1625915343-86705b7cdbdb8beb07b7d1cf5a49c66a (843918), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Из этих уравнений искомые производные могут быть определены, если только определитель ЖЕ Ыхв Для системы второго порядка А„ Аы Вы В„ А„А„В„В, Ж О дх О О й О г7х 80' вводная часть 1гл. г Линии (задаваемые дифференциалами смешения Ых, г1г), вдоль которых бе1 =О, называются характеристиками системы А — + В а- — — г. ди ди Пусть теперь у нас кривая у является характеристикой, Несмотря на то, что определитель равен нулю, система (2) имеет решение, так как мы предполагаем, что в 0 существует решение системы (1), принимающее на у заданные там значения.
Это означает, что ранг расширенной матрицы А В У йЕ ЫхЕ Ыи равен рангу вырожденной матрицы А В ИЕ дхЕ ди ди коэффициентов при неизвестных— дг' дх' Следовательно, вектор аги вдоль характеристик не может быть произвольным. Он должен удовлетворять соотношению: <ИЕ ЫхЕ йг ЖЕ г1хЕ Это соотношение и является соотношением на характеристике.
Вля того чтобы проиллюстрировать понятия характеристик и соотношений на них, мы рассмотрим уже знакомый нам пример системы, описывающей звуковые волны, с др .,ди — + р с',— =О. дГ а дх ХАРАКТЕРИСТИКИ а б1 81 Система уравнений (2) запишется в этом примере так: 1, О О Ро др дх Уравнение характеристик 1 О О Ро О 1 расо О йг О г(х О ОФ Одх = аха — со Ыса = (г(х — с гЫ) (г(х + со й) = О. Таким образом, в качестве характеристик мы получили линии, задаваемые уравнениями отх = ~ со Ш, т, е.
прямые Х 1- Со Г= СОПЗ! Это как раз те линии, которые мы решили назвать характеристиками в предыдушем параграфе. Перейдем теперь к получению соотношений на харакгеристиках для рассматриваемой системы. Нам надо, чтобы ранг .матрицы 1 ΠΠ— О О 1 рс,' О О Ю О йх О о(и О Ш О б(хг(р характеристики) рангу матрицы, составленной из ее столбцов. Определитель этой последней равен нулю. быть равен нулю определитель матрицы, составленной четырех столбцов. Например, должен равняться нулю 1 О О О 1рс,'О М О ах г(и йр =О, равнялся (вдоль первых четырех Поэтому должен из произвольных определитель О 1 рсо О гй Оотх О О г(г О отх ди дГ др дГ ди дх вводная часть пл. ! полученный выбрасыванием из расширенной матрицы ее четвертого (пред- последнего) столбца Раскроем этот определитель 1 0 0 О 0 1рс$0 б1 0 Ых йю О иОбр =г(хбр+р с3йсй=о.
дх Мы видим, что вдоль характеристик — =с выполнено соотношение дт= а саб1с(р+расайгй=о или, что то же самое, Ы(и+ Р )=О. Вдоль Росо! дх ! р! харзктеристик — = — с аналогично получзем соотношение г(~и — — ) =О. Ж Р, .) Мы показали, что для системы уравнений распространения звуковых волн данное нами общее определение характеристик и соотношений на них приводит к фактам, которые былй выведены в предыдущем параграфе. Рассмотрим еше пример системы уравнений Коши — Римана — — — =О, дх др ди дс др дх — + — „=О.
В матричной форме она записывается так Раскроем характеристический определитель этой системы 100-1 О 1 1 О ЫхО Ыу 0 0 г(х 0 г(у Мы видим, что система Коши — Римана не имеет вещественных характеристик (они определяются равенствами Ыу=~1г(х). Системы, у которых все характеристики вещественны, при некоторых дополнительных ограничениях называются гилербаличесхилси. Изучая постановку задачи Коши для гиперболических систем, мы обычно будем предполагать, что начальные данные задаются на некотором отрезке оси х (прн 1=0). В качестве таких начальных данных задаютсв начальные значения всех неизвестных функций.
При этом мы будем предполагать, что ось х не является хзрактеристикой, т. е. что при любых начальных значениях сс (х, 0) мы можем, в силу системы, определить производные по 8. Так как система пишется в виде Ада+В д~-'=у д1 дх ХАРАКТЕРИСТИКИ то это означает, что на отрезке задания начальных данных не равен нулю определитель йет)(А () -х О. В этом случае система может быть переписана так: или, если обозначить А-'В =С, А-'г=й, ди ди — +с — =й. дг дх Как правило, мы и самого начала будем предполагать систему ваданноп в такой форме.
Уравнение характеристик для системы в такой форме упрощается. Действительно, для системы порядка и Е С де) ~ =йг" йе1 дх йСЕ йхЕ~ О С вЂ” — Е дг = ( — 1)" йт" йеТ ~ С вЂ” х Е ~ ш Поэтому характеристиками являются линии, удовлетворяющие уравнениям —,=й <х, с), дх Й в которых наклоны хзрзктеристик й~ вычисляются как характеристичес- кие корни матрицы С: М()С вЂ” йЕ(!. Если все корни этого уравнения вещественны и не являются кратными ни в одной точке рассматриваемой области, то мы будем называть эту систему гиперболической в области.
В дальнейшем мы увидим, что некоторые (не все) системы с кратными характеристическими корнями й тоже следует причислить к классу гиперболических, так как они обладают одинаковыми с ними свойствами. Сделаем еще одно замечание. Приведенное нами определение характеристик дословно переносится на системы вида А(х, С, и) — +В1х, 8, и) — =т (х, 1, и), ди ди дг ' ' дх такого рода системы, у которых коэффициенты зависят от решения (но не от его производных), называются квазилинедными. В этом случае характеристики зависят от того, какое решение рассматривается. Линия, являющаяся характеристикой для одного решения, для другого характеристикои не является. В качестве примера такой квазилинейной системы 84 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ [гл. 1 можно привести известные из механики сплошных сред уравнения движения бзротропного газз: ди ди и' (р) др — +и — + — --=О, д[ дх р дх др+идр ( р')и О д[ дх дх р = р (р) — уравнение состояния.
Задача. Покажите, что для этой системы уравнения характеристик и соотношения иа иих записываются в виде 1 -„",-=и+ Ур'(р), до=в —. = и — Ур' (р), ! д) ди = др р Ур'О) Перейдем теперь к случзю, когда число независимых переменных больше, чем два.
Мы разберем описание понятия характеристик в типичном случзе, когда таких переменных три (х, у, г), При этом описании мы будем ингересозаться только самим урззнением характеристик, а соотношений на ней выписывать не будем. (Описание, которое мы дадим для случая трех переменных, можег быть дословно перенесено и на уже разобранный случай двух переменных.) Итак, пусть нам дана система и уравнений с и неизвестными функциями. Мы ее запишем в векторной форме А д[+В д — +Сд — =У(х> У С, и). [рх Фу фг ах ау а, Рх 1у Рт Пусть нам известно, что эта система имеет гладкое решение в некоторой облзсти О пространства (х, у, г).
Предположим, что мы внаем это решение на некоторой поверхности В, лежащей в О, и нам хочется воспользоваться этим знанием, чтобы определить решение и вне В, хотя бы в некоторой окрестности этой поверхности, т. е. решить задачу Коши для рассматрг ° ваемой системы. Давайте еще сузим стоящую перед нами задачу. Ограничимся только отысканием производных ог неизвестных по нормали к Ю в некоторой точке (х,, у„ [е) этой поверхности. (Дли этого достаточно найти производные по кзкому-либо направлени[о, не касательному к поверхности.) Пусть уравнение поверхности В пишется в виде гр(х, у, г)=0, где ягаг[[р ф О. Рассмотрим, кроме гр=[р(х, у, [), еще двз какие-либо функции а = = а(х, у, г), р=[) (х, у, г), подчиненные только условию 85 ХАРАКТЕРИСТИКИ в некоторой окрестности точки (хл, уы сл) поверхности 8. Систему функций ф=р(х у ~) а=сл(х, у, ~), р=р(х, у, ~) можно рассматривать как некоторую новую систему координат.
Если 2= 2(х, у, г) = с [х (лр, а, р), у (лр, а, р), ~ (<р, а, р)4 = 2(ф, а, Р), то Ло с являются производными по направленияль касательным к В, а У вЂ” производная по некоторому не касательному к В направлению. Запишем нашу систему в новых координатах (дР А+у[3 В+д33С) ди у (Я очень рекомендую при разборе этого материала, наряду с матричным выводом, провести выкладку в покомпонентной фор)ле на примере системы второго или третьего порядкз.) ди ди йля разрешимости этой системы относительно — при любых д~у да' ди --, т надо, чтобы определитель нет~~ дт А+ д В+ д С~ 7л О. Мы видим, что это условие только для новерхности Ю[лр(х, у, 1)=0[ и никак не связано с выбором вспомогательных координатных функция а, р.
Так как вектор ( †, †, †) коллинеарен вектору нормали /дф дхл д~р3 'лдГ' дх' ду) (т, $, Т3) к поверхности Ю, то последнее условие эквивзлентно неравенству де1 [ТА+ $В+ л)С'3 о' О. Определение. Поверхности Ю[лр(х, у, г)=0[, на которых де1~( — А+ — В+ — С[[ =О, или, что то оке самое, дет[ТА+$В+ др де д~р дг дх ду + т)С[ =О, где (т, Е, т)) — вектор нормали к поверхности 8, называются характеристпкама системы А — + — +С вЂ” =У ди ди ди дл дк ду Разберем ' пример, иллюстрирующий это определение. Система, описывающая в двумерном случае распространение звуковых волн, пишется 86 !гл.
! вводная часть так: др . /ди ою! — +р со~ — + — 1=О, д! о ~дх ду! да 1 др — + — — =О, д! Ро дх до 1 др — + — — =О. дт Р, ду Вот матричная форма этой системы: 100 ОросоО р 010 — + — 0 0 — и д 1 д д! Ро дх 001 0 0 0 о 0 0 роса д ду +оо о — 0 0 Ро Матрица ~ — А+ — В+ — С~ здесь пишется так: 1дф дф дф ~ д! дх ду Росо— о дф ду Ее определитель дв1!~дф +д +д С~= д!((дО) со~(д ) +!д ) Д' Приравнивая определитель нулю, получаем уравнения характеристик: — =О дф д! о Определение. Систелоа п уравнений первого порядка называется 1-гиперболической, если ее характеристическое урав- нение <1е1~ тА+ЯВ+т)С'1=О при любых вещественных $, т! (ао+т!о ф' 0) имеет и вещественных и различных корней т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
