ap, p) =−πdpdx¶2dx > 0.Ïîñòàâèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λk è ñîáñòâåííûõâåêòîðîâ Xk îïåðàòîðà A:AXk = λk Xk ,Xk 6= 0,Xk ∈ E m .4.2. Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè62Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà A, äàííóþ çàäà÷ó â ïðîñòðàíñòâåòðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ E m ïåðåïèøåì â âèäå:Xk00 + λk Xk = 0;Xk (x + 2π) = Xk (x),Xk ∈ E m .Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàìλ0 = 0,X0 = 1,λk = k 2 ,Xk = {cos(kx); sin(kx)},1 6 k 6 N.(4.10)Òåïåðü ðàññìîòðèì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè íà îêðóæíîñòè:ut = uxx ,x ∈ R,t > 0;(4.11)u|t=0 = ϕ(x);(4.12)u(x + 2π, t) = u(x, t),(4.13)Ïóñòü íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ ϕ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó E m .
Ýòî îçíà÷àåò,÷òî îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì âèäàNc0 Xϕ(x) = +ck cos(kx) + dk sin(kx).2(4.14)k=1Áóäåì ðàçûñêèâàòü ðåøåíèå çàäà÷è î êîëüöå u(x, t), ïðèíàäëåæàùååïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì t ïðîñòðàíñòâó E m . Åñëè òàêîå ðåøåíèå áóäåò íàéäåíî, òî, â ñèëó äîêàçàííîé òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äðóãèõ ðåøåíèé ó çàäà÷è (4.11)(4.13) íåò.Ïîêàæåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìóþ íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ìîæíî ñâåñòè ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ïðîñòðàíñòâå E m .Ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ u(x, t) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþîäíîé ïåðåìåííîé t ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå E m :u(x, t) = v(t);v(t) ∈ E m .Òîãäà ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè u(x, t) ïî ïåðåìåííîé t ýòîîáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè v(t) ïî t:ut (x, t) =dv.dt4.3. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ63Ïî îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà A,∂ 2 u(x, t)Av(t) = −.∂x2Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à î êîëüöå (4.11)(4.13) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å Êîøèâ ïðîñòðàíñòâå E m :v 0 (t) = −Av(t),v ∈ E m;(4.15)(4.16)v(0) = ϕ,ãäå ϕ ∈ E m çàäàííàÿ ôóíêöèÿ.Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (4.15)(4.16) íàõîäèòñÿ ïîôîðìóëåv(t) =mXϕj e−λj t Xj ,j=1Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ýòà ôîðìóëà ïðèíèìàåòâèä:u(x, t) =mXϕj e−λj t Xj (x).(4.17)j=1Òàê êàê íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ óæå ðàçëîæåíà ïî áàçèñó {Xj }mj=1 , òî êîýôôèöèåíòû ϕj èçâåñòíû. ÿâíîì âèäå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íà îêðóæíîñòèáóäåò âûïèñàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.4.3 Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâÏðèìåð 4.1.
Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è î êîëüöå äëÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè â ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò4.3. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ64ñîáîé êîíå÷íóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé:ut = a2 uxx ,x ∈ R,t > 0;Nu|t=0c0 X= +ck cos(kx) + dk sin(kx);2k=1u(x + 2π, t) = u(x, t).Êîýôôèöèåíòû ck , dk çàäàíû.Òàê êàê ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äàííîé çàäà÷èèçâåñòíû (4.10), ðîëü êîýôôèöèåíòîâ ϕj èãðàþò c0 , ck , dk , 1 6 k 6 N , òî,ñîãëàñíî (4.17), ðåøåíèå èìååò âèäNc0 X2u(x, t) = +(ck cos(kx) + dk sin(kx))e−k t2k=1è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ïî x ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò t. äàííîì ñëó÷àå ìîæíî áûëî óãàäàòü ðåøåíèå çàäà÷è è âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé åäèíñòâåííîñòè.Ïðèìåð 4.2.
Íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷èut = a2 uxx ,x ∈ R,t > 0;u|t=0 = 2 cos(x) + 3 sin(4x) + 5;u(x + 2π, t) = u(x, t).Òàê êàê íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äàííîé çàäà÷è, òî ðåøåíèå ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî÷èñëà ñëàãàåìûõ è èìååò âèäu(x, t) = 2 cos(x)e−t + 3 sin(4x)e−16t + 5.Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è ñ äðóãèìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè.4.3. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâÇàäà÷à 4.1. Íàéäèòå ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷èut = a2 uxx x ∈ (0, `), t > 0;µ¶NXπku|t=0 =dk sinx ;`k=1u(0, t) = 0;u(`, t) = 0.Îòâåò.2µ¶ − πk tNXπk`u(x, t) =dk sinx e.`k=1Çàäà÷à 4.2. Íàéäèòå ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷èut = a2 uxx x ∈ (0, `),u|t=0t > 0;µ¶Nπkc0 X= +ck cosx ;2`k=1ux (0, t) = 0;ux (`, t) = 0.Îòâåò.2µ¶ − πk tNXc0πk`u(x, t) = +.ck cosx e2`k=1Íàéäèòå ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷.Çàäà÷à 4.3.ut = a2 uxx ,x ∈ R,t > 0;u|t=0 = 4 + 5 cos(2x) + 6 sin(3x);u(x + 2π, t) = u(x, t).654.3.
Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõìíîãî÷ëåíîâ66Çàäà÷à 4.4.ut = a2 uxx ,u|t=0x ∈ R, t > 0;µ¶µ¶5π2π= 7 + 9 cosx + sinx ;``u(x + 2`, t) = u(x, t).Çàäà÷à 4.5.ut = a2 uxx x ∈ (0, 1),t > 0;u|t=0 = 3 sin (2πx) ;u(0, t) = 0;u(1, t) = 0.Çàäà÷à 4.6.ut = a2 uxx x ∈ (0, 3), t > 0;µ¶4πu|t=0 = 1 + 5 cosx ;3ux (0, t) = 0;ux (3, t) = 0.Çàäà÷à 4.7.ut = a2 uxx x ∈ (0, 2), t > 0;µ¶³π ´3πu|t=0 = 6 cosx + 10 cosx ;44ux (0, t) = 0;u(2, t) = 0.Çàäà÷à 4.8.ut = a2 uxx x ∈ (0, 1),t > 0;u|t=0 = 3 sin (5πx) + 4 sin(7πx);u(0, t) = 0;ux (1, t) = 0.Çàäà÷à 4.9.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1] ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàu|t=0 = 4 sin(2πx) cos(πx).4.4. Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â RM67Çàäà÷à 4.10. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1] ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè êîíöû ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàíû, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàu|t=0 = 2 cos(3πx) cos(πx).Çàäà÷à 4.11. Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 2] ñòåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí,íà ïðàâîì êîíöå ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ,à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàπxπx) cos( ).24Çàäà÷à 4.12.
Íàéäèòå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ñòåðæíå x ∈ [0, 1/2]ñ òåïëîèçîëèðîâàííîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè íà ëåâîì êîíöå ïîääåðu|t=0 = 2 cos(æèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ, ïðàâûé êîíåö ñòåðæíÿ òåïëîèçîëèðîâàí, à íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ðàâíàu|t=0 = 4 sin(3πx) cos(2πx).4.4 Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â RmÏðåäïîëîæèì, ÷òî â Rm ââåäåíà åâêëèäîâà ñòðóêòóðà, A : Rm → Rm ëèíåéíûé îïåðàòîð. Ïóñòü A ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì è íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííûì.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âRm :v 0 (t) = −Av(t) + f (t),v ∈ Rm ;(4.18)(4.19)v(0) = 0.Ïðèìåíèì ìåòîä âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ. Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ áóäåì ðàçûñêèâàòü â òîì æå âèäå, ÷òî ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (4.6), íî ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò âðåìåíèv(t) =mXj=1Cj (t)e−λj t Xj ,(4.20)4.4. Íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå â RM68ãäå Cj (t) íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, λj ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðàA, Xj ñîáñòâåííûå âåêòîðû.Âåêòîð-ôóíêöèþ f (t) òàêæå ðàçëîæèì ïî ñîáñòâåííûì âåêòîðàì:f (t) =mXfj (t)e−λj t Xj ,(4.21)j=1ãäåfj (t) =(f (t), Xj ).kXj k2Ïîäñòàâèì (4.20), (4.21) â óðàâíåíèå è â íà÷àëüíîå óñëîâèå.©Òàê êàê âåêòîð-ôóíêöèè e−λj t Xjªmj=1îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñè-ñòåìó ðåøåíèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (4.1), òî (4.18) ïðèíèìàåò âèämXCj0 (t)e−λj t Xj=j=1mXfj (t)Xj .j=1Ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íà÷àëüíîå óñëîâèå (4.19)mXCj (0)Xj = 0.j=1 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó, êàæäàÿ èç ôóíêöèéCj (t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ÊîøèCj0 (t) = eλj t fj (t);Cj (0) = 0.Îòñþäà íàõîäèì Cj (t):Zteλj τ fj (τ )dτ.Cj (t) =0Îêîí÷àòåëüíî, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (4.18)(4.19) èìååò âèäv(t) =mXCj (t)e−λj t Xj ,j=1ãäå Cj (t) íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (4.22).(4.22)4.5.
Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè694.5 Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü äëÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè×åðåç E m ïî-ïðåæíåìó áóäåì îáîçíà÷àòü åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ âèäà (4.7) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (4.8).Ïóñòü A : E m → E m ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó (4.9).Ðàññìîòðèì íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè íà îêðóæíîñòè:ut = uxx + F (x, t),x ∈ R,t > 0;(4.23)u|t=0 = 0;(4.24)u(x + 2π, t) = u(x, t),(4.25)Ïóñòü ôóíêöèÿ F (x, t) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó E m . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîîíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì âèäàNh0 (t) XF (x, t) =+hk (t) cos(kx) + gk (t) sin(kx).2(4.26)k=1Ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ u(x, t), F (x, t) áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàêôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé t ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå E m :u(x, t) = v(t);v(t) ∈ E m ;F (x, t) = f (t);f (t) ∈ E m .Òîãäà, êàê è â ñëó÷àå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, çàäà÷ó (4.23)(4.25)ìîæíî ñâåñòè ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ïðîñòðàíñòâå E m :v 0 (t) = −Av(t) + f (t),v ∈ Rm ;(4.27)(4.28)v(0) = 0.Åãî ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëàì (4.20),(4.22).Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿâ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ èìååò âèäu(x, t) =mXj=1Cj (t)e−λj t Xj (x).(4.29)4.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
