1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Иными словами, л(0) конечно, дс(0)=0. Ясно, что для этого М должно быть равно О. Итак, мы получили для дЯ) !гл. ! ВВОДНАЯ ЧАСТЬ линейное уравнение Кй а)+ —,' СЗа<Р=О, которое без труда интегрируется разделением переменных: ,~д С я 2К вЂ” -= — — 3 а%, С уф)=Ае Для и(х, 1) мы приходим к формуле С «' игх, !)==е 4К ! ~Т Постоянную А определим из условия, в силу которого полное количество тепла нам задано, + СО +сО С вЂ” = '» и(х, 1)с2х=А» е »к ' И== С 5,) р'! — СО СО + СО = е ч »24)= )сс А 2)сК г, А 2)«К )'С ) УС Отсюда А=С!/(2 1с КСат) и, следовательно, Сх' игх !) е 4К! 2)!КСи!- Непосредственным дифференцированием можно убедиться, что заданная этой формулой функция и(х, !) удовлетворяет уравнению теплопроводности, а качественное ее исследование показывает, что при 1-» О и (х, 1) -О О прн любом фиксированном х ф О.
С другой стороны, + СО и(х, !)Ссх не зависит от ! и рзвен.—. Таким образом, можно счи- 'С ' тать, что построенное изми решение удовлетворяет поставленным условиям. Ясно, что сумма решений С 4« — «О! ~! е 4К! 2)С КСп! тоже будет решением, отвечающим выделению при Т=О энергий в точках х=х!. 4 41 уРАВнение теплопРОВОдности (пРОдолжение) 51 Если в момент 1= О нам задано начальное распределение температуры и(х, О)=(Р(х), то его можно аппроксимирояать выделением энергий (р(хс)Лхс в точках хс(Ьхс — интервал достаточно мелкого разбиения оси х, содержащий точку хс). Соответствующее решение будет аппроксимироваться суммой с (к — кс)а ~,~ 2)сКСп( Если теперь формально перейти к пределу при Лхс -» О, получится интегральная формула + со С (к — ам и(х с)= ч(а) е 4кс с(Я и(х, 1)= ~ е с(, 2 )ГКСПС законность которой была продемонстрирована ранее.
Там, правда, мы для простоты считали, что К=С=1. В заключение рассмотрим один интересный класс решений уравнения теплопроводности. Это — решения, имеющие вид бегущей волны стационарной формы, распрострзняющейся с постоянной скоростью: и=,с (х — те(). Подставим эту формулу в уравнение и и получим для с($) обыкновенное дифференцизльное уравнение — СтеУ' = (КУ')'. Рис. 9. Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами может быть без труда проинтегрировано Сск у(й)= А+Ве Юо и(х, 1)=А+Ве График этого решения в некоторый фиксированный момент времени имеет вид, изображенный на рис. 9. Постоянная А представляет собой температуру среды «на бесконечности», т.
е. там, куда тепло еше не дошло. Решениями такого вида описывается, например, прогрев веществз, по которому со скоростью мс рзспространяется вправо детонационная волна, где реакция поддерживает постоянную температуру У(х — те') ~к-'~с а=из Сгл. с ВВоднАя чАсть (х=тэС вЂ уравнен движения детонацнонной волны). Температуру на бесконечности обозначим и . Определив постоянные А, В, мы получим следую(цую формулу для температуры в аоне прогрева: св — — (к-в(1 и(х, С)=и„+(ио — и ) е Из формулы видно, что толшина эоны прогрева тем меньше, чем больше скорость тэ.
Это понятно: тепло не успевает далеко распространиться от источника нагрева за то время, пока источник (детонационная волна) его не догонит. Интересно, что получение решений вида и= г(х — твС) может быть сведено к квадратурам даже в случае нелинейного уравнения теплопроводности Прн этом мы получаем для с обыкновенное урзвнение — и([ЕЩ =[К(У)У'[ которое можно один раз проинтегрироватся тоЕ([) +К(с) с'=А=сопя(.
Полученное уравнение первого порядка интегрируется так: (ф= КО) дС А — вЕ(С) (5 = х — и(С). Рааберем в качестве примера уравнение вида дт дх 1 дхС' (2) К такого рода уравнениям приводятся уравнения фильтрации жидкости в пористых средах (т=1) и уравнения лучистой теплопроводности в средах, нагретых до температуры звезд,,т. е. до температур порядка десятков миллионов градусов.
Положим постоянную интегрирования А равной нулю. Мы будем иметь (Сэ = — — ((с, вС У = — яства — $0) ~ф=Э( — лстс($ (положили $а=О), п(*, ((-Р ( ( — ( График этого решения для некоторого фиксированного С и для таких х, что и(С вЂ” х)0, изображен на рис. 10. Таким образом, функция и(, ((- (( — ( р — ((к 0 при х — таС~ 0 а 41 РРАвнение теплопРОВОдностн (пРОдолжение) 33 является гладкой функцией и удовлетворяет нашему уравнению всюду, кроме прямой х=гвг.
На этой прямой и,(х, 1) не имеет даже первых производных (при л)=1 есть односторонние производные справа и слева, но они различны). Как мы уже отмечали, для правильного описания физического процесса важно не столько выполнение дифференциального уравнения тепло- ди проводности, сколько выполнение соотношения )~) Си бх+К вЂ” й=О дх по любому кусочно гладкому контуру. Для нашего уравнения это равенство имеет вид и)(х+и" — 4(г=О. (3) дх При выводе уравнения теплопроводности именно подобное соотношение и бралось за основу, так как оно выражает закон сохранения энергии. Нетрудно проверить, что для х- и)4 х гладких функций выполнение соотношения Рис. !О.
(3) для любого кусочно гладкого контура и справедливость уравнения (2) эквивалентны (это следует из формулы ' Грина, примененной к интегралу (3)). Однако для функций, имеющих где-либо разрывы или разрывы производных, более естественно за определение решения брать равенство (3). Такие функции называются обобщенными решениями урзвнения (2), и мы остановимся подробнее на этом важном понятии и на его ,ф строгой математической постановр ке позднее, на примере гиперболических уравнений.
е е А пока проверим выполнение равенства (3) для функции иа (х, 1). ,ф ф Ограничимся лишь контуром Р, Р,Р,РаР„показанным на рис. 11. А С р Проверка равенства по любому и другому кусочно гладкому кон- туру проводится таким же обраРяс. 11. зом с небольшими техническими усложнениями. Интеграл по контуру РдРяРаР4Р) ааменим на сумму трех интегралов: по контУРУ Р,АВР,Р„по контУРУ АС4)ВА и по контУРУ СРяРаРС.
Интеграл по первому контуру по интегральной формуле Грина равен двойному интегралу дт +д ( 4 дх)'1Ы™ Р,ЛВР, Интеграл берется по параллелограмму Р,АВР4 и равен нулю, так как ит(х, г) удовлетворяет уравнению (2). Так же проверяется, что равен 34 !гл. ! ВВОднАя чАсть нулю и интеграл по третьему контуру (в нашем конкретном случае это еше проще: нд(х, ~)ыО при х)а!1). К интегралу по контуру АСОВА нельзя применять формулу Грина, так как внутри этого контура на линии х=аг производные решения терпят разрыв. Вычислим этот интегрзл непосредственно, точнее, оценим его при в-ьО: пт !ах+ и, — 1 Ш = О, дх о так как и,=О вблизи СО, ! , а~- ~1,а.!-е —,„Ю(~ „ дя! Г !» ди! лс ов ~~ ~ итг(х ~+~ ~ и,г(х (2(та!)" е е —,— е 0 и, наконец, А ! и, Ых+ и," д ' Ж (» ~ и, — „"- ~й+ и, — еК= 1, к в! — е 1, !к=э! — е 1 1 — — — 1 = ( (та!В)е а! !Ы+ тел!з (та!) м — вм !а = 1 1, 1 1 1 = 2т "' том (ге — тт) е -~0 при е-» О.
Таким образом, интеграл по контуру АСОВА, а следовзтельно', и равный ему интеграл по контуру Р,Р,Р,Р,Р1 стремится к нулю при е-ьО. Так как последний интеграл от з не зави- 1 сит, равенство (3) доказано. Чтобы показагь, какие подводные камни могут встретиться при рассмотрении негладких решений, рассмотрим функцию 1 п,(х 1) х" +' при х~~ О, 0 при х(0, внешне очень похожую на рассмптренную функцию Ряс. !2. и,(х, г), Легко проверить, что она также удовлетворяет уравнению (2) всюду, кроме оси х=О. Тем не менее функция и, уже не будет обобщенным решением ',-;. этого уравнения — она не удовлетворяет соотношению (3) )Аля того чтобы убедиться в этом, возьмем контур АВСВА, изображенный на рис. 12.
бб интегралы по АВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Интегрзл по АВ равен нулю. Легко видеть, что и по СО стремятся к нулю при е-с.О, но с с, Ф = пзЫх+гсэ — ис1= ~ и, — лЖ= дх и с, Р$ 1 (и ! ! ш 1 1 Сэ =1!а — 11) еш+ ' — в'"+1 = — '' -АО при в-ьО я+1 ' =и! ! Физически рзссмзтриваемое решение па(х, 1) описывает распределение температур при наличии в точке х=О оттока тепла постоянной мощности. На этом мы заканчиваем краткий обзор основных фактов, связанных с уравнением теплопроводности. 9 6. Гиперболические уравнения Простейшие примеры гиперболических уравнений с частными производными: ди ди — + — =О, уравнения для звуковых и электромагнитных волн. Задача Коши дг дх для этих уравнений и ее решение с помощью характеристик.
Гиперболическое уравнение второго порядка. Формула Даламбера. Интеграл энергии для звуковых волн. Доказательство единственности решения, основанное на использовании интеграла энергии. Интеграл энергии для одномерных уравнений Максвелла. Схема вывода уравнений Максвелла. Здесь мы продолжим рассмотрение таких примеров. Остановимся сначала на простейшем из уравнений с частными производными, а именно на уравнении ди ди — + — =О, дг дх Чтобы получить формулу его обще го решения, проделаем следующее построение, известное из курса обык- Рис. !3. новенных дифференциальных уравнений.
Нарисуем на плоскости 1х, 1) прямые линии, вдоль которых — = 1 с;сх дг !рис. 13). Уравнение каждой из таких прямых может быть представлено а виде х — 1=сопя!. Только 'постоянная (сопя!) будет для каждой из этих прямых своя. Значения постоянных как бы нумеруют эти прямые. Мы будем говорить, что постоянная с в уравнении х — 1= с является 'номером» прял!ой нашего семейства, задаваемой этим уравнением. В предыдущих параграфах мы уже ознакомились с некоторыми типичными примерами задач, которые математическая физика ставит в терминах уравнений с частными производными. 1гл, г бб вводная часть Рассмотрим какую-либо функцию и(х, г) и вычислим ее производную — вдоль нашей прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
