1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 14
Текст из файла (страница 14)
$1) следует, что д»А„д»А» д»А» х+ х ),» дхг дуг дг» д»АУ д'А д'А У+ У+ У 4 ) дх» ду' дгг д»А д'А, д»А — '+ — '+ — '= — 4П/». дхг ду» дгг Формальным дифференцированием интегралов, представляющих А, можно получить следующие формулы: (8) Законность этого дифференцирования обосновывается точно так же, как в й ! были обоснованы правила вычисления первых производных от ньютоновского потенциала. Из .равенств (8) вытекает, что дНх дНУ дН» — + — У+ — = О. дх ду дг 74 ВВоднАя ЧАсть ггл. ! Так получается одно из уравнений, которым подчиняется напряженность магнитного поля, ххифференцируя первое из уравнений (7) по х, второе по у, третье пб г и складывая, мы получаем, используя равенство Йчу= О.
Таким образом устанавливается, что дАк дАо дАк + + дх ду дг является гзрмонической функцией во всем пространстве. Из интегральдАк дАу дАк ных формул для производных †", †' — можно установить, что дх' дя ' дг эти производные, а следовательно, и их сумма стремятся к нулю при ха+у'+го — ьос. Мы уже показывали, что гармоническзя функция, определенная во всем пространстве и убывающая на бесконечности, тождественно равна нулю дАк дАу дАк — + + — =О. дх ду дг После этих подготовительных замечаний мы можем перейти к получению остальных уравнений магнитостатикн: го1 гт = —,р'. хо Это векторное уравнение состоит из трех скалярных.
Мы убедимся в справедливости только одного из них дН дН, 4п — — + — = — /; дг дя со Остальные проверяются аналогична Подставив вместо О, Н, их выражения через компоненты А, получим 7б гнпввволнчвскнв увлвниння Теперь мы можем подвести итог и выписать полную сводку уравнений, которым подчиняется стзционарное электромзгнитное поле: дЕ» дЕу дЕ» 4пу — + — «+ — = —, дх ду дг е ' дЕ дŠ— — — У=О, ду дг дЕх дЕ» дЕу дЕ» дг дх ' дх ду .
дН» дН« 4п дНх дН» 4п — — — lх — — — '= — Уу ду дг се ' дг дх с, дНу дН» 4п ° дНх дНу дН» — ' — — "= — у„— х+ — У+ — '= О. дх ду се ' дх ду дг Заметим еще, что ток / стоящий в правой части трех уравнений, предполагается здесь удовлетворяющим условию д7 д1« д/ дх ду дг — + —."+ — = О.
Теперь кратко остановимся на получении уравнений для нестационзрного электромагнитного поля. Экспериментальной основой для нях послужил закон индукции Фарадея, выведенный им из опытов в 1831 году. Фарадей заметил, что при изменении магнитного поля в проводнике, помещенном в это поле, появляется электрический ток.
Лругими словзми, при изменении магнитного поля интеграл по замкнутому контуру, вдоль которого можно расположить проводник, $ Ех Ех+ Еу с1у + Е, Ыг ф О и тем больше, чем больше скорость изменения магнитного поля. Равенство $ Ех г7х+ Е гну+ Е, г7г = О для стационарного поля является следствием уравнений дЕ, дЕу дЕ».
дЕ, дЕу дЕ, Поэтому естественно, что в нестационзрном поле вместо нулей в правые части должны быть поставлены члены, пропорциональные дН „дН« дН дг ' д1 ' дг ' ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ~гл. г Точная дифференциальная форма закона фарадея оказалась следуюшей: дЕ» дЕу — ' — — '+- ду дг со дЕ» дЕ, и дН» — =О, дН вЂ” О дг дх со дг дЕу дЕк р дН» — — Π— — — + дх ду со дГ (Постоянная р называется магнитной проницаемостью среды.) Эта формулировка принадлежит Максвеллу.
Теперь, кззалось бы, получена полная система уравнений, описываюШая нестационарное электромагнитное поле. Вот она: дЕк дЕ» дЕ» 4п дЕ» дЕу го дНк — + — У+ — = — р, — — — +- — =О, дх ду дг е ' ду дг со де дЕ» дЕ, р дНу дЕу дЕ» й дН, —" — — + — —."=О, — У вЂ” — + — — =О, дг дх со дг ' дх ду с, дг дН» дНу дН» дН» дНу 4п — + — '+ — '=О, — ' — — '= — )„, дх ду дг ' ду дг со к' дН» дН» 4п дНу дНк 4п —" — '= — / — ' — — = — !' дг дх со У' дх ду с — +="+ — =О, дгу д)» дх ду дг которое естественно в стационарном случае, не может быть принято в случае нестационарном.
В этом последнем случае естественно связать с дивергенцией тока скорость изменения зарядов по времени равенством др д! д)у д/, — -~ — + — У+ — =О. де дх ду дг Однако это невозможно, так как из последних трех уравнений системы вытекает равенство д!к д!» д/» дх ду дг У+ — О, (Для проверки надо первое из этих трех последних уравнений продифференцировать по х, второе по у, третье по г и результаты сложить.) Для того чтобы исправить это положение, Максвелл чисто умозрительно предложил ввести в правые части трех последних уравнениИ Однзко Максвелл, выписав эту систему уравнений, заметил ее важный дефект.
Дело в том, что требовзние на ток ХАРАКТЕРИСТИКИ 4 а! го1 Е= — — —, и ан сэ д!' 6!ч Е= — р, 4п го! Н= — ~4л/+ е — ). 1/ ае! се ~ д!)' РВ Н=О, Выше мы рассматривали частный случай уравнений плоских волн в среде без зарядов и токов !р=О, у=О), В этом случае Е„=О, Н„=О, а все остальные компоненгы зависят лишь от к и Е В 6. Характеристики Определение характеристик для общей системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Соотношения на характеристиках. Комплексные характеристики уравнений Коши — Римана.
Определение характеристик в случае большего числа независимых переменных. Определение Г-гиперболической системы первого порядка. Симметрические Нгиперболические системы первого порядка. Пример — уравнения для звуковых волн. Инвариантность понятия характеристик относительно невырожденных преобразований искомых функций и замены уравнений эквивалентными линейными комбинациями. Конус характеристических нормалей. Определение характеристик для одного уравнения второго порядка. Постановка задачи Коши для такого уравнения. Примеры. Определение эллиптической системы и эллиптического уравнения. Примеры, разобранные в предыдущем параграфе, подвели нас к понятию характеристик, хотя определения этого понягня мы и не давали.
Этот параграф мы посвятим характеристикам, описав соображения, приводящие к этому понятию в трех типичных случаях. Понятие характеристик для уравнений и систем более общего вида по существу ничем не отличается от разбираемых ниже примеров. дополнительные слагаемые: ан, ан, ае„! У= — ~4л/„+в "), дНх дНа 1 / дЕу — '= — ~4л/ +в —." !, аа .дх се т У д!/' дН„ дн ! ( дЕ ! ~4л/,+е — '~. а др;~ ' ат~' дЕ Этн дополнительные слагаемые е — называются теперыпокахги слгещенид. дГ Так в 1865 г.
была получена система уравнений Максвелла. Макс- веллу же принадлежит отождествление света с электромагнитными волна- ми. Естественно, что произвольные предположения, введенные Максвеллом в свои уравнения, были встречены физиками того времени с большим недоверием. Окончательно уравнения Максвелла утвердились в физике только лет через 15 после нх опубликования. Тщательная эксперимен- тальная проверка отмела все возражения их противников. В заключение перепишем полученную полную систему уравнений Максвелла в векторном виде: вводнАя чАсть В разных примерах мы даем разное аналитическое оформление рассуждений, приводящих к определению характеристик, чтобы в дальнейшем облегчить читателю использование различных литературных источников.
Начнем описание характеристик в случзе произвольной линейной системы- с двумя независимыми переменными х, г. Пусть изучаемая нами система имеет вид < А„(х, г) — '+Аж(х, С) — '+В„(х, г) д'+Вы(х, г) ~=Ух(х, г), Ая,(х, г) дГ +Аяя(х, г) д'+Вы(х' г) д +Вяз(х' г) д уя(х Иногда мы будем записывать эту систему в матричноп форме А — + — =Х ди ди дг дк обозначая АыАя' В,В,' Применяя матричную запись, мы, конечно, можем не ограничиваться случаем двух уравнений с двумя неизвестными функциями, Векторы и, у можно предполагать а-мерными. П(атриды должны иметь при этом размер пхл. Пусть нам известно, что рассматриваемая система имеет гладкое решение в некоторой области О, Выберем в этой области точку (хм (а) и проведем через эту точку кривую у.
Вектор бесконечно малого смешения вдоль этой кривой из точки (х, г,) будем обозначать (г(х, гЫ), Предположим, что нам почему-либо известны значения и вдоль кривой у и что мы хотим по этим значениям и по уравнениям системы восстановить и в некоторой окрестности у. Задача нахождения решения системы в окрестности кривой у по значениям этого решения на кривой называется задачей Коши для системы. Лазайте еще сузим стоящую перед нами задачу, а именно ограничимся попыткой найти у вектор-функции и=(и„ия) лишь .
производные по нормали к кривой у в точке (х„та), лежащей на этой кривой. Заметим, что так как ии ия вдоль кривой известны, а следовательно, известны производные от них вдоль кривой, то знание нормальных производных позволяет нам вычислить производные по любому направлению, в том числе и все производные ди, ди, дяя дяя дт ' дл ' дГ ' дх ХАРлктзРистики 79 в точках кривой. Нзоборот, знание этих четырех производных позво- ляет вычислить производные по любому направлению, в том числе и по нормали к кривой.
Поэтому мы и поставим перед собой зздачу: аная вдоль кривой у векторди ди функцию и, найти в точках этой кривой производные — , — . дГ ' дх' Вычисление этих производных мы будем производить в точке (хг, 1 ), используя из нашего знания функции и лишь значение дифференциала йи, отвечающего смещению Ых, иг вдоль кривой. Запишем йг с пэмощью частных производных от и = дГ дх йг — и'+ ~Ь вЂ” "'=йн,, йг — ' + дх — г = ди . дт дх В этих равенствах подчеркнуты известные нам дифференциалы, опреде- ляющие смещение вдоль у. Объединяя эти два равенства с двумя первоначальными урзвнениями системы, мы приходим к четырем линейным уравнениям с четырьмя ди, диг ди, диг неизвестными— дГ' дх' дт' дх' диг диг диг ди Аы — +Атг дГ +Вгт д +Вгг д =Л вЂ” +д — ',"' =~и„ дг дх ди ди В матричной форме уравнения для — — пишутся так: дГ' дх А — + — =г, ди ди дГ дх г Š— + игх Š— = йь ди ди дГ дх Через Е мы обозначили единичную матрицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
