1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Разностные методы решемия дифференциальных уравнений .. Задача Дирнхле для уравнения Лапласа в прямоугольнике $34. Разностное уравнение, которому удовлетворяет точное решение, Приближен. нос ревностное уравнение. Мажорен»и и неравенства для решения разиост. ного уравнения пуассона. Разрешимость разностной системы. Оценка погрешности. б 29 Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений ОГЛАВЛЕНИЕ 364 мыми переменными . Схема, которзн раисе использовалась нами для доказательства теоремы существования, изучается примерно так же, как в прошлом парагра4ю изучалась тл азнастное уравнение Лапласа.
Необходимость неравенства — щ Н Сравнеа ние областей влияния разиостнаго и дифференциального уравнений и вытекающее иэ этого сравненвя необходимое условие сходимости. Пример, показывающий, что эта условие не является достаточным. Негибкая схема, решения которой могут при уменьшении шагов сходиться к решениям различных урав. пений. 375 Неявные разиостиые схемы Лемма о разрешимости системы уравнений с трехдиагональной матрицей.
Неявная разнастная схема дла гиперболического уравнения и оценка ее решений. Исследование сходимости. Явная н неявная схемы для уравнения теплопроводвостн. Описание метода прогонки для решения разностиых уравнений. возникающих в простейших неявнык схемах. Аппроксимация и устойчивость Схематизация проводившихся исследований погрешности ревностных решений.
Понятна аппроксимации и устойчивости. Из аппроксимация и устойчивости дя дн следует схалимость. Пример разяостной схемы для уравнения — + — л = А которую чдабнее считать аппроксимирующей не это уравнение, з следствие из него. Разбор на примере той же схемы нетривиальности понятия аппроксимации в граничнык тачках. 9 37 394 $ 38. Метод прогонки Хорошо обусловленные системы уравнений, возникающие нз ревностных схем. Разрешимость и хорошая обусловленность систем с олнзкими коэффициентами. Получение оценок прогоночных коэффициентов для хорошо ооуслов.
ленных систем. Этн оценки выполнены как для исходной системм, так и для всех к ней близких. Неравенство нулю знаменателя в прогоначных формулах. Схема реального вычислительного процесса. Сведзние его к точному решению близкой системы. Ошибка результата зависнт от максимума ошибок на квж. дом из шагов вычислений, но ие зависит от числа шагов.
403 9 39. Нтерайионные процессы решения задачи Дирихле Формальная схема. Сведение вопроса о сходимоств.к случаю нулевых граничных условий. Специальный оргонормировзнный базис в пространстве сеточных фуикднй, равных «улю на границе. Аналогия с процессом выравнивания температур и ее испальзованив для «придуммваиия» нтерациаиимх процессов решен ешения раэнастнога уравнения Лапласа. Выбор параметра т для простейшего нтерзциайного процесса. Оценка работы, нужной дли того, чтобы уменьшить, погрешность в заданное число рвз. Процесс Дугласе — Рэкфа да, испольую ий расщепление итерационного оператора на одномерные.
циклическое изменение параметров. Леммы о цроизведенни собственных значений и цея а ка скорости схццимостн. 9 33. Разностная схема для гиперболической системы с двумя независи- ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга написана по материалу курса лекций, которые я читал в течение трех лет студентам. механикам Московского Университета и читаю уже третий раз в Новосибирском Университете.
Выбор вопросов, на примере которых разбираются постановки задач в теории уравнений с частными производными, связан с тем, что я много занимался приложениями уравнений к механике сплошных сред и Разработкой численных методов для решения этих уравнений. Мне кажется, что вызванная этим направленность курса будет полезна студентам, специализирующимся в указанных областях. Некоторые разделы курса навеяны сравнительно новыми работами. Так, изложение теории смешанных задач у гиперболических систем на плоскости основано на работе И. М.
Гельфанда и К. И. Бабенко об общем виде интеграла энергии. Теория метода Фурье излагается под впечатлением от работ К. В. Брушлинского, Л. А. Дикого и Кейза, связанных с изучением устойчивости гидродинамических течений. Один параграф посвящен некорректным задачам и следует работе М. М. Лаврентьева. При его подготовке я пользовался консультациями А.
Н. Тихонова. В 1952 году я присутствовал прн изобретении И.М. Гельфандом метода прогонки для решения разностных уравнений. Посвященный. этому методу параграф воспроизводит обоснование, предложенное в недавней работе В. В. Огневой. Книга заканчивается изложением работы 19бб года Дугласа — Рэкфорда о решении разностного уравнения Лапласа. Мне хотелось отобрать материал, который к настоящему времени стал уже классическим у специалистов, хотя, может быть, еще не слишком часто встречается в учебниках и монографиях, доступных широкому кругу механиков или физиков, Материал первой главы этой книги (вводная часть) по существу представляет собой законченный краткий обзор предмета, который, как мне кажется, может быть положен в основу сокрашенногр курса урав- пяндисловнн нвний математической физики для инженерно-технических вузов или для пединститутов.
Вероятно, такой курс полезно дополнить еше материалом последней главы, посвященной разностным методам решения дифференциальных уравнений. Я чрезвычайно признателен кафедре дифференциальных уравнений Московского Университета и ее руководителю И. Г. Петровскому за приглашение прочесть этот курс и за предоставленную свободу в выборе программы. Редактор книги А. М. Ильин оказал мне неоценимую помощь в работе по составлению текста из лекционных конспектов. Его вмешательство привело не только к некоторому удачному изменению, плана курса, но и к существенному улучшению изложения материала.
Ряд доказательств был им заменен на более простые и более наглядные. Я должен также поблагодарить Т. А. Годунову за помощь в тяжелой работе по оформлению конспектов лекций и окончательного текста. С. К Годунов l Глава г ЗВАНАЯ ЧАСТЬ В 1. Ньютоновский потенциал Курс уравнений с частными производными сушественно отличается от курса обыкновенных дифференциальных уравнений тем, что в этом курсе будут изучаться далеко не все уравнения, которые можно выпид д д да сать, используя значки —, —, — ... — и т. и.
Мы ограничимся только дх' дя' дГ ' ' '' дхдГЯ совсем немногочисленными конкретными примерами уравнений и систем: ди ди д'и дай ди дьл даи — + — =О, — + — =О, — — +— дт дх ' дха дра ' дт дха дда' д — д— — — О, дх др да да Д вЂ” „+д— .=' < др „ди дт дх — +р с," — =О. Иногда будут рассматриваться также некоторые не слишком широкие их обобшения. Как правило, примеры, нз изучении которых мы будем останавливаться, возникают в задачах математической физики, чаше всего — в области механики сплошных сред.
Именно этим и объясняется название курса «Уравнения математической физикиж Не. надо думать„что изучаемые нами примеры случайны с точки зРения математической теории. Изучение уравнений математической физики пРивело к тому, что появилась классификация постановок задач, согласно которой выбранные нами уравнения и системы являются типичными представителями наиболее важных классов. Оказалось, что для уравнений, отличаюшихся друг от друга на первый взгляд совсем несущественно, естественными будут совсем разные задачи.
В качестве примера укажем на уравнения дяи дяи . даи дал — + — =О и — - — — =О дка ' два дха дра Несколько предварительных замечаний о характере уравнений, которые будут изучаться в курсе. Исторические замечаяия о работах Лапласа, приведших его к уравнению для потенциала тяготения. Потенциал непрерывного распределения масс (иля зарядов). Его непрерывность и непрерывная дяфференцируемость. Потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Убывание потенциала на бескенечности. вводная часть так похожие по записи, но принципиально отличные по свойствам.
Во вводной части курса мы рассмотрим примеры некоторых важйых задач, для которых решения удается выписать с помощью явных формул. При этом мы, во-первых, приобретем некоторую ориентировку в вопросах, которые будем потом изучать, а, во-вторых, заготовим элементы аппарата, нужного нам для построения теории. Первым уравнением, на котором мы остановимся, будет так называемое уравнение Лапласа д«и д«и д«и — + — + — =0 дка дик да« и, чуть-чуть более общее, уравнение Пуассона даи д«и дки —,.+ —,,+щ=У( .
у, ). Я сейчас расскажу, как в математической физике появилось уравнение Лапласа. Его появление на свет вызвано совсем нетривиальным ходом развития естественнонаучных идей. Неожиданный поворот мыслей Лапласа предопределил, как мне кажется, ряд важных соображений, следствием которых явились уравнения Максвелла для электромагнитного поля и, в настоящее время, уравнения полей, связанных с элементарными частицами.
Как известно, Кеплер, обрабатывая наблюдения Тихо Браге над движением планет, установил следующие три удивительных закона: 1, Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. 2, Радиус-вектор от Солнца до планеты заметает равные плошади в равные интервалы времени. 3. Квадраты времен обращения двух планет пропорциональны кубам больших полуосей их орбит. Законы этн, хотя и красивые, но довольно сложные. В дальнейшем Ньютон нашел для этих законов более простое, хотя и не менее удивительное, выражение, называемое ззконом всемирного тяготения: «Между любыми двумя телами действует силз притяжения, прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ннмиж Законы Кеплера, закон Ньютона и связь между ними подробно изучаются в курсе механики, Поэтому я ограничиваюсь только беглым напоминзнием.
Удивительно, конечно, как два тела, находящиеся на колоссальном расстоянии друг от друга, могут действовать одно на другое. Это дальнодействие всегда кззалось очень удивительным и попытка преодолеть его, по-видимому, и привела Лапласа к следующему истолкованию, Наличие какого-либо притягивающего тела влечет за собой возникновение во всем пространстве некоторой субстанции, интенсивность и ньютоновским потзнцнлл в и орой в точке (х, у, «) вычисляется по формуле м и — у р (х — хв)'+(у — у )'+(г — гв)' Как известно, функция и назывзется потенциалом векторного поля (р„, Рх, Р,).
В случае, если притягивающих тел несколько (тело массы М! располагается в точке (хь уь «!)), то силу можно вычислять по тем же'формулам, если взять в качестве потенциала функцию М! и=у 'г' (х — хДв+(у — у!)в+ (г — г;)в Лаплас предложил пользоваться при изучении тяготения не самой функцией и, а тем дифференциальным уравнением, которому эта функция удовлетворяет. Это уравнение может быть получено следующим образом. Рассмотрим сначала только одно слагаемое в формуле для функции и, М! и! — 7 ~'(х — хДв+ (у — уДв+(г — гДв и вычислим его производные.
)хля упрощения записи обозначим расстояние между точками (х, у, «) и (Хь уь «Д посредством г= = Ф''(х — х!)в+(у — у!)в+(« — «в)в и заметим, что дг х — х! х — х; дх У(х — х;)'+О( — уДв+(г — г;)в г дг у — у! дг г-г; ду г ' дг г Таким образом, производные ди; х — х! ди! у — у! Продифференцируем их еще раз: ди; 2 — г! — = — ТМ!— дг д'и, à — =ТМ! ~ — — + дхв ( гв дви! Г ! — =ТМ; !( — — + дув '( гв дви; Г ! — '=ТМ ~ — -- + дгв '~ гв 3 (у гв з' "'1.
гв Эдесь у — некоторая постоянная, х,, Ув, «в — координаты притягивающего тела, М вЂ” его масса. Чтобы вычислить компоненты Рх, Рх, гчв илы тяготения, действующей на тело единичной массы, расположенное в точке с координатами х, у, «, надо положить ди ди ди дх' Х ду' в дг' ВВоднАя чАсть (гл, г Складывая эти три частные производные, получаем дги; дги, даи. — '+ — + — '' =О. дха дуг дг' Очевидно, что отсюдз и из того, что и=~~~~иь вытекает равенство дси ди ди — + — + — =О, дх» дуг дг» которое и называется уравнением Лапласа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
