1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 8
Текст из файла (страница 8)
дг дхв При г — 0 О(х, 0)~0=и(х, 0), прн 0(Г( Т Ф еваС+е ваС о(-+-~., ~)~М г~ с+е- с) ' +' ~Ма~ с По предположению, и(-+-Г., 2)(Маеас. Из принципа максимума нетрудно теперь заключить, что при 0 ( 2 ( Т, — Е ~= х ( Е имеет место неравенство а"~.се ваа и Гх, Г) ~ Ма Геас+ е — ас) ' евам Ева Точно так же доказывается неравенство и(х Г).~ Ма (еас 2 е — ас) е + евам е"с Следовательно, евах ~-Е ав» ( ( а( в (*"(-*-"( — в — а' ева сгл. г ВВОДНАЯ ЧАСТЬ Фиксируем (х, 4), а параметр с'. устремим к оо . Правая часть неравенства стремится при этом к нулю. Значит, )сс(х, с)~(0, а(х, с)=0. Теорема единственности доказана.
На самом деле неравенство ~ и (х, () ) ~ М (4) еа с а ~ может быть еще более ослаблено. Можно допустить еще больший рост п(х, с) с ростом х. Однако существуют достаточно быстро растущие с ростом х решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющие при с=О нулевым начальным данным. К сожалению, в нашем курсе мы не можем останавливаться на разборе соответствующих примеров. Сейчас мы распространим теорему единственности на решения с разрывными начальными данными ф (х).
Лля простоты ограничимся случаем, когда есть только одна точка разрыва 4Р(х), а именно — точка х=О. При этом решение тоже нельзя будет считать непрерывным в точке х=О, 4=0. Во всех остальных точках мы его непрерывность будем предполагать. Если есть два решения п,(х, с), и,(х, с) таких, что при х ~ 0 ис(х, 0)=ср(х), то их разность п(х, с)=и,(х, с) — и,(х, () будет непрерывной функцией всюду, за исключением, быгь может, точки х=О, 4=0. При х~О функция и(х, 0)=0.
Мы докажем, что если и(х, с( ограниченз в окрест- 1=Т ности этой точки и не слишком Рв ' быстро рзстет при ~х~~ со, то а(х, с)=0. Переходим к аккуратной формулировке: Е д Пусть решение н(х, с) урав- да даи Р Р Р Р пения — — = 0 удо влетворя- дг дла Р В ет при 0~(а-. Т неравенству Рг $ се а'Е л' ~ и(» ()! <.-Маса',к~ Рис.
5. непрерывно прн всех х и всех с ) О, за исключением, быть может, тоти х=О, г=О. Пусть и(х, 0)=О,если х ~ О. При этих предпвложеннях.и(х, с) =О для 0((а- Т. Л од а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию аааа с е-ааа Е 444+а> п(х, с)=Ма(е с+е с) + е4 н+ 2Ма )/з. еааь р С+6 Она состоит из двух слзгаемых, первое из которых еааа +а-ааа М* (е'с- + е с) е4ач е 39 уРАВнение теплопРОВОдности нам уже встречзлось. Оно удовлетворяет уравнению теплопроводности. Легко убедиться, что и второе слагаемое при любом е»0 также удовлетворяет этому уравнению.
Мы не будем проводить вычислений, это доказываюших. Рассмотрим облзсть Р,Р,Ра... Р, изображенную на рис. б. Всюду'на «двойной» границе (она нарисована двойной линией) е(х, 4)»0. Это очевиДно. На [Ре Ре) [Ре Ре[ е(~(., Ф))Ме. Мы уже проверяли, что такому неравенству удовлетворяет первое слагаемое. Второе слагаемое может это неравенство только усилить.
Покажем, что на РеР,Р,Р, также е (х, г) ) Ме. Достаточно убедиться в том, что на этом контуре второе слагаемое больше, чем Ме. Очевидно, что при а~С)0, [х[ с 2е верны неравенства: у'а у'е 1 г'Т+е 'г' а+е )'2 ' к' (Зе)е 1 Е 4(Е+е) )Е 4(О+ ) = а е ) ~'2 (последнее при е достаточно малом), 4 ((+ е) 2М" )/в ) 2М" ° = ° — =Ма, )гт+а 'У2 )е2 Итак, всюду на Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р,Р, е(х, г) и(х, г), и)(х, г)=е(х, г) — и(х, г)) О. дв дев Равность и) также удовлетворяет уравнению — — —,=0 и, следовадке тельно, .для нее справедлив принцип максимума.
Из э гого принципа вытекаЕт, что всюДУ внУтРи замкнУтого кОнтУРа РтР»РеР«РеЫЫРаР) также и)(х, г)=е(х, г) — и(х, г))0. Для доказательства. достаточно область, ограниченную этим контуром, разрезать отрезками [к= в, — Е а--. ( х ~ — 2е), [г = в, 2е х ( Ц на три прямоугольника ОРзРаР«( РеР«РЯ; РЯЯР„как это показано на рис. б, а затем, последовательно, воспользоваться для каждого из них принципом максимума. Итак, при — Ь(х =Ь, з» С~ Т имеем неравенство ке е»ек+е еек 4 (С+к) и(х, г) ( М*(вес+ а ес) + е4«е(+ 2МВ )' е =е(х, С). у'(+а Аналогичным рассуждением получаем — и(х, О(е(х, г) )гл. г 40 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ н, следовательно, а' езах ) „-зах е 444+«) )и(х, Т))(А4а(е'с+е аь) е"а" +2Ма р'е Фиксируя точку (х, Т) и устремляя Ь к бесконечности, а в к нулю, приходим к утверждению ~ и (х, й) ~ ( О, и(х, Т)=0.
Доказательство этим завершено. Можно было бы доказать, не привлекая никаких новых идей, подобную теорему единственности в случае, если допускать у решения и(х, 1) при Т=О не одну точку разрыва, а любое конечное нх число. Более того, можно предположить, что нх бесконечное число, но расстояние между двумя соседними точками разрыва ограничено снизу. 3 а д а ч а. Докажите, что ограниченное решение уравнения теплопроводди дзи ности — — =О, непрерывное всюду впрямоугольннке А (х(В, 0(т(Т, д» дхз кроме, быть может, угловых точек (х=А, «=О), (х В, 4=0), однозначно определяегся вачальнымн н граничными условиями и(х, 0)=ф(х), и (А, О=фа(0, и(В, г)=фв(г).
мы здесь уже не предполагаем начальные н граничные условия «согласованнымв» в углах. На этом мы заканчиваем доказательство теорем единственности н в следующем параграфе перейдем к теореме существования решения. $4. Уравнение теплопроводности (продолжение) Формула Пуассона для уравнения теплопроводноств в ее.обоснозанне. Решение с помощью интеграла Пуассона простейшей задача для уравнения теплопроводностн на конечном отрезке. Нестрогая эвристический вывод интегральной формулы для решения уравнения тзплопроводностн. Примеры частных решений линейного в нелинейного уравнений теплопрозодностя. Покажем, что решение зздачн 1 нз $3 дается формулой +«а ы — ы» и(х, й)= ~ ~ е ' 4$. Если мы дадим ее обоснование, то тем самым н докажем теорему существования. Кзк можно придумать эту формулу (она называется интегралом Пуассона для уравнения теллопроводности), мы сейчас объяснять не будем. Это объяснение будет дано позднее.
Л сейчас проведем аккуратное исследование формулы Пуассона, не интересуясь тем, как она была получена. Итак, мы приступаем к исследованию функции и(х, Т). а 4! тглвнвнне твплопооводности (пводолжинии! 41 Свойство 1. ЕсЛи (ф(й)~(Ме !41, то инпаеграл (1) сходится, а функция и(х, 1) удовлетворяет неравенству !и(х, 1))(2Ме'*геа!"!. 1 а Меа!$! 1« а! 2Рп ~ $~1 1 Меа! !+а!ч — «! + ое Меа!«! +ее а!$ — «! — / ! 2~еат'е 23/и + «о Ме Меа!х Š— Ч +а!Ч!а~ Р 4(т)— = =У= (х а!е е н щ— а — х! !я а тР ! 4((с — х) 2 3lТ + ео 2 1 е ч'+ач' ! 4 414)та а Яаа!'х!, е) - я 2Яеа геа!х! оо + ео 2е е4 )", е-(ч-ат'1)'Ыт)( ' ' ~ е-РИ~ 2Меаее еа ! х ! ~/ и 2Меаме !«! рп Свойство 1 тем самым доказано.
Свойство 2. 17ри ()О функция и(х, () бесконечно дифференцируема, а ее производные могут быта вычислены при помощи следующего сходящегося интеграла: дт+«и (х 0 1 дтеа дхтд(а ' 2 )' 44 Д ' дхтдФх РГФ !ч)ы опять предполагаем, что !ф(5))(Меа!1!. Докав атель ство. Легко убедиться в том, что дхтд(а Ь Р'Т З ~ ~~1 степень Г яойечяая (х — 1!ч = ф (с) Р ($, х, () е Выберем некоторый произвольный интервал времени 0((а ((((, и отрезок — хо = х ( хо оси х. Докззательство вытекает из следующей цепочки неравенств и равенств: 42 (гл.
( вводная часть ЛлЯ точек (х, !) из области !о =а(ав — х, =х(хо выРажение для Р(г, х, !) можег быть оценено так: (Р(й, х, г) (( сопя!($)и(сопя(е'1). (Через р мы обозначили наивысшую степень (х — й), входящую в выражение для Р(й, х, !).) Следовательно, мы можем написать (ф(й)Р(й, х, !)!<=Л((хо !о !))е(о+(»а' Из этого неравенства вытекает, что интеграл + СО (х — ар1 ! да ох — ф($) — ~ — е 4( ~ с$= 2 2Рп Д дх'"д(и ~ )(Т ОЪ (х а)о — ф(й) Р(й, х, !) е 4( ((й 2Рй равномерно сходится для — хо(х(+хо, !4(!((м По известной теореме анализа о дифференцировании несобственных интегралов по параметру отсюда вытекает сйраведливость равенства + са ~- (х 1Н1 дхмд(о 2Уп,) дх д(и 1'Т вЂ” ОЪ В силу произвольности х„!о, !) это равенство верно во всех внутренних точкак верхней полуплоскости !)О.
Свойство 2 докззано. Свойство 3. Функция и(х, !) удовлетворяет при 1~0 уравди дои нению — — — = О. д( дхо )(оказательство. По свойству 2 ди дои 1 ( ('д до ') 1 + оз (х — вн1 — — а) ~~(' — — — ') =. д( дх' 2Уп,) ~(, д( дхо) )(7 Остается лишь проверить прямым дифференцированием равенство (х $)» Этой проверкой и завершается доказательство свойства 3. Функцию ф(в), удовлетворяющую неравенству ~ ф(ь)/~Меч(а), мы будем предполагать кусочно непрерывной. Сейчас будет доказано Свойство 4. Если фД) непрерывна в точке х„то функция п(х, !) непрерывна е точке (хо, О), прп этол 1нп и(х, !)=ф(хо).
(-о К х, зп уРАВнение теплопговодностн гпРОдолженне) 43 Для доказательства сделаем замену в интеграле Пуассона, положив Тогда и(х, 1)== ~ е-с*ф(к+2~)ГВ)с(~. Этот интеграл $ — к 2)' Г сходится рзвномерно относительно х и ! для ограниченных значений этих переменных. Действительно, для (х)(Й, Он=!<1, подынтегральНая фуНКцИя ИМЕЕТ ИятЕГрИруЕМуЮ Мажараиту МЕ-р Нья+З»УГ» !Ь1. Далее, на любом ограниченном отрезке ! ь! <М подынтегральная функция стремится при х-ьхь, 1-ьО к функции е ь'ф(хь) равномерно относительно ь. Это свойство вытекзет из непрерывности функции ф(х) в точке х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
